2020-2021高中数学北师大版1学案：3.4对数含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学北师大版必修1学案：3.4对数含解析§4对数知识点一对数的有关概念[填一填］（1)一般地，如果ab＝N（a〉0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数,N叫作真数．(2）以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lgN。(3）以e为底的对数叫作自然对数,N的自然对数记作lnN。[答一答]1．对数概念的理解?提示:(1）对数是一种数，对数式logaN可看作一记号，表示关于x的方程ax＝N（a〉0，且a≠1)的解;也可以看作一种运算，即已知底为a（a>0,且a≠1）幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．(2)对数符号logaN只有在a>0，a≠1,且N〉0时才有意义,而对数值b＝logaN，可以为任意的实数．知识点二对数的运算性质[填一填]如果a〉0，a≠1，M〉0,N>0，则（1)loga（MN)＝logaM＋logaN；（2）logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝n·logaM(n∈R）．［答一答]2．如何正确运用对数的运算法则?提示:(1)运算中常见的错误有:loga（MN)＝logaM·logaN.logaeq\f(M,N）＝eq\f(logaM，logaN).logaNn＝（logaN）n.logaM±logaN＝loga（M±N)．(2)注意前提条件：a〉0，a≠1，M〉0，N>0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0,就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意,M>0，N〉0与M·N〉0并不等价．(3)要注意运算法则的逆用．知识点三换底公式[填一填］logbN＝eq\f（logaN,logab）（a、b>0，a、b≠1，N>0）．［答一答]3．如何准确的应用换底公式？提示：(1）在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．（2）换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题．如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．（3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．①logab＝eq\f(1，logba），②logambn＝eq\f(n,m)logab.1．对数logaN中规定a>0,a≠1的原因2。对对数的三点说明（1）对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即ab＝N⇔b＝logaN.（2）对数通过符号logaN表达，logaN是一个整体,不是表示loga和N的乘积,字母a和N都有相应的意义和范围要求．(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.类型一对数式与指数式的互化【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式:(1）3－2＝eq\f(1,9)；（2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，4)））－2＝16；【解】（1)log3eq\f(1,9)＝－2.规律方法指数运算与对数运算是一对互逆运算,在对数式logaN＝x与指数式ax＝N（a>0，且a≠1)的互化过程中,要特别注意a，x，N的对应位置．将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式．(1）54＝625;(2)；（3)3a＝27;（4)log10解：（1）∵54＝625，∴log5625＝4。（2）∵，∴eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））－3＝8.(3）∵3a＝27，∴log327＝a（4）∵log101000＝3，∴103＝1000。类型二利用对数的运算法则进行计算【例2】计算：(1)log535－2log5eq\f（7,3）＋log57－log51。8；（2）2（lgeq\r(2））2＋lgeq\r（2）·lg5＋eq\r（lg\r（2）2－lg2＋1)；（3)(lg5)2＋lg2·lg50.【思路探究】(1）对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值;②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值．【解】(1）原式＝log5（5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f（9，5）＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2。（2）原式＝lgeq\r（2)（2lgeq\r（2)＋lg5）＋eq\r（lg\r（2)－12)＝lgeq\r(2）（lg2＋lg5)＋1－lgeq\r(2)＝lgeq\r(2)＋1－lgeq\r(2）＝1。（3）原式＝（lg5）2＋lg2·（lg2＋2lg5）＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋（lg2）2＝1.规律方法(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg（－5）2＝2lg(－5）等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中,lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．(2）对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和（差)收成积（商）的对数；②“拆"，将积(商)的对数拆成对数的和（差)．（3）对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．解：类型三换底公式的应用【例3】已知log189＝a，18b＝5，求log3645的值．（用含a,b的式子表示）【思路探究】（1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．【解】解法1:因为18b＝5，所以log185＝b，所以log3645＝eq\f(log1845，log1836）＝eq\f(log189×5，log1818×2)＝eq\f(log189＋log185，1＋log182）＝eq\f（a＋b,1＋log18\f(18，9)）＝eq\f（a＋b,2－a）。解法2：因为log189＝a，所以18a＝9。又因为18b所以45＝5×9＝18b·18a＝18a＋b.令log3645＝则36x＝45＝18a＋b,即36x＝（eq\f(18,3）×eq\f(18，3)）x＝18a＋b，所以（eq\f(182,9））x＝18a＋b,所以xlog18eq\f（182,9)＝a＋b,所以x＝eq\f（a＋b，log18182－log189）＝eq\f（a＋b，2－a）。规律方法用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．（1)log916·log881的值为（C)A．18 B.eq\f(1，18）C。eq\f（8,3) D.eq\f（3,8）解析：原式＝log3224·log2334＝2log32·eq\f(4，3)log23＝eq\f（8，3)。解析：＝eq\f(lg2，lg3)＋eq\f（lg5，lg3）＝eq\f(1,lg3）＝log310。(3)计算：（log32＋log92)·(log43＋log83)．解：（log32＋log92）·(log43＋log83)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f（log32，log39）))·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(log23,log24）＋\f（log23，log28))）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(log32＋\f（1，2)log32））·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）log23＋\f（1，3)log23)）＝eq\f（3，2）log32×eq\f(5,6)log23＝eq\f（5,4）。类型四对数方程的解法【例4】解下列方程:(1）log2（x＋1)－log4（x＋4)＝1；（2）eq\r(3lgx－2）－3lgx＋4＝0;【思路探究】根据对数方程的特点,将对数方程化为一般代数方程并求解．【解】（1)由原方程得log2（x＋1)＝log4(x＋4)＋1，∴log2（x＋1）2＝log2［4(x＋4)］，∴（x＋1）2＝4（x＋4)，解得x＝5或x＝－3，经检验x＝－3为增根，应舍去．故原方程的解为x＝5。(2）设eq\r（3lgx－2）＝y，则原方程可化为y－y2＋2＝0，解得y＝－1或y＝2。∵eq\r(3lgx－2)≥0,因此,y＝－1为增根，应舍去．由eq\r（3lgx－2)＝2，得lgx＝2，∴x＝100。经检验,x＝100为原方程的解．(3)等式两边取常用对数得[(lgx）3－2lgx]lgx＝lg0.1，(lgx）4－2(lgx)2＋1＝0，∴［(lgx)2－1］2＝0，(lgx）2＝1，lgx＝±1，∴x＝10或x＝eq\f（1，10）.规律方法解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的,必须把所求的解代入原方程进行检验．对数方程的题型与解法：名称题型解法基本型logaf（x）＝b将对数式转化为指数式f（x)＝ab同底数型logaf（x)＝logaφ(x)转化为f(x)＝φ（x）(必须验根)需代换型F（logax)＝0换元，令t＝logax转化为关于t的代数方程解下列关于x的方程：(1)log2（2x＋1）＝log2(3x);(2)eq\f(1,2)（lgx－lg3）＝lg5－eq\f(1，2）lg(x－10)；解：(1）由log2（2x＋1)＝log2（3x）得2x＋1＝3x，解得x＝1.检验：当x＝1时，2x＋1>0,3x〉0。故x＝1.（2)原方程可化为lgeq\r（\f(x，3））＝lgeq\f（5,\r（x－10）），∴eq\r(\f（x,3）)＝eq\f（5，\r（x－10）)，即x2－10x－75＝0，解得x＝15或x＝－5，检验：当x＝－5时,eq\f（x,3）〈0,x－10〈0，此时根式无意义,舍去；当x＝15时，满足题意，故x＝15.-—易错误区——因忽略真数的范围致误【错解】0或4或2【正解】4由已知得lg（xy）＝lg（x－2y）2，从而有xy＝（x－2y）2整理得x2－5xy＋4y2＝0，即（x－y）(x－4y）＝0，所以x＝y或x＝4y。但由x〉0，y>0，x－2y〉0①得x>2y〉0。所以x＝y应舍去，故eq\f（x，y）＝4。【错因分析】1。在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0。2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误．【防范措施】1。注意对数运算法则的适用条件对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零,如本例中真数“x－2y〉0”，隐含着x>2y。2．熟练掌握对数的运算法则已知2log3eq\f(x－y，2)＝log3（xy)（x>y>0),则eq\f(x,y）＝3＋2eq\r（2).解析：由题意有x〉y，xy〉0且(eq\f(x－y，2)）2＝xy。所以x2－6xy＋y2＝0，所以（eq\f（x,y)）2－6(eq\f（x,y）)＋1＝0.所以eq\f(x，y）＝3±2eq\r(2).因为x>y>0，所以eq\f(x，y)〉1，所以eq\f（x,y)＝3＋2eq\r（2）.一、选择题1．当a〉0,a≠1时，下列结论正确的是（C）①若M＝N,则logaM＝logaN;②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2,则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①② B．②④C．② D．①②③④解析：①M≤0时不对；②正确；③应为M＝±N;④M＝0时不对．2．已知x，y为正实数，则（D)解析：10lnx－lny＝eq\f(10lnx,10lny)故A错，B、C公式不对,D项10lneq\f(x，y)＝10lnx－lny＝eq\f（10lnx，10lny).选D。3．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是（A)A．a－2 B．5aC．3a－（1＋a）2 D．3a－a解析：log38－2log36＝log323－2（log32＋log33)＝3log32－2（log32＋1)＝3a－2（a＋1）＝a二、填空题4．2log525＋3log264－8ln1＝22。解析：原式＝2×2＋3log226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22。5．log6[log4(log381）]＝0。解析:log6[log4(log381）］＝log6［log4(log334）］＝log6(log44)＝log61＝0.三、解答题6．求下列各式的值．（1)log1627·log8132；