空间解析几何知识点

精品文档-下载后可编辑空间解析几何知识点1、M1M-x1,y-y1,z其大小(模)为M1M-x2+(y-y2+(zM1MM1MM1M空间解析几何知识点一、本章提要1基本概念空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函数的积分2基本公式两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公式，平面与直线间的夹角公式3方程直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的一般式方程二、要点解析问题1自由向

2、量的基本特征为何?如何描述其基本特征?解析向量含有两个基本特征，一个是大小，另一个是方向所谓自由向量是只考虑大小和方向，而不考虑它的始点和终点位置，即一个向量可以在空间自由地平行移动不论位置如何，只要其大小相等、方向相同即认为是相等或同一向量本书讨论的向量均为自由向量向量特征的描述，从几何上是用有向线段的方向代表向量的方向，有向线段的长度代表向量的大小从坐标表示上，以M1(x1,y1,z为始点，M2(x2,y2,z为终点的向量为2=x222-z1，2=(x222-z2，其方向由其与坐标轴正向的夹角a,b,g的余弦确定，即x-xy-ycosa=uuuuuu2r1，cosb=21z-z，cosg=

3、21222问题2向量的点积与叉积有何物理意义？如何计算？如何利用它们判别向量的位置关系？解析设向量a与b的夹角为q，则ab=abcosq，ab=absinqno，其中no为与a，b同时垂直，方向由右手螺旋法则确定的单位向量点积为数量，叉积为向量点积在物理上可以表示功，若物体在力F的作用下作直线运动，其位移向量为s，则其功W为W=Fscosq=Fs1=axb+ayb(abab=axb+ayb+azbaxb+ayb+azb叉积在物理上可以表示力矩、磁力等当单位电荷以速度v在磁场B中运动时，它所受的磁力F为F=vB，其大小为vBsinq，方向由右手螺旋法则确定若a=ax,ay,az，b=bx,by,

4、bz，则abxy+azbz，iab=axbxjaybykazbz向量之间的位置关系：xyz=0；(abab=0或axbx=ayby=az；bz(a与b的夹角q由cosq=abab=xa2+a2+axy2zyzb2+b2+b2xyz确定例1设a=1,0,-2，b=-3,1,1，求ab和ab解ab=1(-+01+(-1=-5iab=1-3j01k-2=2i+5j+k=2,5,11问题3说明确定平面的条件及典型的平面方程解析满足下列条件之一者可确定一个平面：(过空间中不共线的三个点；(过直线和直线外一点；(过两条平行或相交的直线我们用向量的方法可将条件归结为：过一已知点且与一已知向量垂直便可确定一个

5、平面由此条件建立的平面方程就是平面的点法式方程平面的主要方程形式：(点法式：过点(x0,y0,z，法向量为n=A,B,C的平面方程为A(x-x+B(y-y+C(z-z=0；(一般式：Ax+By+Cz+D=0，其中n=A,B,C；(截距式：xa+yb+zc=1，其中平面与坐标轴交点为(a,0,,(0,b,,(0,0,c)；2A1x+B1y+C1z+DA2x+B2y+C2z+Dx-x0(三点式：x-x10x-x20y-y0y-y10y-y20z-z0z-z10z-z20=0，其中(x0,y0,z，(x1,y1,z，(x2,y2,z为平面上不在一条直线上的三点例2求通过点M0(2,-1,和z轴的平面

6、方程解因为z轴的单位向量k=0,0,1和OM0=2,-1,4均在所求平面内，故可取该平面的一个法向量为n=kOM0=1,2,0，于是所求方程为1(x-+2(y++0(z-=0，即x+2y=0问题4说明确定直线的基本条件及典型的直线方程解析确定一条直线的条件有：过不重合的两点，或者二平面的交线等我们用向量的方法可将这些条件归结为：过一已知点且与一已知向量平行可以确定一条直线，由此条件建立起来的直线方程为直线的点向式方程直线的主要方程形式：(点向式：x-x0m=y-y0n=z-zp0，其中(x0,y0,z为直线上定点，s=m,n,p为直线的方向向量；x=x+mt,0(参数式：y=y+nt,z=z0

7、+pt；0(两点式：重合的两点；x-x1x-x21=y-y1y-y21=z-z1，其中(x1,y1,z，(x2,y2,z为直线上不z-z21(一般式：12=0,=0,其中此二平面不平行例3求过点M0(0,1,且垂直于平面3x-y+2=0的直线方程解因所求直线的方向向量s与已知平面的法向量同向，所以可取s=3,-1,0，故所求方程为x3=y-1-1=z0注意：上式右端一项分母为零是一种记法，它只表示该直线与z轴垂直3b双曲柱面x问题5列举常见的曲面方程，指明曲面及其方程特征名称方程形式母线平行z轴的柱面方程方程特征曲面形式F(x,y)=0，圆柱面x2+y2=R2，z柱面抛物柱面y2=2px，方程

8、中不含变量zOy2a2y22=1，椭圆柱面x2a2y2b2=1xz旋转曲面f(x,y)=0曲线L：x=0z轴旋转而成的曲面f(x2+y2,z)=0绕含有x2+y2形式且x,y的平方项系数相同Oyxz椭球面x2y2+a2b2(a,b,c)0z2c2=1x,y,z的平方项系数同号Oy二次x曲面zx2y2抛物面z=+2p2q(p,q含x,y的平方项，z的一次项Oyx41P1Pz单叶双曲面z2c2x2a2=1+y2b2x,y的平方项系数与z的平方项系数异号xOy三、例题精解例4已知向量P1P2的始点为P1(2,-2,，终点为P2(-1,4,，试求：(向量P1P2的坐标表示；(向量P1P2的模；(向量P

1P2的方向余弦；(与向量P1P2方向一致的单位向量解(P1P2=-1-2,4-(-,7-5=-3,6,2；(P1P=(-2+62+22=49=7；(P1P2在x,y,z三个坐标轴上的方向余弦分别为362cosa=-,cosb=,cosg=；777((P1P=22=-3i+6j+2k73=-i+7672j+k7例5求与a=1,-2,3共线，且ab=28的向量b解由于b与a共线，所以可设b=la=l,-2l,3l，由ab=28，得1,-2,3l,-2l,3l=28，即l+4l+9l=28，所以l=2，从而b=2,-4,6例6已知a=1,0,-2,b=1,1,0，求c，使ca,cb且c=65x2+

(-x)2+x解一由得待定系数法设c=x,y,z，则由题设知ca=0,cb=0及c=6，所以有x-2z=0x+y=0x2+y2+z2=6z=x，2由得y=-x，将和代入得22=6，解得x=4,y=4,z=2，于是c=4,-4,2或c=-4,4,-2解二利用向量的垂直平行条件，因为ca,cb，所以cab设l是不为零的常数，则ijkc=l(ab)=l10-2=2li-2lj+lk，110因为c=6，所以l222+(-2+12=6，解得l=2，所以c=4,-4,2或c=-4,4,2解三先求出与向量ab方向一致的单位向量，然后乘以6ijkab=10-2=2i-2j+k，110ab=22+(-2+12=

3，故与ab方向一致的单位向量为132,-2,1于是c=632,-2,1，即c=4,-4,2或c=-4,4,-26=1,1,-1，P1Pn=P1PP1P例7求满足下列条件的平面方程：(过三点P1(0,1,，P2(1,2,和P3(3,0,；(过x轴且与平面5x+2y+z=0的夹角为解(解一用三点式所求平面的方程为3x-0y-1z-21-02-11-2=0，3-00-14-2即x-5y-4z+13=0解二用点法式P1P23=3,-1,2，由题设知，所求平面的法向量为ijk23=113-1-1=i-5j-4k，2又因为平面过点P1(0,1,，所以所求平面方程为(x--5(y--4(z-=0，即x-5

y-4z+13=0用下面的方法求出所求平面的法向量n=A,B,C，再根据点法式公式写出平面方程也可因为nP1P2,nP3，所以A+B-C=0,3A-B+2C=0,解得B=-5A,C=-4A，于是所求平面方程为A(x--5A(y--4A(z-=0，即x-5y-4z+13=0（因所求平面过x轴，故该平面的法向量n=A,B,C垂直于x轴，n在x轴上的投影A=0，又平面过原点，所以可设它的方程为By+Cz=0，由题设可知B0（因为B=0时，所求平面方程为Cz=0又C0，即z=0这样它与7已知平面5x+2y+z=0所夹锐角的余弦为05+02+1102+02+12(2+22+12=1101cos=，所以B

，令32CB=C，则有y+Cz=0，由题设得cosp3=05+12+C102+12+C2(2+22+12，解得C=3或C=-13，于是所求平面方程为y+3z=0或3y-z=0例8已知平面在x轴上的截距为2，且过点(0,-1,和(2,1,，求此平面方程解析此题容易想到用三点式求平面方程，其实不然，因为用三点式需要解三阶行列式，比较麻烦注意到所求平面与三条坐标轴都相交，它在x轴上的截距已知是2，易知它在y轴上的截距是-1，在z轴上的截距也容易求得故用截距式求该平面方程方便些解设所求平面方程为xa+yb+zc=1，由题设知a=2,b=-1，2平面过点(2,1,，所以+213+-1c=1，得c=3于是

，所求平面方程为x2+yz+-13=1，即3x-6y+2z-6=0例9求过点(2,1,，平行于直线x-23=y+12=z-2-1且垂直于平面x+2y-3z+5=0的平面方程解一用点法式所给直线的方向向量s=3,2,-1，所给平面的法向量n1=1,2,-3sn1ijk=32-1=-4i+8j+4k，12-3由题设知，所求平面的法向量ns且nn1，取n=-平面方程为1(sn=i-2j-k，于是所求48(x--2(y--(z-=0，即x-2y-z+1=0解二所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0