新高考数学二轮复习解析几何专题讲与练第20讲双曲线的离心率问题(教师版)

第20讲双曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个特别重要的性质，求离心率的值或者取值范围是解析几何中的重点，难点，也是高考中考查的高频考点。圆锥曲线的诸多性质都与离心率息息相关，离心率的变化直接导致圆锥曲线的类型与形状的变化，它也是圆锥曲线统一定义中三要素之一。求解圆锥曲线离心率，可以直接利用定义，方程思想或者几何性质一：利用渐近线与离心率的关系求解例1：双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，则它的离心率为。解析：依题意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0例2：SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的一个焦点，过SKIPIF1<0且与一条渐近线平行的直线SKIPIF1<0与双曲线交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，求双曲线的离心率解析：设直线SKIPIF1<0与渐近线SKIPIF1<0平行，则有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在双曲线上，故代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0例3：SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的一个焦点，虚轴的一个端点为SKIPIF1<0，如果直线SKIPIF1<0与该双曲线一条渐近线垂直，那么该双曲线的离心率为解析：设双曲线的方程为SKIPIF1<0，则渐近线SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为直线SKIPIF1<0与渐近线垂直，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点评：双曲线的渐近线出现SKIPIF1<0的形式，与离心率的值相关，将其转化为SKIPIF1<0，求得其离心率二：焦点三角形求解离心率例4：设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的公共焦点，它们在第一象限交于点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0的值为解析：如图：设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0例5：设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，点SKIPIF1<0在双曲线上，且满足SKIPIF1<0，则该双曲线的离心率为解析：由焦点三角形面积公式：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以双曲线的离心率SKIPIF1<0点评：在焦点三角形SKIPIF1<0中，对于椭圆SKIPIF1<0，对于双曲线SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）三：不等式求离心率取值范围例6：双曲线SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离与点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离之和SKIPIF1<0，求双曲线离心率的取值范围解析：直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离与点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离之和，即为原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的SKIPIF1<0倍，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围：SKIPIF1<0例7：已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0为左右焦点，SKIPIF1<0，求双曲线离心率的取值范围解析：SKIPIF1<0，由均值不等式可知：当且仅当SKIPIF1<0时取得最小值SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0四：存在性问题例8：已知双曲线SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0,抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的渐近线上存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0,则双曲线SKIPIF1<0的离心率取值范围是解析：双曲线SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，双曲线的渐近线方程为：SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0,即有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0例9：已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0为左右焦点，SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，则该双曲线离心率的取值范围是解析：由SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,联立可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,化简可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0五：双曲线与圆综合例10：已知双曲线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是解析：由双曲线和圆的对称性可知：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0例11：已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0，其渐近线与圆SKIPIF1<0有公共点，则双曲线SKIPIF1<0离心率的取值范围为解析：双曲线SKIPIF1<0渐近线方程为SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0其渐近线与圆有公共点，可得SKIPIF1<0,即有SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0巩固练习:1.点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0为双曲线的左右焦点SKIPIF1<0,求双曲线离心率的取值范围2.设SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0离心率SKIPIF1<0的取值范围为3.已知双曲线SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0两点关于SKIPIF1<0对称，求该双曲线离心率取值范围4.已知SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，SKIPIF1<0为双曲线右支上一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线过坐标原点SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为5.已知SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，双曲线上存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则此双曲线SKIPIF1<0离心率的取值范围是6.已知SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，过点SKIPIF1<0与双曲线一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆外，则双曲线SKIPIF1<0的取值范围是参考答案:1.由双曲线定义：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，由三角形性质：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<02.由题意得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<03.设SKIPIF1<0，弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，由点差法求得SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在双曲线内部时，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，无解；当点SKIPIF1<0在双曲线外部时，点SKIPIF1<0应在两渐近线相交的上下区域内，由线性规划可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<04.SKIPIF1<0,由双曲线定义：SKIPIF1