自动控制原理作业

第五章

线性系统的频域分析法25-5频率域稳定判据s平面上的点与F(s)平面上的点有对应关系

s平面F(s)平面

F(s)的零点原点

F(s)的极点无限远点

s平面上的其他点原点外的有限点当动点s1在s平面的封闭曲线C上沿顺时针方向绕行取值时,在F(s)平面上将映射出一条绕原点的闭合轨迹Г.复变函数

35-5频率域稳定判据S平面Гs顺时针F(s)平面Гf顺时针45-5频率域稳定判据1.围线既不包括零点也不包括极点0-2ABCDEFGHгs55-5频率域稳定判据A’B’H’当s沿гs顺时针变化一周时，因子（s+2）和s-1的幅角变化量为0。Гf不包括原点。гf65-5频率域稳定判据2、围线гs只包围零点，不包围极点-1-2围线包围零点，s+2幅角变化-360°Гf包围原点一周。当гs包围z个零点时，Гf包围原点z次гsA’B’H’гf75-5频率域稳定判据3、围线гs只包围极点，不包围零点。-1-2гsS-1幅角变化-360°，映射гf逆时针包围原点一次。当гs包围p个极点时，映射гf逆时针包围原点p次。гf85-5频率域稳定判据3、围线гs包围z个零点和p个极点当s沿гs顺时针绕行一周，гf应顺时针包围原点z-p次。即гf顺时针包围原点的次数N=z-p95-5频率域稳定判据(1)幅角原理

设在s平面任选一点s，通过复变函数F(s)的映射关系，可在F(s)平面上找到相应的象。设F(s)的零、极点分布如图设封闭曲线Γs包围零点Zi，不包围也不通过任何其它的零点和极点，在Γs上取点A，使s从A点开始，顺时针沿Γs一周，再回到A。0S平面ΓsImRes-z1As-p1z1p1ziss-zi0F(s)平面F(s)ImReBΓF10则F(s)会相应地从F(s)平面上的B点出发，也回到B，描出一条封闭曲线ΓF，若s沿Γs变化的，F(s)相角变化为：为s沿Γs变化时，s-zi的相角变化。可见除外，其他项均为0，所以表明F(s)在F(s)曲面上从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。11

同理，可推出如果Гs曲线包围Z个零点，则F(s)绕坐标原点顺时针旋转Z周，而s平面上的Гs曲线包围了P个极点，则当s沿封闭曲线顺时针旋转一周时，F(s)绕坐标原点则逆时针旋转P周。12

幅角原理：

设s平面闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点。则s沿Γs顺时针运动一周时，在F(s)平面上，F(s)闭合曲线ΓF包围原点的圈数

R=P-Z

R<0和R>0分别表示ΓF顺时针和逆时针包围F(s)平面上的原点，R=0表示ΓF不包围F(s)平面上的原点。13（2）复变函数F(s)的选择设系统的开环传递函数为：作辅助函数14F(s)具有以下特点：

F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)

的极点为开环传递函数的极点；由于开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，所以

F(s)的零点和极点数相同；

s沿闭合曲线Γ运动一周后，产生的两条闭合曲线ΓF和ΓGH只相差常数1，ΓF可由ΓGH右移一个单位长度而得。闭合曲线ΓF包围F(s)平面原点的圈数等于闭合曲线ΓGH包围F(s)平面(-1,j0)

的圈数。15ΓF与ΓGH的几何关系：16（3）s平面闭合曲线Γ的选择（b）G(s)H(s)有虚轴上的极点（a）G(s)H(s)无虚轴上的极点17（4）G(s)H(s)

闭合曲线的绘制s平面闭合曲线Γ关于实轴对称，由于G(s)H(s)为实系数有理分式函数，因此闭合曲线ΓGH关于实轴对称，因此只需要绘制ΓGH在对应的曲线段，得到G(s)H(s)的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线，仍记为ΓGH

。18G(s)H(s)无虚轴上极点闭合曲线的绘制：1）

G(s)H(s)

无虚轴上极点,s平面闭合曲线由两部分组成。ΓGH在时，对应开环幅相曲线；ΓGH在时，对应原点(n>m）或（K*,j0）点（n=m），其中K*为系统开环根轨迹增益；19G(s)H(s)有虚轴上极点闭合曲线的绘制：1）

开环系统含有积分环节时在原点附近，取圆心为原点，半径无穷小的圆。20G(s)H(s)有虚轴上极点闭合曲线的绘制：

2）开环系统含有等幅振荡环节，取圆心为±jw，半径为无穷小的圆。函数F(s)位于s有半平面的极点数，即开环传输函数G(s)H(s)位于s右半平面的极点数p应不包括G(s)H(s)位于s平面虚轴上的极点数。21（5）闭合曲线ΓGH包围原点圈数R的计算

根据半闭合曲线ΓGH可获得包围原点的圈数R。

设N为ΓGH穿越(-1,j0)

点左侧负实轴的次数，N+表示正穿越的次数和（从上向下穿越），N-表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则：22穿越-1正穿越：由上向下负穿越：由下向上AV=0N-=1,N+=0A-1N+=0,N-=0注意：封闭曲线穿越（-1，j0）点。不是封闭曲线的应该补足。V=123穿越V=2-1N_=1,N+=1-1BABAN-=1,半穿越：穿越到实轴停止。N+=1/2V=0245-5频率域稳定判据

2.奈奎斯特稳定判据奈氏判据：

反馈控制系统闭环稳定的充要条件是：半闭合曲线ΓGH不穿过(-1,j0)点且逆时针包围临界点(-1,j0)的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P，否则闭环系统不稳定。闭环具有正实部特征根的个数为Z=P-R=P-2N25奈奎斯特稳定判据第一种情况：G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时：令P：S右半平面的开环极点数；

Z：S右半平面的闭环极点数；

N：乃氏曲线包围(-1,j0)点的圈数。26奈奎斯特稳定判据Nyquist稳定判据为:反馈控制系统稳定的充要条件是：当ω由-∞→0→+∞变化过程中，Nyquist图线逆时针包围临界稳定点(-1,j0)的圈数为N，当它等于该系统开环传函G(s)H(s)在S平面右半部极点的个数P时，则必稳定；否则，必不稳定，且不稳定闭环系统的闭环极点个数Z由下式计算：Z=P-N。27奈奎斯特稳定判据注意：当N顺时针时，则Z=P+N，上面判据可为如下说法：即：当P=0时,若ω从-∞→∞的Nyquist曲线不包围(-1,j0)点,即N=0,则Z=0,闭环系统稳定,否则不稳定当P≠0时,若ω从-∞→∞的Nyquist曲线包围(-1,j0)点N次,则Z=P+N=0系统稳定,否则不稳定Nyquist曲线通过(-1,j0)点时,临界稳定。28奈奎斯特稳定判据Nyquist稳定判据二:当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时,系统G(jω)H(jω)的Nyquist曲线在ω从-∞→+∞变化时逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于S右半平面开环极点数P,则闭环系统稳定,否则不稳定。29奈奎斯特稳定判据第二种情况当G(s)H(s)在s平面的虚轴或原点处有极点时，需修正Nyquist轨线无限小半圆上的动点s可表示为：

s=εеjθ（ε→0，-90°<θ<90°）映射到G(s)H(s)平面上,则为

G(s)H(s)=讨论:1型系统G(s)H(s)=∞2型系统G(s)H(s)=∞虚轴上有开环极点时,可仿此处理。30例:设单位反馈系统开环传递函数为：

试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解：绘制系统的奈氏曲线，如图：

ν=2，补上半个圆。-1N-

由传递函数知P=0由图知N-=1，则N=N+-N-=-1，所以Z=P-2N=2。系统是不稳定的，且有二个具有正实部的根。31例:设单位反馈系统开环传递函数为：

试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解：绘制系统的奈氏曲线，如图：-1

ν=1，补上1/4个圆。

由传递函数知P=0由图知无论T为何值，N-=N+=0，则N=N+-N-=0，所以

Z=P-2N=0，系统是稳定的。32例:单位反馈系统开环幅相位曲线如下：

（其中K=10,P=0,v=1）。确定系统闭环稳定时K值的范围。33解：设穿越频率分别为，开环递函为：则：令34

稳定

稳定

不稳定不稳定35例:设系统单位开环传递函数为：

应用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。

解:36由则，可求得奈氏曲线与实轴的交点为37

由图可知奈氏曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈，R=-2。由开环传递函数可知其极点均位于左半平面，P=0。

Z=P-R=2,Z不等于零，故闭环系统不稳定。38分别用根轨迹法和劳思判据验证上题的结论。一、根轨迹法：39将带入上式，得因此闭环系统不稳定。40二、劳思表法：第一列出现负值，因此闭环系统不稳定。410<K<12.6

时，闭环系统稳定。求闭环系统稳定时的K

值范围(K>0)42例:设系统单位开环传递函数为：

应用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。

解:43所以，闭环系统不稳定。445-5频率域稳定判据

3.对数频率稳定判据454647对数频率稳定判据：

设P为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是：时，相频曲线穿越线的次数满足48例:设单位反馈系统开环传递函数为：

用对数频率稳定判据判断闭环系统的稳定性。00-180oL(ω)φ(ω)1/Tωω

v=2，补上－180o的相角，由图可知N+=0，N-=1，故N=N+-N-=-1；由传递函数知P=0，则Z=P-2N=2，系统是不稳定的，且s右半平面的根有两个。解：绘制系统的对数频率特性曲线49例:设单位反馈系统开环传递函数为：

用对数频率稳定判据判断闭环系统的稳定性。解：绘制系统的对数频率特性曲线，如图：ωω00-180oL(ω)φ(ω)1/T

1型系统，补上－90o的相角，