题型分类教案：不等式与二次不等式题型2.1-2.3

一元二次方程、函数和不等式【一元二次方程】1.解法：（1）直接开平方法（2）配方法（3）因式分解法（4）公式法：一元二次方程的求根公式.2.根与系数关系:判别式为.3.韦达定理：，.【一元二次函数】1.概念表示：二次函数与2.性质：对称轴、开口、交点、顶点、增减性【一元二次不等式】二次函数与一元二次不等式之间的关系若，的解集为；的解集为。若，的解集为；的无解。若，的解集为x可取任意实数。的无解。【等式与不等式性质】要点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③.对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立.要点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：

(1)对称性：

(2)传递性：

(3)可加性：(c∈R)

(4)可乘性：a>b，

运算性质有：

(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：(4)可开方性：要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.【不等式运算1】已知，求，的取值范围．【解析】因为，所以，.两式相加，得.因为，所以，则.又α＜β，所以，则.【不等式运算2】已知，求（1）

(2)的取值范围.【答案】（1）；（2）【不等式判断1】对于实数a,b,c判断以下命题的真假（１）若a>b,则ac<bc;（２）若ac2>bc2，则a>b;（３）若a<b<0,则a2>ab>b2;（４）若a<b<0,则|a|>|b|;（５）若a>b,>,则a>0,b<0．【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。【解析】（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题.（２）因为ac2>bc2,所以c≠0,从而c2>0，故原命题为真命题.（３）因为，所以a2>ab①又，所以ab>b2②综合①②得a2>ab>b2，故原命题为真命题．（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．（５）因为，所以所以，从而ab<0又因a>b，所以a>0,b<0，故原命题为真命题．【不等式判断2】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题中能成立的是()．＞bcB.－c＞b－d；·(d－c)＞b(d－c)【答案】ACD；【不等式判断3】下列命题中的真命题为（１）若a>b,则ac2>bc2；（２）若a<b<0，则<；（３）若a<b<0，则>；（４）若a<b<0，则<1；（５）若c>a>b>0，则＞．【答案】（4）（5）【解析】（１）∵c2≥0，当c=0时ac2=bc2=0，故原命题为假命题。（２）举特例-2<-1<0但->-1，故原命题为假命题。（３）由于a<b<0，所以，所以，∴，故原命题为假命题。（４）∵a<b<0，∴|a|>|b|>0，∴＜１，∴＜１，故原命题为真命题．（５）∵c>a>b>0，∴，∴c-b>c-a>0，∴＞＞0，又∵a>b>0，∴＞，故原命题为真命题．【二次不等式的解法1】解下列一元二次不等式（1）；（2）；（3）【二次不等式的解法2】解下列关于x的不等式（1）x2-2ax≤-a2+1；（2）x2-ax+1>0；（3）x2-(a+1)x+a<0；【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；【解析】(1)∴原不等式的解集为.(2)Δ=a2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R.（3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}当a=1时，原不等式的解集为.【二次不等式的解法3】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；【答案】当a=0时，x∈(-,2].当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为①当a>0时，若，即时，；若，即时，x∈R；若，即时，.②当a<0时，则有：，∴.【二次不等式逆向求解1】不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【思路点拨】由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.【解析】由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，∴，∴化为，即，解得，故不等式的解集为.【二次不等式逆向求解2】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______,b=________.【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知a<0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2.由根与系数关系得解得a=-2,b=-2.【二次不等式逆向求解3】已知的解为,试求、,并解不等式.【答案】由韦达定理有：，，∴,.∴代入不等式得，即，，解得，故不等式的解集为：.【二次不等式逆向求解4】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【答案】由韦达定理有：，解得,代入不等式得，即，解得或.∴的解集为：.【二次不等式恒成立问题1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【解析】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3>0,对一切实数x成立，符合题意.若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.(2)当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以，即，∴1<m<19.综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.【二次不等式恒成立问题2】若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】关于的不等式的解集为空集即的解集为R当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即