人教版六年级数学下册6-5数的运算（方程和比例）同步拓展讲与练+奥数培优（无答案）

式与方程、比和比例一、式与方程知识点1用字母表示数、数量关系、运算定律和计算公式等。注意：用字母表示计算结果时，必须是最简明的式子。如：小美今年a岁，比妈妈小26岁，5年后小美和妈妈的年龄和是多少岁？练习：1.甲数是a，比乙数少2，甲、乙两数的和是（）。2.一杯水有2升，每次倒出x毫升，倒了4次后还剩下（）毫升。3.张老师买了3个足球，每个足球x元，他付给售货员300元，那么“3x”表示（），“300－3x”表示（）。4.一件女装原价a元，现在打7折出售，比原价优惠了（）元。5.3个a相加的和是（），3个a相乘的积是（）。6.笑笑今年a岁，爸爸的年龄比笑笑的3倍还多b岁，爸爸今年（）岁；如果a是11，b是5，那么爸爸今年（）岁。7.学校食堂有面粉a千克，每天用去千克，用了b天，剩下面粉的千克数用含有字母的式子表示是（）；如果a＝50，b＝4，那么剩下的面粉是（）。8.张叔叔在某小区租了一套房子。去年每月租金为a元，今年每月租金比去年下降了10%，今年每月租金是（）元，如果a＝1200，那么今年每月的租金是（）元。知识点2等式与方程1.等式的含义：表示相等关系的式子叫做等式。2.方程的意义：含有未知数的等式叫做方程。3.等式与方程的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。4.方程的解的意义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。5.解方程的意义：求方程的解的过程叫做解方程。知识点3等式的性质1.等式的性质（1）：等式的两边同时加上（或减去）同一个数，左右两边仍然相等。2.等式的性质（2）：等式的两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，左右两边仍然相等。知识点4列方程解应用题的一般步骤1.设x；2.找等量关系，列方程；3.解方程；4.检验，并写出答语。知识点5找等量关系的方法1.从题中反映的基本数量关系确定等量关系。如：原有的＋运来的－卖出的＝剩下的。2.根据几何图形的周长、面积或体积公式确定等量关系。如：底×高×＝三角形的面积。3.根据常见的数量关系确定等量关系。如：单价×数量＝总价。4.抓住关键句确定等量关系。如：根据“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”可列出“舞蹈队人数×3＋15＝合唱队人数”。5.借助线段图确定等量关系。如：可列出方程，x＝9。练习：1、解方程或解比例。x＋x＝52x÷＝÷x＝5－x＝x－x＝÷（＋x）×9＝：＝6：xx：＝21：＝2.用小棒按下面的顺序拼摆八边形。根据上图填表。八边形的数量/个12345...小棒的数量/根81522...如果摆成n个八边形，需要（）根小棒，n＝6时，需要（）根小棒。用50根小棒能拼摆成（）个八边形。3.列方程解决问题。李明和张亮集邮，李明集的张数是张亮的倍。如果张亮再集60张就和李明集的张数一样多。两人原来各有多少张邮票？某公园春季绿化，栽柳树360棵，再加上24棵就是银杏树的2倍。栽了多少棵银杏树？水果店购进樱桃30箱，樱桃比苹果的箱数少。水果店购进苹果多少箱？学校举行“六一”庆祝活动，六（1）班有12人参加演出，比六（2）班参加演出的少20%，六（2）班有多少人参加了演出？欧亚商场因换季销售某种商品，如果按定价的五折出售将赔30元；如果按定价的九折出售，将赚20元。这种商品的定价是多少元？有两个书架，第一个书架放的书比第二个书架的3倍还多18本，如果把第一个书架的书拿80本放到第二个书架，那么两个书架所放的书的本数相等。原来两个书架各有多少本书？二、比和比例知识点1比和比例的联系与区别比：表示两个数相除。比例：表示两个比相等的式子。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。（化简比的依据）比例的基本性质：比例里，两个外项的积等于两个内项的积。（解比例的依据）知识点2比与分数、除法的联系1.比与分数、除法的联系名称联系例子比前项比号（：）后项比值5:8分数分子分数线（—）分母分数值除法被除数除号（÷）除数商5÷82.比的基本性质、分数的基本性质和商不变的规律之间的联系。如：5:8＝（5×2）：（8×2）＝（5÷2）：（8÷2）＝＝5÷8＝（5×2）÷（8×2）＝（5÷2）÷（8÷2）知识点3求比值和化简比意义方法结果求比值前项除以后项所得的商。用前项除以后项。一个数（整数、分数或小数。）化简比把两个数的比化成最简单的整数比。前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），也可以用求比值的方法，用前项除以后项，得出一个比。一个比。练习：（1）一项工程，甲单独做要4天完成，乙单独做要5天完成，甲和乙的工作效率比是（）。把2米：4厘米化成最简单的整数比是（），比值是（）。把:化成最简单的整数比是（），比值是（）。把：化成最简整数比是（），比值是（）。一个最简整数比的比值是，这个比是（）。与它的倒数的比是（）。如果a×7＝b÷2（a、b均不为0），那么a：b＝（）：（）（最简整数比）。除数、被除数的比是1:3，被除数、除数、商的和是35，被除数是（）。一个圆柱和一个圆锥的体积比是3:2，底面积的比是2:3，高的比是（）。（10）:化成最简单的整数比是（），20千克和吨的比值是（）。（11）把：化成最简的整数比是（），比值是（）。（12）甲数的25%等于乙数的（甲、乙均不为0），甲数和乙数的比是（）。A、25%：B、8:5C、5:8知识点4正比例、反比例的意义和判断方法1.判断正、反比例的方法：一找二看三判断，即：①找变量；②看定量；③判断2.正比例与反比例的异同正比例关系反比例关系相同点1、都是两种相关联的量。2、一种量随着另一种量的变化而变化。不同点1、变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。2、相应的两个数的比值一定。3、关系式：（一定）4、正比例关系图1、变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。2、相对应的两个数的积一定。3、关系式：（一定）4、反比例关系图知识点5比例知识解决实际问题1.按比分配问题。按比分配应用题：把一个数量按照一定的比分成几部分，求各部分数量是多少的应用题叫做按比分配应用题。解题方法。①一般方法：把比转化成分数，用分数方法解答，即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照“求一个数的几分之几是多少”的解题方法分别求出各部分量是多少。②归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用“总量÷总份数＝每份的量”，再用“每份的量×各部分量所对应的份数”求出各部分量。③用比例知识解答：首先设未知量为x，然后根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x的比例式，再解比例求出x。2.用正比例、反比例知识解答应用题的步骤。（1）分析数量关系。判断成什么比例。（2）找等量关系（“等比”或“等积”）。（3）列比例式。（4）解比例。（5）检验，并写出答语。练习：1.下面各题中的两种量是否成比例？如果成，成什么比例？用煤的天数一定，每天的用煤量与总用煤量（）比例。圆柱的底面积一定，那么它的体积和高（）比例。小麦的出粉率一定，那么小麦的质量和所出面粉的质量（）比例。已知8x＝3y（x、y均不为0），x和y（）比例。已知＝y（x≠0），x和y（）比例。《少年素质教育报》的单价一定，总价和订阅的数量（）比例。下面几组相关联的量中，成反比例的是（）。A.行一段路，已行的米数与未行的米数B.正方形周长和边长C.看一本故事书，每天看的页数和看的天数D.爸爸和儿子的年龄（8）下列各题中的两种量，成正比例的是（）。A.小东的身高和体重B.修一条水渠，每天修的米数和天数C.正方形的边长和面积D.订《中国少年报》的份数和钱数（9）下面每两种相关联的量，成正比例的是（）。（2022.唐山路北）A.圆的半径和面积B.订《少年科学画报报》的份数和所需的钱数C.汽车从甲地到乙地，行车时间和速度D.三角形面积一定，它的底和高2.填空。小刚和小明两家住在同一单元的对门。小刚从家到学校用8分钟，小明从家到学校用9分钟，则小刚和小明的速度比是（）。水是由氢和氧按1:8的质量比化合而成的。的水含氢（）kg，含氧（）kg。（3）在一个三角形中，三个角的度数比是1:5:6，其中较小的角是（）度,这是一个（）三角形。（4）有一个等腰三角形，顶角和一个底角的度数比是2:1，这个三角形的三条边分别是1分米，1分米，分米，这个三角形的面积是（）平方厘米。（5）A、B两车同时从东村开往西村，A、B两车的速度比是4:3，当到了西村时，A车用了小时，B车用了（）小时。3.判断。（1）5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率5%。（）红花和黄花的朵数比是5:6，表示红花比黄花少。（）（3）一段路程，甲车要6小时，乙车要8小时，甲乙的速度比是4:3。（）4.解决问题。（1）小红的身高是，她的影长是。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长是4m，这棵树有多高？（2）一支工程队铺一段铁路，前3天铺了千米，照这样计算，8天可以铺多少千米？（用比例知识解题）（3）明明家装修，用一种方砖铺地，200块能铺50m2。照这样计算，小青家的厨房地面有12m2，需要这样的方砖多少块？（4）汉江码头第一货场有750吨货物，分给两个运输队运到另一货场。甲队有载质量6吨的汽车6辆，乙队有载质量8吨的汽车3辆，按两个队的运输能力分配，甲、乙两队各应运货多少吨？（5）客车和货车分别从A、B两地同时开出，相向而行，小时后在离中点18km处相遇，已知客车与货车的速度比是4:3，求A、B两地相距多少千米。（6）星期天，有很多人在胜利公园游玩，其中老年人和中年人的人数比是2:9，中年人和儿童的人数比是3:7，这天共收取门票费1917元。求老年人、中年人和儿童的人数各是多少。老年人：票价1元中年人：票价3元儿童：票价2元知识点6比例尺及用比例尺解决实际问题1.比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。2.比例尺的关系式：图上距离：实际距离＝比例尺或＝比例尺3.比例尺的分类：数值比例尺线段比例尺缩小比例尺放大比例尺4.用比例尺的知识解决实际问题：比例尺＝图上距离÷实际距离；(先统一单位，再相比，并化简。)图上距离＝实际距离×比例尺；(先把实际距离的单位转化成cm，再计算。)实际距离＝图上距离÷比例尺。(计算得到的cm转化成实际距离的