演示文稿第四章矩阵的标准型

演示文稿第四章矩阵的标准型当前1页，总共87页。第四章矩阵的标准型当前2页，总共87页。

标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特别地，对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！当前3页，总共87页。§1、矩阵的Jordan标准型由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也大了。当前4页，总共87页。一、Jordan标准型的概念定理1

设是复数域上的线性空间上的线性变换。令在的一组基下的矩阵表示为，如果的特征多项式可分解因式为则可分解成不变子空间的直和这里当前5页，总共87页。适当选取每个子空间的基（称为Jordan基），则每个子空间的Jordan基合并起来即为的Jordan基，并且在该Jordan基下的矩阵为块对角阵称为的Jordan标准型。并称方阵为阶Jordan块。当前6页，总共87页。定理2

设。如果的特征多项式可分解因式为则可经过相似变换化成唯一的Jordan标准型(不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为Jordan变换矩阵)使或者有Jordan分解当前7页，总共87页。二、Jordan标准型的一种简易求法把的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起，就得到Jordan标准型其中是阶的Jordan子矩阵，有个阶数为的Jordan块，即当前8页，总共87页。其中是阶的矩阵。根据的结构，将Jordan变换矩阵列分块为由，可知当前9页，总共87页。进一步，根据的结构，将列分块为其中是阶矩阵。由，可知当前10页，总共87页。最后，根据的结构，设由，可知当前11页，总共87页。解这个方程组，可得到Jordan链这个名称也可以这样理解：其中，是矩阵关于特征值的一个特征向量，则称为的广义特征向量,称为的级根向量。当前12页，总共87页。当所有的时，可知，此时矩阵没有广义特征向量，的各列是的线性无关的特征向量，因此Jordan块

都是一阶的，此时Jordan标准型为

即矩阵是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最特殊的可对角化矩阵。当前13页，总共87页。例3

求矩阵的Jordan标准型和相应的Jordan变换矩阵，其中当前14页，总共87页。解：特征值为，所以设因为特征值为单根，所以并从解得对应的特征向量为当前15页，总共87页。对于二重特征值，由只解得唯一的特征向量为因此中只有一个Jordan块，即求解，可得所需的广义特征向量对重根有几个特征向量，就有几个约旦块当前16页，总共87页。综合上述，可得当前17页，总共87页。例4

用Jordan标准型理论求解线性微分方程组当前18页，总共87页。解：方程组的矩阵形式为这里当前19页，总共87页。其中由上例，存在可逆线性变换使得当前20页，总共87页。所以原方程组变为即解得当前21页，总共87页。最后，由可逆线性变换得原方程组的解当前22页，总共87页。例5

现代控制理论中，线性定常系统(Lineartimeinvariant,LTI)的状态空间描述为这里矩阵表示了系统内部状态变量之间的联系，称为系统矩阵；矩阵称为输入矩阵或控制矩阵；矩阵称为输出矩阵或观测矩阵；矩阵称为直接观测矩阵。当前23页，总共87页。做可逆线性变换，则显然，最简单的就是的Jordan标准型。此时虽然没有实现状态变量间的完全解耦，但也达到了可能达到的最简耦合形式。因此线性变换就是状态空间的基底变换，其目的在于寻找描述同一系统的运动行为的尽可能简单的状态空间描述。当前24页，总共87页。求下列状态方程的约当标准型：这里矩阵是特征多项式的友矩阵。当前25页，总共87页。解：的特征值为，故设因为特征值为单根，所以并从解得对应的特征向量为当前26页，总共87页。只解得唯一的特征向量为对于二重特征值，由因此中只有一个Jordan块，即求解，可得所需的广义特征向量当前27页，总共87页。综合上述，可得当前28页，总共87页。因此经过可逆线性变换后，系统矩阵和控制矩阵分别为当前29页，总共87页。例6

求矩阵的Jordan标准型和相应的Jordan变换矩阵，其中当前30页，总共87页。因为特征值为单根，所以解：的特征值为，则并从解得对应的特征向量为当前31页，总共87页。对于三重特征值，由

解得两个特征向量为因此中有两个Jordan块，即当前32页，总共87页。求解，无解！！求解，可得所需的广义特征向量综合上述，可得综合上述，可得当前33页，总共87页。要特别当心的是，如果选取三重特征值的特征向量为求解，无解！！求解，也无解！！！这说明，在选取特征值的个特征向量前述求法显然存在有待深化。这说明，在选取特征值的个特征向量当前34页，总共87页。三、Jordan标准型的一般方法有非零解的最小正整数。根据前面的分析，这个最小正整数也就是相应于特征值的最大Jordan块的阶数。设为复方阵的代数重数为的特征值，为使得等式成立的最小正整数(称为特征值的指标)，即使得当前35页，总共87页。（3）计算。按此计算出的就是阶Jordan块的个数。不计顺序，就唯一确定了相应的Jordan标准型。规定。（1）计算（2）计算直至出现当前36页，总共87页。则则可得最长的Jordan链取满足至于相应的子矩阵的构造，我们通过一个例子来说明。假定当前37页，总共87页。这里对于另外两条长为2的Jordan链，可这样选取：当前38页，总共87页。例7

求矩阵的Jordan标准型和相应的Jordan变换矩阵，其中当前39页，总共87页。因为特征值为单根，所以解：的特征值为，则并从解得对应的特征向量为当前40页，总共87页。对于三重特征值，计算得从而得最长的Jordan链解得非零向量当前41页，总共87页。显然线性无关。解得非零向量令当前42页，总共87页。可以验证成立等式当前43页，总共87页。§2、矩阵及其Smith标准型由于Jordan标准型的计算需要特征值、特征向量及广义特征向量的信息，因此与特征多项式关系密切。从函数的眼光看，特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵），这就自然引出对矩阵的研究，并希望能籍此简化Jordan标准型的繁杂计算。当前44页，总共87页。一、矩阵及其标准型定义1称矩阵为矩阵，其中元素

为数域上关于的多项式。定义2称阶矩阵是可逆的，如果有并称为的逆矩阵。反之亦然。

注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的。当前45页，总共87页。定理3矩阵可逆的充要条件是其行列式为非零的常数，即定义4如果矩阵经过有限次的初等变换化成矩阵，则称矩阵与等价，记为定理5矩阵与等价的充要条件是存在可逆矩阵，使得当前46页，总共87页。定理6任意阶的矩阵都必定有一个与之等价的Smith标准型这里，非零对角元是首一（首项系数为1）多项式，并且当前47页，总共87页。例7

求矩阵的Smith标准型，其中当前48页，总共87页。解：对矩阵进行初等变换，可得当前49页，总共87页。当前50页，总共87页。当前51页，总共87页。当前52页，总共87页。当前53页，总共87页。即为所求的Smith标准型。当前54页，总共87页。二、矩阵的性质定义8矩阵的Smith标准型中的非零对角元

称为的不变因子。这说明我们可以通过先求Smith标准型，再来确定不变因子。例7就是这么做的。当前55页，总共87页。定义9矩阵的所有非零阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式

称为的阶行列式因子。定理10等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子。当前56页，总共87页。定理11

矩阵的Smith标准型是唯一的，并且定理11说明我们可以用行列式因子来确定不变因子，从而得到唯一的Smith标准型。但行列式因子的计算复杂，所以通过初等变换求Smith标准型显然“胜出”。这在线性代数中处理数字矩阵时也是如此。定理12矩阵与等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）。当前57页，总共87页。定义13

将矩阵的所有非常数不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为的初等因子。例如例7中的不变因子为因此的初等因子为当前58页，总共87页。例14

矩阵的不变因子为则矩阵的所有初等因子为当前59页，总共87页。如果知道矩阵的所有初等因子，能否确定相应的不变因子呢？等价矩阵的初等因子是否相同呢？下面的两个矩阵的初等因子相同，但不变因子不相同，也不是等价矩阵，因为它们的秩不相等：定理15矩阵与等价的充要条件是它们有相同的初等因子，并且秩相等。当前60页，总共87页。例16

求矩阵的Smith标准型，其中当前61页，总共87页。解：对矩阵进行初等变换，可得当前62页，总共87页。当前63页，总共87页。当前64页，总共87页。即为所求的Smith标准型。当前65页，总共87页。例16中的不变因子为因此的初等因子为反之，如果还知道的秩为3，则可知的三个不变因子，进而可确定的Smith标准型，因此也可唯一确定相应的Jordan块，即：当前66页，总共87页。总结等价不变因子或行列式因子相同初等因子相同秩相同当前67页，总共87页。三、利用Smith标准型求Jordan标准型定理17两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价。定义18称阶数字矩阵的特征矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子。定理19两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。当前68页，总共87页。不变因子或行列式因子相同初等因子相同

与等价

与相似

与的秩都为当前69页，总共87页。定理20复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子。由定理20和例16可知，初等因子与阶Jordan块存在一一对应关系。因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的Jordan标准型。当前70页，总共87页。例21

求矩阵的Jordan标准型，其中当前71页，总共87页。解：对矩阵进行初等变换，可得当前72页，总共87页。当前73页，总共87页。当前74页，总共87页。因此的初等因子为从而所求Jordan标准型为初等因子法的优缺点都是不能求出Jordan变换矩阵。当前75页，总共87页。§3、Cayley-Hamilton定理及其应用Jordan标准型的计算复杂，而特征多项式与之关系密切。由于Cayley和Hamilton发现矩阵的特征多项式是矩阵的零化多项式（相当于零因子式），因此类比多项式的带余除法理论，以适当的零化多项式为商，将矩阵多项式转化为相应的余式，从而降低多项式的次数，就成了另一种思路。当前76页，总共87页。一、Cayley-Hamilton定理定理1（Cayley-Hamilton定理）阶方阵是其特征多项式的“根”，即定义2是关于的多项式。如果，则称是矩阵的零化多项式。显然矩阵的特征多项式是矩阵的一个零化多项式。当前77页，总共87页。例3

求矩阵的矩阵多项式