挑战满分大题专练十六-综合练习-2021届高三高考数学三轮复习

挑战满分大题专练(十六)一综合练习(2)1.已知等差数列U｛a｝的前n项和为S，且a+S=20,(1)求数列｛a｝的通项公式;(2)(2)设数列｛b｝满足b=4，且b-b=4a，求数列｛n+1n n)的前n项和T.解：(1)设等差数列｛a｝的公差为d, a2+S3=20,S6=2S/d=2(4彳+...a+d+3a+3dd=2(4彳+a=3+2(n-1)=2n+1.(2(2)设数列｛b｝满足b=4n+1n则b则b=(b—b1)+(b1-b2)+ + (b2-b)+b1=4(2n-1+2n-3+ + 3)+4/(n-1)(2n-1+3) //=4x +4=4n2.b-14n2-12(2n-12n+1数列｛｝的前数列｛｝的前n项和T=i(1-1+1-1+ +n2 335)=2(1-2n+1且满足2.已知a,b,c分别是AABC内角A,B,C所对的边，且满足a(sinA--sinB)=(sinC+sinB)(c-b)，若P为边AB上靠近B的三等分点，CP=-，求:2 3(1)求cosC的值;(2)求b+2a的最大值.解：(1)由题意及正弦定理得到a(a-1b)=(c+b)(c-b),2由余弦定理可得cosC由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab2ab4(2)作AD//BC角CP延长线于D所以AAPD^所以AAPD^ABPC，相似比AP2BP1因为AD=2a,可得DC2=AD2+AC2-2AD-AC-cos(A+B),所以1=4a2+b2+2x2ab•cosC,所以4a2+b=1-ab，可得(2a+b)2=1+3ab,所以4a2+b+ab2V4a2b2+ab=5ab，可得abl，当且仅当4a2=b2时取等号，58所以(2a+b)2=1洋3ab5,55所以255所以2a+b，艮即b+2a的最大值为.3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC=2,AC=BC=2<2,AC1BC,D为棱AB上一点，BD=3AD，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上.(1)证明：AB±平面PDE；(2)求三棱锥P-AEF的体积.(1)证明：如图，取AB的中点H，连接CH,BD=3AD，JD为AH的中点，则DE//CH，AC=BC,/.CH1AB，则ED±AB,又二•点E在平面PAB上的射影F在线段PD上，EF1平面PAB,而ABu平面PAB, EF1AB,EFED=E,EF、DEu平面PDE,ABp|平面PDE；(2)解：AB±平面PDE,PEu平面PDE,/.AB±PE,•・点E为棱AC的中点，PA=PC,PE1AC,又ACAB=A,AC、ABu平面ABC,/.PE1平面ABC,

而DEu平面ABC,，PE1DE,PA=而DEu平面ABC,，PE1DE,PA=PC=2,AC=BC=2V2,AC1BC,PE=22,DE=1,PD=、3,在RtAPDE中3 3 百由RtADEFsRtADPE，得DF=——,3即PF=2FD,:.S =2SAPAF 3APAD・'匕一AEF 匕一PAF1］向<3=-x—x1xx-3=—,2 31, “1 <3<6 v2=S•EF=xx=3apaf3 3 3 9••・三棱锥P-AEF的体积为—.4.2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日〜2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目.如表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表:2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）2022北京赛区延庆赛区张家口赛区年开冰冰速短花高有钢无跳北越单冬1当2月闭壶球度道样山舵架舵台欧板季t目日幕滑速滑滑雪雪雪滑两滑滑两工弋决式冰滑冰雪橇车橇雪项雪雪项芋r赛1导数5（六）**11*11*1L66（日）**1*11111L7

说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.(I)(i)若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；(ii)若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；(II)若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布列及期望E(X).解：(I)(i)记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件A.由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有10x10=100种不同方法，其中恰好看到冰壶冰球，共有2种不同方法.所以，恰好看到冰壶和冰球的概率P(A)=二-=—.10050(ii)记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B.由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6x7=42 种不同方法，其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有4x4=16.所以P(B)=26=3.42 7(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.,一一、 C34根据题意，P(X=1)=<=—C3357…c、C1-C2+C1-C2+C1C2+C2C11+6+12+423P(X=2)=-2 1__4 2-^ 2-^= =一C3 35 3573)35C：.C：.c11"343)3574357435随机变量X的分布列是:X123P4238353535数学期望E(X)=1x—+2x23+3x—=35 35 35.已知椭圆C:上+”=1的右焦点为F，过点F的直线/与椭圆C交于A,B两点.9 8(1)若直线/的倾斜角为45。，求IABI的值;(2)记椭圆C的右顶点为D，若点M(9,yM),N(9.yj分别在直线AD,BD上，求证:

FM1FN.解：(1)由椭圆的方程可得右焦点F(1,0),由题意可得直线l的方程为：y=%-1,设A(xi,甲,B(x2，y2)，联立整理可得：17x联立整理可得：17x2-18x-63=0，所以x+x=1763xx=-17所以弦长IAB1=小+k2-Ix-xI=1++1•\(x+x)2-4xx=2-'2•J2-+-+4x—=—；1 2 12 12 \172 17 17(2)证明：由题意可得右顶点D(3,0)，当直线l的斜率不存在时x=1，可以求得M(9,-8)，N(9,8)，8—0-8—0 1所以kFM•kFN 所以kFM•kFN9-19-1所以可证得FM1FN；当直线l的斜率存在时设直线l的方程为：y=k(x-1)，设A(x1，y1)，B(xy=k(x-1)联立=1联立=1整理可得：(8+9k2)x2-18k2x+9k2-72=0，18k18k2x+x= ，1 2 8+9k29k2-72xx= ，12 8+9k2yy=k(x-1)•k(x-1)=k2xx-k2(x+x)+k2，M共线，yr—0y—M-—0x-M共线，yr—0y—M-—0x-39-3N共线，y—0yir-—0,x2-39-3,FN的斜率之积kFM•kFN由D，A，由D，B，故直线FM9k2[，解得y=-6yL，Mx-3解得y=-61-，Nx2-3y-0y-0y•y=M N =—MN9-1 9-1 649y1y216(x-3)(x-3)1 29k2[xx.-(x+x.)+1]16[xx-3(x+x)+9]9k2-728+9k218k28+9k2+1]…9k2-72018k216[ 3• 8+9k2 8+9k2+9]所以可证得：FM1FN.已知函数f(x)=(x+3)e-x+2x.(1)证明：/(x)恰有两个极值点;(2)若/(幻QX2+3,求〃的取值范围.解：(1)证陈f\x)=e-x-(x+3>-x+2=(-x-2)e-x+2,所以r(0)=0,所以〃(x)="(x+l),所以当x<-1时，ff\x)<0,r(x)单调递减，当九〉-1时，广⑴〉0，广(%)单调递增，所以「(幻=/X-l)=-e+2<0,min1(-2)=2〉0，所以存在唯一X£(-2,-1)使得/(X)=0,0 0所以当时，f\x)>0,/(x)单调递增，0当x<犬<0时，f\x)<0,/(x)单调递减，0当0<x时，f\x)>0,/(x)单调递增，所以/(幻有2个极值点.(2)令g(x)=y(x)-ax2-3-(x+3)e-x+2x-ax^-3,g'(x)=e-x(-x-2)-2ax+2,g〃(x)=e-x(x+l)-2a,因为g(0)=0,5(0)=0，所以若g(x)0,则g〃(0)0,所以e。(0+ 2a0,即圣—，下面证明当〃 /