四川省成都市高一数学下册4月月考试题1

下学期4月阶段考数学试题（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若角60°的终边上有一点(4，a)，则a的值是()A．4eq\r(3)B．－4eq\r(3)C.eq\f(4\r(3),3)D．－eq\f(4\r(3),3)2．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为()A．－eq\f(3,2)B.eq\f(3,2)C．2D．63．设向量a＝(cosα，eq\f(1,2))，若a的模长为eq\f(\r(2),2)，则cos2α等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4D．125．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－16B．－8C．8D．166．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos(x－eq\f(π,3))的图象()A．向右平移eq\f(π,6)个单位B．向右平移eq\f(π,3)个单位C．向左平移eq\f(π,3)个单位D．向左平移eq\f(π,6)个单位7．已知sin(π－α)＝－2sin(eq\f(π,2)＋α)，则sinαcosα等于()A.eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)D．－eq\f(1,5)8．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数9．若满足条件AB＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是()A．(1，eq\r(2))B．(eq\r(2)，eq\r(3))C．(eq\r(3)，2)D．(eq\r(2)，2)10．在中，若的形状一定是)A.等边三角形 B.不含的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形11．设0≤θ≤2π，向量eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up6(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))的模长的最大值为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)12．在中，内角的对边分别为且，则的值为（）A．B．C．D．二。填空题：（每小题5分）13.已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝___.14.已知α、β为锐角，且a＝(sinα，cosβ)，b＝(cosα，sinβ)，当a∥b时，α＋β＝_______.15.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16.如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：①eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))；③eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))；④(eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→)))eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))(eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→)))．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)三。解答题：（合计70分）17.（10分）已知tanα＝2，求下列代数式的值．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(1,3)sinαcosα＋eq\f(1,2)cos2α.18.（12分）设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x)，x∈R.(1)若函数f(x)＝1－eq\r(3)，且x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，求x；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在[0，π]上的图象．19.（12分）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2).(1)若a⊥b，求θ；(2)求|a＋b|的最大值．20.（12分）已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，eq\f(π,16)]上的最小值．21.（12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＋eq\r(3)bsinA＝c.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝3，求b＋c的值．22.（12分）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若角60°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(A)A．4eq\r(3)B．－4eq\r(3)C.eq\f(4\r(3),3)D．－eq\f(4\r(3),3)2．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为(D)A．－eq\f(3,2)B.eq\f(3,2)C．2D．63．设向量a＝(cosα，eq\f(1,2))，若a的模长为eq\f(\r(2),2)，则cos2α等于(A)A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(B)A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．4D．125．在△ABC中，已知||＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，S△ABC＝eq\r(3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于(D)A．－2B．2C．±46．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos(x－eq\f(π,3))的图象(A)A．向右平移eq\f(π,6)个单位B．向右平移eq\f(π,3)个单位C．向左平移eq\f(π,3)个单位D．向左平移eq\f(π,6)个单位7．已知sin(π－α)＝－2sin(eq\f(π,2)＋α)，则sinαcosα等于(B)A.eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)C.eq\f(2,5)或－eq\f(2,5)D．－eq\f(1,5)8．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是(D)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数9．若满足条件AB＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是()A．(1，eq\r(2))B．(eq\r(2)，eq\r(3))C．(eq\r(3)，2)D．(eq\r(2)，2)【解析】：C∵C=，AB=，设BC=a，∴由正弦定理得：，即=，解得：sinA=，由题意得：当A∈（，）时，满足条件的△ABC有两个，

所以＜＜1，解得：＜a＜2，则BC的取值范围是（，2）．10．在中，若的形状一定是()A.等边三角形 B.不含的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形【解析】D∵sin（A-B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A-B）=1-2cosAsinB，

∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，

∴sin（A+B）=1，∴A+B=90°，∴△ABC是直角三角形11．设0≤θ≤2π，向量eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up6(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))的模长的最大值为(D)A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)12．在中，内角的对边分别为且，则的值为（）A．B．C．D．解析：A由得,又A为三角形内角，所以A=120°,则13.014.已知α、β为锐角，且a＝(sinα，cosβ)，b＝(cosα，sinβ)，当a∥b时，α＋β＝___eq\f(π,2)_____.15.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．8eq\r(6)解析如图所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(64×\r(3),\r(2))＝32eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝8eq\r(6)(海里/小时)．16.如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：①eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))；③eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))；④(eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→)))eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))(eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→)))．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)①②④解析在正六边形ABCDEF中，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，①正确；设正六边形的中心为O，则2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，②正确；易知向量eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(AD,\s\up6(→))上的投影不相等，即eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)≠eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|).∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，③不正确；∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝－2eq\o(EF,\s\up6(→))，∴(eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→)))eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))(eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→)))⇔(eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→)))eq\o(EF,\s\up6(→))＝－2eq\o(EF,\s\up6(→))(eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→)))⇔eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－2eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))⇔eq\o(AF,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(EF,\s\up6(→)))＝0.∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(EF,\s\up6(→)))＝0成立．从而④正确．17.已知tanα＝2，求下列代数式的值．(1)eq\f(4sinα－2cosα,5cosα＋3sinα)；(2)eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(1,3)sinαcosα＋eq\f(1,2)cos2α.(1)6/11(2)13/3018.设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，eq\r(3)sin2x)，x∈R.(1)若函数f(x)＝1－eq\r(3)，且x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，求x；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在[0，π]上的图象．(1)依题设得f(x)＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＝1＋cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))＋1.由2sin(2x＋eq\f(π,6))＋1＝1－eq\r(3)得sin(2x＋eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),2).∵－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,3)，∴－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,3)，即x＝－eq\f(π,4).(2)－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即－eq\f(π,3)＋kπ≤x≤eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)得函数单调增区间为[－eq\f(π,3)＋kπ，eq\f(π,6)＋kπ](k∈Z).x0eq\f(π,6)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πy2320－10219.已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2).(1)若a⊥b，求θ；(2)求|a＋b|的最大值．(1)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0.由此得tanθ＝－1(－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2))，∴θ＝－eq\f(π,4).(2)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得a＋b＝(sinθ＋1,1＋cosθ)，|a＋b|＝eq\r(sinθ＋12＋1＋cosθ2)＝eq\r(3＋2sinθ＋cosθ)＝eq\r(3＋2\r(2)sinθ＋\f(π,4))，当sin(θ＋eq\f(π,4))＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝eq\f(π,4)时，|a＋b|的最大值为eq\r(2)＋120已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，eq\f(π,16)]上的最小值．(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx.所以f(x)＝sinωxcosωx＋eq\f(1＋cos2ωx,2)＝eq\f(1,2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2).由于ω>0，依题意得eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，所以g(x)＝f(2x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2).当0≤x≤eq\f(π,16)时，eq\f(π,4)≤4x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，所以eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))≤1.因此1≤g(x)≤eq\f(1＋\r(2),2).故g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,16)))上的最小值为1.21.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＋eq\r(3)bsinA＝c.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝3，求b＋c的值．解(1)由acosB＋eq\r(3)bsinA＝c，得sinAcosB＋eq\r(3)sinB