2020-2021高中数学人教版第一册学案：3.3幂函数含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：3.3幂函数含解析3．3幂函数[目标]1。记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2，3,eq\f(1,2），－1时幂函数的图象及性质；2。记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．［重点］幂函数的定义、图象和性质．［难点]利用幂函数的性质解决有关问题．知识点一幂函数的概念[填一填］一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量,α是常数．［答一答］1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝（x＋1）3是幂函数吗?提示：它们都不满足幂函数的定义,所以都不是幂函数．知识点二幂函数的图象［填一填］五种常见幂函数的图象幂函数y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x－1,y＝的图象如下图．[答一答］2．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：（1）α〉1，图象过点(0,0),(1，1)，下凸递增,如y＝x2。（2）0〈α〈1,图象过点(0,0)，(1,1),上凸递增,如y＝。(3）α<0,图象过点（1，1）,以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x〉0时，y＝xα〉0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质［填一填］五类幂函数的性质［答一答］4．对于幂函数y＝xα(α是常数,x是自变量）其在第一象限内的单调性是怎样的?提示：α〉0时,y＝xα在(0,＋∞）上是增函数；α<0时，y＝xα在（0，＋∞)上是减函数．类型一幂函数的概念[例1]下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝（x－1)2；⑥y＝x。其中幂函数的个数为(）A．1 B．2C．3 D．4[解析］②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案]B幂函数解析式的结构特征：1解析式是单项式；2幂指数为常数，底数为自变量,系数为1.［变式训练1］（1)已知幂函数f(x）＝k·xα的图象过点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2），\f(\r（2）,2）)）,则k＋α＝（C)A.eq\f（1，2） B．1C。eq\f(3，2) D．2（2）已知函数y＝（m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1,n＝eq\f(3，2).解析：(1)由幂函数定义知k＝1,把eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，\f(\r（2），2）））代入y＝xα得α＝eq\f（1，2),∴k＋α＝eq\f（3，2).选C。(2)因为函数y＝（m2＋2m－2）xm＋2＋2n－3是幂函数,由幂函数的定义得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，））解得m＝－3或1，n＝eq\f(3,2)。类型二幂函数的图象［例2］下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(）A．－1〈n<0<m<1B．n<－1,0〈m<1C．－1〈n〈0，m〉1D．n<－1,m>1［解析］由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0〈m〈1；由y＝xn的图象是双曲线，知n〈0。作直线x＝x0(0〈x0〈1)，与y＝xn、y＝x－1的图象分别交于点A、B,由“点低指数大”知n〈－1.故选B。［答案］B在区间（0，1）上，幂函数的指数越大,图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．[变式训练2]幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②,③,④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(D）A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：∵x－eq\r(x)＝eq\r(x)(eq\r(x)－1)，当0<x<1时，x－eq\r（x)〈0,即x〈eq\r(x）〈1，∴幂函数y＝的图象经过区域①；当x>1时，x－eq\r(x）>0，即x〉eq\r（x)>1，∴幂函数y＝的图象经过区域⑤。类型三幂函数的性质应用［例3］比较下列各组中三个数的大小．［分析]本题考查幂函数．比较幂值大小的方法分类比较对象方法指数相同,底数不同xeq\o\al(α，1)与xeq\o\al（α，2)利用幂函数y＝xα的单调性底数相同，指数不同ax1与ax2利用不等式性质底数、指数都不同ax1与bx2寻找“中间量"ax2或bx1或1或0等［变式训练3］比较下列各组中两个值的大小:1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(B）A．y＝－x3 B．y＝x－3C．y＝2x3 D．y＝x3－12．如果幂函数f（x)的图象过点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（4，\f（1，2）))，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，16）））的值为（D）A.eq\f(1,2) B．2C．1 D．4解析：设f(x)＝xα.∵f（x)的图象过点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f（1，2)))，∴eq\f(1，2）＝4α，解得α＝－eq\f(1,2)。∴f(x）＝＝4。3．函数y＝的图象是(B)解析：∵函数y＝是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点（1，1），排除A，D.当x>1,0〈α〈1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C,选B.4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为－eq\f(1,2).解析:∵y＝x－1在（－∞，0）上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2］上递减，∴y＝x－1在[－4,－2］上的最小值是－eq\f(1，2）。5．比较下列各题中两个幂的值的大小：——本课须掌握的三大问题1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1）所有幂函数在（0，＋∞）上都有定义,并且当自变量为1时，函数值为1,即f(1)＝1。（2）如果α〉0