导数及其应用本章达标检测含解析

本章达标检测(总分值:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为()2.以下求导运算正确的选项是()A.x+1x'=1+1x2B.(log2C.(5x)'=5xlog5xD.(x2cosx)'=-2xsinx3.一质点做直线运动,假设它所经过的路程与时间的关系为s(t)=13t3+1,设其在时间段[1,2]内的平均速度为v1,在t=2时的瞬时速度为v2,那么vA.13B.712C.54.函数f(x)=lnx-x的极大值点为()5.函数f(x)=x2-2cosx,那么f(0),f-13,f2A.f(0)<f-13<B.f-13<f(0)<C.f23<f-13D.f(0)<f23<f6.函数f(x)=2x2-ln|x|的图象大致为()7.函数h(x)=mex+ex在区间[0,1]上不单调,那么实数mA.[1,e]B.(1,e)C.[1,e2]D.(1,e2)8.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,那么θ的可能取值是()π3B.4π3二、多项选择题(本大题共4小题,每题5分,共20分.在每题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,局部选对的得3分,有选错的得0分)9.以下结论中正确的有()y=sinπ3,那么y'f(x)=3x2-f'(1)x,那么f'(1)=3y=-x+x,那么y'=-12y=sinx+cosx,那么y'=cosx+sinx10.定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f'(x)f(x)在区间(0,4)上单调递增f(x)在区间-1f(x)在x=1处取得极大值f(x)在x=0处取得极小值11.假设实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,那么称函数f(x)具有“凹凸趋向性〞.f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=mx-2lnx,当函数f(x)具有“凹凸趋向性〞时,m的取值范围的子集有A.-2eC.-∞,-12.定义在0,π2上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cosx+f(x)sinxA.fπ6<62fπ4B.C.fπ6>3fπ3D.fπ4>三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.f'(x0)=m,那么limΔx14.设函数f(x)=x+cosx,x∈(0,1),那么满足不等式f(t2)>f(2t-1)的实数t的取值范围是.

15.假设f(x)=x3-3x+m,当m=0时,f(x)的极大值为;关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,那么实数m的取值范围是.(第一个空2分,第二个空3分)

16.函数f(x)=1+lnx,x≥1,x+12,x<1,假设存在x1≠x2,使得f(x1四、解答题(本大题共6小题,共70分,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题总分值10分)在①f(x)的一个极值点为0;②曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直;③y=f(-x)-f'(x)为奇函数这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并答复以下问题.函数f(x)=ex+ax-1,且,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.

注:选择多个条件分别解答时,按第一个解答计分.18.(本小题总分值12分)函数f(x)=(a-b)x2-x-xlnx.(1)假设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,且f(1)=a,求a,b的值;(2)假设a=1,f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.19.(本小题总分值12分)函数f(x)=cosx+xsinx-1.(1)假设x∈(0,π),求f(x)的极值;(2)证明:当x∈[0,π]时,2sinx-xcosx≥x.20.(本小题总分值12分)如图,A、B两个城镇相距20千米,设M是AB的中点,在AB的中垂线上有一高铁站P,P、M的距离为10千米.为方便居民出行,在线段PM上任取一点O(点O不与P、M重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到O处,再铺设快速路分别到A、B两个城镇.因地质条件等各种因素,其中快速路PO造价为1.5百万元/千米,快速路OA造价为1百万元/千米,快速路OB造价为2百万元/千米.设∠OAM=θ(rad),总造价为y(单位:百万元).(1)求y关于θ的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)求总造价的最小值,并求出此时θ的值.21.(本小题总分值12分)函数f(x)=x-alnx(a>0).(1)假设a=1,求f(x)的极值;(2)假设存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,求实数22.(本小题总分值12分)函数f(x)=1-x2e(1)求函数f(x)的零点x0,以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程;(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1,x2,求证:|x1-x2|<2-m1+1答案全解全析本章达标检测一、单项选择题1.B因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为f(2)-f(-12.B由导数的运算法那么,知x+1x'=1-1x2,(5x)'=5xln5,(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,A、C、3.B由题意知,该质点在时间段[1,2]内的平均速度v1=ΔsΔt=13×23+1-13×13+12-1=73,因为s'(t)=t4.A因为f(x)=lnx-x(x>0),所以f'(x)=1x-1=1-xx,当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当0<x<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以在即函数f(x)=lnx-x的极大值点为1,应选A.5.A易知f(x)=x2-2cosx为偶函数,∴f-13=f∵f'(x)=2x+2sinx,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上为增函数,∴f(0)<f13<f2∴f(0)<f-13<f236.A∵f(-x)=2(-x)2-ln|-x|=2x2-ln|x|=f(x),∴函数f(x)是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,故排除B.当x→0时,f(x)→+∞,故排除D.当x>0时,f(x)=2x2-lnx,f'(x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x,当x=12时,ln12>0,故排除应选A.7.D因为h(x)=mex+ex,所以h'(x)=-mex+ex,又因为函数h(x)=mex+ex在区间[0,1]上不单调,所以h'(x)=-mex+ex在区间(0,1)上存在变号零点,所以h'(0)h'(1)<0,即(1-m)e-8.D由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)·(x-a),令f'(x)=0,得x=a3或x=a,当a>3时,a3<所以f(x)在-∞,a3,[a,+∞)上单调递减,在a又当a>3时,a3>1,所以f(x)在(-∞,1]上为减函数因为k∈[-1,0],sinθ∈[-1,1],所以-2≤-k-sinθ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,由不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,得sin2θ-sinθ-1≤k2+k=k+122-14对任意的所以sin2θ-sinθ-1≤-14恒成立解得-12≤sinθ≤32,即-12≤sin结合选项知,θ的可能取值是5π6应选D.易错警示利用单调性解决相关问题时,要注意单调区间的判定,当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性,解题时防止漏证导致解题错误.二、多项选择题9.ABC选项A中,假设y=sinπ3=32,那么y'=0,故A正确;选项B中,假设f(x)=3x2-f'(1)·x,那么f'(x)=6x-f'(1),令x=1,那么f'(1)=6-f'(1),解得f'(1)=3,故B正确;选项C中,假设y=-x+x,那么y'=-12x+1,故C正确;选项D中,假设y=sinx+cosx,那么y'=cosx-sinx,故D10.ABD由y=f'(x)的图象知,当-12<x<0时,f'(x)<0;当0<x<4时,f'(x)>0,因此f(x)在-12,0上单调递减,在(0,4)上单调递增,故A、B正确;f(x)在x=1附近单调递增,在x=1处不取极大值,故C错误;由f(x)在-12,0上单调递减,在(0,4)上单调递增,得f(x)在x=011.BDf'(x)=mx-2lnx=m-2假设函数f(x)具有“凹凸趋向性〞,那么m=2xlnx在(0,+∞)上有2个不同的实数根,令g(x)=2xlnx,那么g'(x)=2(1+lnx),令g'(x)>0,解得x>1e;令g'(x)<0,解得0<x<1∴g(x)在0,1e上单调递减,在故g(x)的极小值是g1e=-2e,也是最小值,当x→0时,g(x)→0,故-2e<m12.CD令g(x)=f(x)cosx那么g'(x)=f'(因为f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以g'(x)=f'(x)cosx因此函数g(x)=f(x)cosx在0,π2上单调递减,因此gπ6>gπ4,即fπ6cosπ又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x因为lnπ3∈0,π2,所以flnπ又gπ6>gπ3,所以fπ6cosπ6>fπ3cosπ3,又gπ4>gπ3,所以fπ4cosπ4>fπ3cosπ3,即解题模板通过构造函数,利用函数的单调性比拟大小.构造函数时,利用含导函数的不等式分析其结构,结合求导法那么构造函数.平时要积累构造函数的方法.三、填空题13.答案-3m解析∵f'(x0)=m,∴原式=-3lim=-3f'(x0)=-3m.14.答案1解析因为f'(x)=1-sinx>0,所以f(x)为增函数,因为f(t2)>f(2t-1),所以t2>2t-1,即t≠1,因为f(x)的定义域为(0,1),所以0<t2<1,0<2t15.答案2;[-2,2]解析当m=0时,f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,得x>1或x<-1;令f'(x)<0,得-1<x<1,故函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,所以f(x)的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)=2.关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,令g(x)=-x3+3x,即m=g(x)在[0,2]上成立,由于g'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(1,2)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,而g(0)=0,g(1)=2,g(2)=-2,所以g(x)的值域为[-2,2],即实数m的取值范围是[-2,2].16.答案[3-2ln2,+∞)解析因为x1≠x2,所以不妨设x1<x2.当x≥1时,f(x)=1+lnx≥1,当x<1时,f(x)=x+12<1,根据f(x1)+f(x2)=2可知x1<1<x2,所以f(x1)=x1+12,f(x2)=1+lnx2,所以f(x1)+f(lnx2=2,故x1=1-2lnx2,所以x1+x2=x2-2lnx2+1.记g(x2)=x2-2lnx2+1(x2>1),那么g'(x2)=x2-2x2,于是易得g(x2)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x2)≥g(2)=3-2ln2,又当x2→+∞时,g(x2)→+∞,所以g(x所以x1+x2的取值范围是[3-2ln2,+∞).解后反思分段函数问题要根据自变量的取值范围选择函数解析式,找到x1、x2的关系,进而构造函数,利用导数解决函数的值域,从而得到取值范围.四、解答题17.解析选择①,由题意得f'(x)=ex+a,那么f'(0)=1+a=0,故a=-1,(2分)故f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)因为f(-1)=1e<f所以f(x)的最大值为f(1)=e-2.(10分)选择②,由题意得f'(x)=ex+a,所以f'(1)=e+a,由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+(e-1)y-1=0垂直,得f'(1)=e-1,所以e+a=e-1,故a=-1,(2分)那么f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)因为f(-1)=1e<f所以f(x)的最大值为f(1)=e-2.(10分)选择③,由题意得f'(x)=ex+a.所以f(-x)-f'(x)=e-x-ex-ax-1-a,(1分)因为y=f(-x)-f'(x)为奇函数,所以f(-x)-f'(x)=f'(-x)-f(x),可得a=-1.(3分)那么f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,令f'(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(0)=0,也是最小值.(7分)因为f(-1)=1e<f所以f(x)的最大值为f(1)=e-2.(10分)18.解析(1)由f(x)=(a-b)x2-x-xlnx,得f'(x)=2(a-b)x-lnx-2,(2分)由f(1)=a(2)由题意得f(x)=(1-b)x2-x-xlnx.(5分)f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立等价于b≤1-1x-lnxx对任意x∈(0,+∞)恒成立令g(x)=1-1x-lnxx,那么g'(x)=lnx当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,(9分)当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,(10分)所以g(x)min=g(1)=0,所以b∈(-∞,0].(12分)19.解析(1)∵f(x)=cosx+xsinx-1,∴f'(x)=xcosx,(2分)当x∈0,π2时,f'当x∈π2,π时,f'(x)<0.当x发生变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x0ππf'(x)+0-f(x)↗极大值↘因此,当x=π2时,f(x)有极大值,并且极大值为fπ2=π2-1,没有极小值.(2)证明:令g(x)=2sinx-xcosx-x,那么g'(x)=cosx+xsinx-1=f(x),由(1)知f(x)在0,π2上单调递增,在π2,又f(0)=0,fπ2=π2-1>0,所以f(x)在(0,π)上存在唯一零点,设为x0,那么g'(x0)=f(x0)=0.(9分)当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,π)上单调递减,又g(0)=0,g(π)=0,所以当x∈[0,π]时,g(x)≥0,(11分)故2sinx-xcosx≥x.(12分)20.解析(1)∵∠OAM=θ,PM⊥AB,M为AB的中点,∴OA=OB=10cosθ,OM=10tanθ,OP=10-10tanθ,(2∴y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10-10tanθ)×1.5==152cosθ-tanθ+15(2)设f(θ)=2cosθ=2-那么f'(θ)=-=2sinθ-1co令f'(θ)=0,得sinθ=12又0<θ<π4,∴θ=π6.(8当0<θ<π6时,sinθ<12,f'(θ)<0,f(θ)单调递减;(9当π6<θ<π4时,sinθ>12,f'(θ)>0,f(θ)单调递增.∴f(θ)的最小值为fπ6=3,此时总造价最小.(11分∴当θ=π6时,总造价最小,最小值为(153+15)百万元.(12分21.解析(1)a=1时,f(x)=x-lnx,函数f(x)的定义域是(0,+∞),(1分)f'(x)=1-1x=x-1令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1,(3分)故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)的极小值是f(1)=1,无极大值.(5分)(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,等价于f(x0)+1+设h(x)=x-alnx+1+a那么h'(x)=(x令h'(x)=0,解得x=-1(舍)或x=1+a.(8分)①当1+a≥e时,h(x)在[1,e]上递减,∴h(x)的最小值为h(e)=e-a+1+a令h(x)min<0,即e-a+1+ae<0,解得a>e2②当1+a<e时,h(x)在(1,1+a)上单调递减,在(1+a,e)上单调递增,ln(1+a)<lne=1,∴h(x)的最小值为h(1+a)=1+a-aln(1+a)+1=a[1-ln(a+1)]+2>2,与h(x)