高中数学第二册(上)65含有绝对值不等式

一．课题：含有绝对值的不等式二．教课目的：1.要修业生掌握绝对值不等式的性质定理及其证明；2.能娴熟运用绝对值不等式的性质定理求解和证明含绝对值的不等式问题.三．教课重、难点：绝对值不等式的性质定理的证明及其运用；四．教课过程：（一）复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法.1.当a0时，|x|aaxa；|x|axa或xa2.对一确实数x，都有|x|x|x|.（二）新课解说：定理：|a||b||ab||a||b|.|a|a|a|(|a||b|)ab|a||b||ab||a||b|①证明：∵b|b||b|又∵aabb，|b||b|，因此由①得：|a||abb||ab||b|，即|a||b||ab|②综合①②得：|a||b||ab||a||b|.说明：①左侧能够“增强”，不等式相同建立，即|a||b||ab||a||b|；②这个不等式俗称“三角形不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.【思虑1】在上边的定理中，a,b知足什么条件时，右侧取“”？a,b知足什么条件时，左侧取“”？结论：在定理中，当ab0时右侧取“”；当ab0，且|a||b|时左侧取“”；在定理的“增强”中，当ab0时右侧取“”；当ab0时左侧取“”.【思虑2】上边的定理可否推行到三个字母或三个字母以上？推论1：|a1a2a3|≤|a1||a2||a3|；|a1a2an|≤|a1||a2||an|.【思虑3】将定理中的|ab|改成|ab|，定理能否还建立？证明你的结论。推论2：|a||b||ab||a||b|.增强：|a||b||ab||a||b|.证明（推论2）：在定理中以b代b得：|a||b||a(b)||a||b|，即：|a||b||ab||a||b|.例1．已知|x|，|y|6，|z|，求证：|x2y3z|．39证明：|x2y3z||x||2y||3z||x|2|y|3|z|，|x|，|y|，|z|，369∴|x|2|y|3|z|23，693∴|x2y3z|.例2．设a,b,c,d都是不等于0的实数，求证：|a||b||c||d|4.bcda证明：∵|a|0，|b|0，|c|0，|d|0，bcda∴|a||b|2|a||b|2|a|，①bcbcc|c||d|2|c||d|2|c|②dadaa又|a||c|2|a||c|24|ac|2③cacaca由①，②，③式，得|a||b||c||d|2|a|2|c|2(|a||c|)4.bcdacaca例3．已知|a|1，|b|1，求证：|ab|1.1aba2证明：|ab|1b1121abab(1a2)(1b2)0，由|a|1，|b|1，可知(1a2)(1b2)0建立，因此|ab|1.1ab说明：这道题的证明过程中，用了|x|a(a0)x2a2这一结论.【练习】1．已知：|h|c，|x|c(c0,0)，求证：|h|.x2．已知：|Aa|，|Bb|，22.求证：（1）|(AB)(ab)|；（2）|(AB)(ab)|3．求证：|x12(x0).|x五．小结：1．绝对值不等式的性质定理的证明及其运用；2．运用绝对值不等式的性质定理，要注意等号建立的条件.六．作业：增补：1．求证：（1）|ab||ab|2|a|；（2）|ab||ab|2|b|；2．（1）已知|x|r0，a0，求证：|1|1；ax|a|r（2）已知|anl|1，求证：|an||l|1；3．设n为正整数，解不等式|5n5|0.001；n14．求证：|a||b||ab|；1|a||b|1|ab|5．求证：lg|A||B|lg|A|lg|B|(AB0)；226.已知f(x)1x2，当ab时，求证：|f(a)f(b)||ab|.证一：|f(a)f(b)||a21b21|a21b21a21