《几何学》题库及

《几何学》题库及答案一。填空题1．若|a+b|=|a-b|，则矢量a，b应知足的条件为（）；2．两矢量a，b夹角为，则cos=()；3．平面x2y5z30的法式化方程为（）；．通过点M（1，-5，3）且与x，y，z轴分别成600,450,1200的直线方程为（）；5．方程x2y2z21,(ABC0)BCA当（）时，方程表示双叶双曲面；6．一直线上有三点A，B，P，知足AP=PB（-1）。O是空间一点，则OP用OA，OB线性表示为（）；7．a={2，-2，-1}0，则a=（）。8．连结两点A(3,10,-5),B(0,12,b)的线段平行于平面7x+4y-z+1=0，则b=（）；xxiyyizzi（i=1,2）异面的充要条件为（）。9．两直线XiYiZi210．写出双曲抛物面x2y2z的一族直母线方程（）。22ab11．二次曲线渐近方向知足的条件为（）。12．设二次曲线的方程为xF1(x,y)+yF2(x,y)+F3(x,y)0，则共轭于非渐近方向X:Y的直径方程为（）。13.矢量{2,-1,-2}的单位矢量为（）。14．在标架{O；i,j,k}下，(ij,jk,ki)=（）。221在空间中表示的图形是（15.方程xy）。22pzy16．抛物线x0绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程为（）。17．二次曲线中心（x0，y0）知足的条件是（）。平面1：Ax+By+Cz+D=0与直线l：xx0yy0zz0平行的充要条件是（）。18．XYZ第1页共12页19．单叶双曲面x2z2y2）。a2b21的腰椭圆方程为（c220．空间不共线三点Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,3).则这三点决定的平面方程是21．在空间右手坐标系下，点（1，-1，1）在第（）卦限。22．写出三种直纹面的名称（）。23．两种双曲面分别是（）。24．两种抛物面分别是（）。二．证明题1．用矢量法证明平行四边形的对角线互相平分。2．用矢量法证明三角形的余弦定理。x2y2z213.由椭球面a2b2c2r，设给的中心（即原点），沿某一方向到曲面上一点的距离是定方向的方向余弦分别为,,，试证：1222r2a2b2c2。4.试证点M(x0,y0,z0)到平面AxByCzD0间的距离为|Ax0By0Cz0D|dA2B2C25．设直线与三坐标平面的交角为,,，试证：cos2cos2cos22。用向量证明半圆上的圆周角是直角。证明:经过坐标轴的平移、旋转,二次曲线方程的次数仍旧是二次的。三．计算题1．设一平面与平面x+3y+2z=0平行，与三坐标平面围成的四面体体积为6，求平面方程。2.给定二次曲线22x6xy7y6x2y10，求：第2页共12页1）渐近线2）主直径；3）化简，并画出简图。222y3.试求单叶双曲面xz1与平面x-2z+3=0的交线对xoy平面的射影柱面方程。16454．试确定值，使直线3xy2z60与z轴相交。x4yz1505．给定二次曲线5x212xy22x12y190，求：1）渐近线2）主直径3）化简，并画出简图。6.设柱面的准线为xy2z2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。x2z7．求通过M1(0,0,1),M2(3,0,0)并且与坐标平面Oxy的夹角为的平面方程。38．给定二次曲线x23xyy210x10y210，求：1）渐近线；2）主直径；3）化简，并画出简图。9.l,m为何值时，直线x2yz90在xOy平面内。3xlyzm010.设OA=｛1,1,1｝,OB={1,-2,3},求以OA和OB为邻边的平行四边形的面积。2xy2z1011.通过直线{x2yz20与平面xyz10垂直的平面方程。12.求通过x轴，且与椭圆柱面x2＋y2=1的交线是圆的平面方程。1求以三点A1,1,1,B2,0,1,C1,0,2为极点的三角形的面积。求通过点P10,4,3,P21,2,6两点,而且平行于x轴的平面的方程。15.求通过点M1,1,1,而且与两条直线l1:xyz,l2:x1y1z1123211都相交的直线的方程。16.求通过x轴,而且与椭圆柱面x2y291的交线是圆的平面方程。4第3页共12页17.化简二次曲线方程x24xy4y212xy10,并画出草图。《几何学》作业参照答案一．填空题1．ab；2．cosab；．x2y5z30；|a||b|303030304．x1y5z3；5．B〈〈A；6．opOAOB。12117．2,2,1；x2x1y2y1z2z18．-18；9.X1Y1Z10；333X2Y2Z2xy2u10．ab11．(X,Y)012．(,)(,)0。；；YF2xyu(xy)zXF1xyab13.2,2,1；14．2；15．圆柱面；33316．x2y22pz；17．F1(x0,y0)0；18．AXBYCZ0且Ax0By0Cz0D0F2(x0,y0)0x2y2119.a2b2y0第4页共12页xx1yy1zz120.x2x1y2y1z2z10x3x1y3y1z3z121.IV.22.柱面，锥面，切线曲面。23.单叶双曲面；双叶双曲面24椭圆抛物面；双曲抛物面;25.20;26.13,1,5;27.Ⅱ,Ⅳ,Ⅵ,Ⅷ;28.(-1,-2,3);3529.x2y22;30.3;31.4,2,2;32.x2z2y2;z04333二．证明题1．证明：在平行四边形ABCD中，设AOOC，则BABCDODADCBCBABO1；11。而BO∥DO，可设BOmDO，即有BABC()0，mBCBA得m0(1)解得1，即O为BD中点，m01同理O为AC中点。12.证明：在三角形中，abc0，有a2(bc)2b2c22bccos(a,b)，即a2b2c22bccosA。3.证明：定方向的方向余弦分别为,,，x2y则定方向和椭球面2ba

2z212c2的交点坐标为（r,r,r)，将此代入椭球面方程中得：12222。r2a2b2c4.证明：过M作平面的垂线，垂足为Q（x，y，z），所以MQ∥N{A,B,C}即xx0yy0zz0=mABCxx0mAyy0mB而Q点在平面上，所以有zz0mCA（x0mA)+B（y0mB）+C（z0mC)+D=0，第5页共12页Ax0By0Cz0D得m2B2C2Ad|MQ|(xx0)2(yy0)2(zz0)2=|m|A2B2C2|Ax0By0Cz0D|。A2B2C25．证明：设直线的方向为{l,m,n}，坐标平面xoy与直线的交角为，则sin2n2l22n2，m同理2m22l2sinl2m2n2,sinl2m2n2，所以cos2cos2cos22。证明:如图ACAOOCOBOC...................CBOBOC..................ACCBOBOCOBOC2OC2r0..............=OBr22所以ACCB................证明:设二次曲线的方程为a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330经过平移变换xxx0................yyy0曲线的方程变为11221222y221(x0,y0)x2F2(x0,y0)yF3(x0,y0)0axaxyaF能够看出,二次项的系数没有改变,因此,方程仍是二次的..........经过转轴第6页共12页xxcosysinyxsin.................ycos设曲线的方程变为a11x22a12xya22y22a13x2a23ya330可知a11a11cos2a12sin2a22sin2a12a111sin2a12cos2a221sin2..22a22a11sin2a12sin2a22cos2因为cos2sin2sin21sin2cos21sin2=122sin2sin2coa2所以,当a11,a12,a22不全为零时,a11,a12,a22也不全为零.因此,曲线的次数不改变证明:xsin2.................(1)y1cos2.........(2)z2cos...............(3)(1)2(2)2(3)2得x2y2z24所以,曲线在球面S1x2y2z24上..........3分.又(2)能够写成y1cos2,则(1)2(2)2x2(y1)21,所以,曲线又在圆柱面S2:x2(y1)21上...........3分又z24cos24(1sin2)44sin2422sin2=42(1cos2)42y..........3分所以,曲线又在抛物柱面S3:z242y上...........1分第7页共12页三．计算题1．设平面方程为x+3y+2z+D=0，在x，y，z轴上截距分别为D,D,D32体积V=1|D3|1=6。得D=666所以方程为x+3y+2z6=0。2．二次曲线x22X：Y=1：1或(-7):1xy7y6x2y10的渐近方向为6中心坐标为(3,1)，所以渐近线为xy10;x7y50.两条主直径分别是x3y0;223xy50。化简得4x2y230。3．解：柱面的方向为{0，0，1}，准线为x2y2z2116450x2z3解得柱面方程为(x12)2y21。260134.解：设与z轴交点坐标为（0，0，a），代入直线方程得5。解：（1）渐近方向为0∶1和-12∶5，中心为（1,1)，渐近线为x1;5x12y170.（2）主直径为3x2y50;2x3y10.（3）化简结果为x2y241.96.xy2z2x=2z，母线的方向为{1，0，-2}得柱面的方程为：柱面的准线为x2z故准线所在的平面为4x225y2z24xz20x10z0。7.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，则与oxy坐标平面的交角有Ccos1B2C2，A232M1(0,0,1),M2(3,0,0)的坐标代入平面方程得：C+D=0，3A+D=0。三式联立求解得A：B：C：D=1：（26）：1：（-1）平面方程为x26yz10。8.（1）渐近方向为X：Y=1：1或5：1，中心坐标为（32,22)，第8页共12页渐近线为xy5205xy1720。（2）主直径为xy20x5y720。（3）化简结果为(313)x2(313)y2100。9.l6,m27.10．3811.由平面束的方程得：λ=—1。所以，所求平面方程为3x-3z+4=0.212.Z=±3y.13.解:AB1,1,0,AC0,1,1ABAC1,1,1三角形的面积=1ABAC132214.解:设所求平面方程是ByCzD0把P1,P2的坐标代人上式得4B3CD02B6CD0由以上两式得B:C:D3:2:(-6)故所求平面方程是3x2y60解:由于点M的坐标知足l2的方程,所以M在l2上因此,M与l1决定的平面上通过Ml1不平行的直线均为所求设所求直线方程为x1y1z1XYZ则X,Y,Z应该知足1111230XYZX:Y:Z1:2:3第9页共12页X2YZ0即:Y:Z1:2:3解:由对称性知,所求圆的圆心在坐标原点,半径是3.设所求平面的方程是zkyx2y21.(1)...则圆的方程为94zky该圆又能够当作是球面x2y2z232与zky的交线,即x2y2z232亦即zky,x21k2y21(2)99zky比较(1),(2)得系数得11k249解得k5,所以,所求平面方程是z5y2217.解：由公式ctg2a22a11得：ctg232a124即1tg232tg4由此得到tg12或tg2取tg2得sin2,cos155这样,转轴公式为x1(x2y)5y1(2xy)5代入原方程得化简得5x25x55y10第10页共12页即作移轴

x55y05xx

55yy代入的曲线的标准方程是x5y18.解:AB1,3,2,AC2,0,8.ABAC24,12,6所以,三角形的面积是S1242122623212又AB1232221462136所以,AB边上的高H1419.解:设所求的平面方程是Ax1By0Cz20.根据题意的2ABC0A2BC0解得A:B:C=1:3:5故,所求平面方程是x3y5z9020.解：由对称性知所求圆的圆心的