北京邮电大学2011级研究生课程概率论第三讲课件

一、测度及其性质定义1.2.1设A是由的一些子集组成的非空集合类，若对每一个AA，有一实数或者∞与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为(A)

，且至少有一AA，使其取有限值，则称(A)是定义在A上的集函数。有限可加集函数-可加集函数或广义测度3/14/20231一、测度及其性质若对每一AA，(A)都取有限值，则称为A上的有限集函数；则称为A上的-有限集函数。若对每一AA

，存在一集合序列{An}A

，使：若A为集代数，则{An}还可以是两两不交的。3/14/20232北京邮电大学电子工程学院若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加测度；若集函数为-可加且只取非负值，则称为测度，用或表示；具有性质A

且()=1的测度，称为概率测度或概率，用P表示。

一、测度及其性质3/14/20233北京邮电大学电子工程学院一、测度及其性质4.（次可加性）A为集代数，是测度，AiA

3/14/20235北京邮电大学电子工程学院定义1.2.2设是定义在集合类A上的集函数，若对A中任意满足条件An，且则称在A处下连续。A的集合序列{An}，有：一、测度及其性质若对A中任意满足条件An，,且至少存在一m使则称在A处上连续。3/14/20236北京邮电大学电子工程学院一、测度及其性质定理1.2.2设是集代数A上的-可加集函数（或测度），则有限可加且连续。即集代数上的测度是连续的。定理1.2.3设是集代数A上的有限可加集函数（或有限可加测度），若满足下列条件之一：（1）是下连续的；（2）有限，且在处连续，则是-可加集函数（或测度）。3/14/20237北京邮电大学电子工程学院以下讨论的前提是A是上的集代数，是A上的测度称FΩ上的v*是由A上的v所引出的外测度。(所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。)注意：这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。外测度不见得是测度！！！1、FΩ上的外测度*(A)对任意AFΩ，定义SA3/14/20239北京邮电大学电子工程学院下确界：对于给定的数集S={x}，若数满足条件：(1)是S的下界，即对xS，有x;(2)对任何大于的数，一定存在S中某个数x0，使得x0<.

(即对>0,x0S,使得x0<+)则称为数集S的下确界，记作：=infS例：3/14/202310北京邮电大学电子工程学院引理1.2.1

由集代数A上的测度引出的FΩ上的外测度*，满足：下面讨论外测度的性质：证明：（1）因AA，由外测度定义，有：*(A)(A)因此，只需证明*(A)(A)不减性3/14/202311北京邮电大学电子工程学院即：外测度是单调上升的函数。即覆盖B的集合序列一定覆盖A3/14/202313北京邮电大学电子工程学院

则结论显然成立。由定义：3/14/202314北京邮电大学电子工程学院

3/14/202315北京邮电大学电子工程学院2、*可测集（1.2.3）（1.2.4）证明：必要性显然成立下面简单说明充分性：3/14/202317北京邮电大学电子工程学院由引理1.2.1，有*()=0由引理1.2.1(3)知外测度函数

*具有次可加性，则在引理1.2.1(3)中取

我们记A

*为所有*可测集组成的集合类。3/14/202318北京邮电大学电子工程学院引理1.2.3

A

*满足：（1）A

*是-代数；(若集代数对可列不交并封闭则为-代数）证明：（1）首先证明A

*是集代数a、∵*(Ø)=0，D，有：（1.2.4）式的定义具有对称性A*3/14/202319北京邮电大学电子工程学院下面说明A*是-代数，只需证A*对可列不交并运算封闭。

设AnA*，n=1,2,…，Ai

Aj=，ij，则：对D，有：3/14/202321北京邮电大学电子工程学院令n，有：A*，则A*是-代数。（1.2.6）由前面结论，有：3/14/202322北京邮电大学电子工程学院引理1.2.3

A*满足：3/14/202323北京邮电大学电子工程学院（3）欲证*是A*上的测度，只须说明*在A*上满足-可加性。考虑到v*()=0，所以AA*上，有：v*(A)0则v*是A*上的测度。整个引理的证明完毕。3/14/202325北京邮电大学电子工程学院3、测度扩张定理问题：A*是否是包含A的-代数？*是A*上的测度*不降，满足次可加性？对任意AFΩ，定义3/14/202326北京邮电大学电子工程学院由*是A上的测度，且由的任意性，则有：即：AA*，则A

A*3/14/202329北京邮电大学电子工程学院(1)首先证明：若1，2是在(A)上的任意两个扩张，证明对A(A)及任意的正整数n，有：

1(ADn)=2(ADn)（1.2.8）

第二部分：唯一性

A是集代数，是A上的-有限测度，则存在：(2)再证明对A(A)，有1(A)=2(A)3/14/202330北京邮电大学电子工程学院(1)对给定的n，令：

={A：A(A)，1(ADn)=2

(ADn)}下证：=(A)显然A

，且(A)。（∵AA

，因A为集代数，则：ADnA，必有：(ADn)=

1(ADn)=2

(ADn)，则A

）若能证明为单调类，则(A)

另：A为集代数，则：(A)=(A)所以：(A)

，即：=(A)，结论得证。3/14/202331北京邮电大学电子工程学院下面证明为单调类：Ak

，Ak

，则：1(AkDn)=2

(AkDn)2

(Dn)=(Dn)<+，k=1,2,根据测度的连续性，有：3/14/202332北京邮电大学电子工程学院(2):3/14/202333北京邮电大学电子工程学院三、测度的完全化初等概率中我们遇到这样的问题：考虑某一集合BAA

，且P(A)=0，但B未必属于A，即B未必是事件，未必有概率。即零测集的子集未必有概率。为了克服这个问题，必须将A上的测度完全化。定义1.2.4设是-代数F(或集代数A)上的测度,如果AA，(A)=0，B

A，则BF

(或A)，因而必有(B)=0，则称为F

(或A

)上的完全测度。以下介绍如何将-代数F上的测度完全化？3/14/202334北京邮电大学电子工程学院定理1.2.5（测度的完全化）设是-代数F上的测度，记：3/14/202335北京邮电大学电子工程