历年数列高考试题及答案

1.（福建卷）已知等差数列｛%｝中，%+劭=16,%=1，贝必12的值是（）

A.15B.30C.31D.64

7斯*、

%=°n，％+1=~^------[5€N）

2.（湖南卷）已知数列满足W%+1，则％0=（）

石

A.0B.C.6D,2

3.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛4｝中，首项防=3,前三项和为21,则生+a,+a=（）

（A）33（B）72（C）84（D）189

4.（全国卷ID如果数列｛"/是等差数列，贝U（）

（A）«,+a8<a4+a5⑻卬+%=。4+%（c）卬+仆训+%（D）的=%%

5.（全国卷ID11如果…，出为各项都大于零的等差数列，公差贝ij（）

（A）>〃4。5（B）<04〃5（C）6+。8>〃4+。5⑻=〃4〃5

6.（山东卷）｛""｝是首项％=1,公差为1=3的等差数列，如果""=2005,则序号〃等于（）

（A）667（B）668（C）669（D）670

7.（重庆卷）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的

中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39,则该塔形中正方体的个数至少是（）

（A）4；（B）5；（C）6；（D）7。

8.（湖北卷）设等比数列｛""｝的公比为q,前n项和为S.,若S.“,S.,SM成等差数列，则q的值为.

827

9.（全国卷II）在3和2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为

10.（上海）12、用〃个不同的实数"""2，・一，""可得到〃!个不同的排列，每个排列为一行写成一个〃!行的数阵。对第,行

%，％2,…，％”，记4=_%+2%2-3《3++（T）'〃％「=1,2,3,-・,〃!。例如：用1,2,3可得数阵如图，由于此数

阵中每一列各数之和都是⑵所以，4+%+…+d=T2+2X12-3X]2=_24,那么，在用卜2（3,4>5形成的数

阵中，仇+%+…+优20=o

限一。“=1+（一1）"（〃3）

11.（天津卷）在数列｛4｝中,31=1,32=2,U

q

则。*.

-a„〃为偶数

_\2"

14"+1i।....................1

74+1〃漪数2-7

12.(北京卷)设数列｛/｝的首项a,=a^4,且14，记4,〃==1,2,3,-

(I)求也，S3；

(II)判断数列｛4｝是否为等比数列，并证明你的结论；

lim(/?,+h+优十,••+/?)

(Ill)求…7

4,+1=/

13.(北京卷)数列｛4｝的前〃项和为£,且a=1,3,炉1,2,3.……，求

(I)&,备，a的值及数列｛4｝的通项公式；

(II)&+%+&+…+4”的值.

14.（福建卷）已知｛""｝是公比为q的等比数列，且4'%，的成等差数列.

（I）求q的值;

（11）设｛'"｝是以2为首项，q为公差的等差数列,其前n项和为S“,当n-2时，比较『与b”的大小，并说明理由.

1

15.（福建卷）已知数列｛a〃｝满足a=a,a,,=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当井1时，得到无穷数列:

1,2,匕3匕5…;当a=-1=时,得到有穷数列：-|士-1,0.

2322

（I）求当a为何值时a,=0：

---（neN+）

+

（II）设数列｛bn｝满足b|=-l,bn『"h〃-1,求证d取数列｛bj中的任一个数，都可以得到一个有穷数列｛a｝：

3

—<an<2（〃>4）

（山）若2,求a的取值范围.

16.（湖北卷）设数列｛。力的前n项和为SV/,仍"为等比数列，且%=仇g2（。2一%）=&•

（1）求数列｛""｝和g"｝的通项公式；

c.q

（n）设b乙，求数列[IcC"']的前n项和T”

17.（湖南卷）已知数列｛喋2（%一]）｝〃€N）为等差数列，且％=3,%=9.

（I）求数列｛"/的通项公式；

111

--------1----------F…d----------<1.

（11）证明"2一%a3-a2%+1一%

18.（江苏卷）设数列｛4｝的前项和为S〃，已知a=1,a2=6,&=11,且"+In，‘‘‘

其中A,B为常数.

(I)求A与B的值;

(H)证明数列｛4｝为等差数列；

(皿证明不等式庖二一血三>1对任何正整数的韶成立

19.(全国卷I)设正项等比数列｛%｝的首项12,前n项和为S”，且2"5o-(2">+1»20+5|0=0

(1)求｛%｝的通项：

(n)求｛〃s，，｝的前n项和北。

（全国卷I）设等比数列｛""｝的公比为自，前n项和S”>°（〃=1，2,…）

20.

（I）求4的取值范围;

,_3

bn=an2--a„\J/,IC

（H）设+2+，记1的前n项和为T试比较J"与'T"的大小。

1

（全国卷ID已知｛%｝是各项为不同的正数的等差数列，电弓、ig%、1g4成等差数列.又'

21.%,n=1,2,3,­•

（I）证明也｝为等比数列;

7

（II）如果数列抄"｝前3项的和等于24,求数列｛%｝的首项“I和公差".

数列（高考题）答案

1-7ABCBBCC

8.（湖北卷）-29.（全国卷II）21610.（上海）-108011.（天津卷）2600

12.（北京卷）解：（I）a=必+4=卅4,a-'色=2K3；

j__[3_Lj_a

（II）国=勿+4=2己+8,所以.=2a=416,

j_j_j_j_j__L_LJ_

所以“a—4=a—4,bpa—4二2（日一4）,8二会一4=4（&-4）,

J_

猜想：｛4｝是公比为2的等比数列•

\_\_

证明如下：因为6"尸&向一4=2瓯-4=2（a”]-4）=2

11

所以（&）是首项为a-4,公比为2的等比数列•

仇（1-'）A1

lim（A+8+…+勿）-lim----f—=—^=2（。——）

"T8”->00114

1--1--

（ill）22

4+i=9.

13.（北京卷）解：（I）由a=1,3,n=l,2,3,....,得

116

§z3+%+生）x=药

1"c、1411（1）-

=[（S“-S“T）=”“4+1=二4

由33（n22）,得J（n22）,又宓:3,所以&=33（n22）,

1n=1

0,1-'-（-r2n^2

：.数列｛a,J的通项公式为133.

1（等

（II）由（I）可知出，4，…，4”是首项为3,公比为3项数为n的等比数列，

]一（二4）2,"

；-47=|[（1）2，1-1]

31—（―）23

。2+%+&+…+&2"_^3

2%=4+〃2，即2。/2=+。国，•・・/W0,.\2夕2-^-1=0.

14.（福建卷）解：（I）由题设

/.q=1或一工.

2

,“5则2+竽八学

、onH-cAc("—D(〃+2)、0

n22时,S“—b„=S„_,=---------------->0.

当2故

1licc,]、-n2+9n

q=一不,则1nS“=2〃+--—(--)=---

若2224

〃之2时,S“—a=S,i=C

当4

故对于〃eN+，当2<〃W卯寸,S”>a;当〃=10时,S“=①;当〃Nil时,S“<”.

va,=a,an+]=1+—,

15.(福建卷)(I)解法一：a"

।1t1a+\।12a+l

a2=1+—=1+—=-----牝=1+——=-------

a,aaa2a+l

%="＞黑•故当”-如i

解法二:v〃4=0,.\l+—=0,.-.a3=-l.

%

1ii2、，2

%=1d----,Cl,=—.*.*%=1，♦=a=.故当Q=时％=0«

a22a33

(〃)解法一：,/仇=一1也用=丁二,.1hn=J-+1.

b-1b

„„+i

a取数列也,｝中的任一一个数不妨设“=，.

a^bn,:.a2=1+—=1+—=

%

,1,1,

«3=\+—=\+—=bnl-2,

a2%

,1,1,,

Cl=1H------=1H-----=b、=—1.

%Tb2

,•%+i=

故司取数列｛bj中的任一个数，都可以得到一个有穷数列｛8｝

16.(湖北卷)

解⑴:当〃=1时吗=5|=2;

2

当〃>2时,%=Sn-S,T=2/-2(〃-1)=4〃-2,

故｛4｝的通项公式为%=4〃-2,即｛%｝是2=2,公差d=4的等差数列

q,则仇44=b],d=4,.,.q=-.

设｛4｝的通项公式为4

17

a1r，即依｝的通项公式为a=磊.

故44

(i4/1—2,..„.)

c„=—n=---=(2n-1)4,

bnJL

(ID4"T

1

Tn—C|+c2+…+c“=[1+3x4,+5x4~+…+(2/1—1)4"],

23n-1

4Tli=[lx4+3x4+5x4+•••+(2n-3)4+(2n-l)4"]

两式相减得

37；=-l-2(4'+4?+43+…+4"-')+(2n-l)4"=1[(6H-5)4"+5]

",="[(6〃-5)4"+5].

17.(湖南卷)

(I)解：设等差数列"°g2(%—1)｝的公差为&

由-=3,%=9^12(10g22+d)=log22+log28,gpatl

所以l°g2(a.-l)=l+(〃-l)x=〃，即%=2"+L

111

-优+i-2”

(H)证明因为"a"+1a

1111111

----1---------F…H=--H—d-+…-I

所以的一01%2--------。“+12222

111

=22"2=「J_<1.

.12"

1---

2

18.(江苏卷)

解：(I)由％=1,々=6,%=",得E=l,$2=2,=18

jA+B=-28,

把"=1，2分别代入(5«-8)5,向-(5"+2电=加+8,得i2A+8=-48

解得，A=-20,B=-8.

(ID由(I)知,5〃(S,+i-S“)-8S“+|-2S“=-20〃-8,0p5nan+i-8Sn+l-2Sn=-20n-8①

又5(n+1)嗫-8S„+2-2S„+1=-20(n+1)-8②

②-①得，5("+l)a„+2-5na„+l-8a„+2-2an+i=-20,即(5〃-3)a„+2-(5n+2)a„+l=-20.③

又(5"+2)4+3-(5〃+7)嗫=-20④

④-③得，(5〃+2)0+3-2*+a„+l)=0

凡+3-2a“+2+凡+1=°,

q+3-6+2=4+2-4+1=…=%-%=5,又％-4=5,

因此，数列｛"”｝是首项为1,公差为5的等差数列.

(III)由(H)知，",=5"-4,("GN').考虑

5ai)m=5(5mn-4)=25mn-20

(qT+1)2=a,„an+2血丁+1„ama„+a,„+4,+1=25/nn-15(/n+H)+9

.5a,„n-Qa,„a,1+0215(m+〃)-2915x2-29=l>0

即5a„,„>(“M,+1)、...庖T>J。/”+1

因此，心加-J4M>1.

19.(全国卷I)

解：(I)由21°53。_(21°+1)52。+5|。=0得2i°(53。_$2。)=$2。-Sg

即2l0(«21+a22----430)="II+a12-----@20，

可得2">•/°(%|+«,2+…+。20)=61+。12+…+勺().

^—八“-1]1C

q=Xa〃=%q=­〃=1,2,….

因为牝所以2"0°=1，解得2,因而2

&1

(II)因为是首项।2公比2的等比数列，故

-(1--)

s,=Z~~=14,电=〃芳

1——

2

12n

T„=(1+2+…+〃)-(]+齐+…+下),

则数列｛"S"｝的前n项和

T1120

-^--—(l+2+---+n)-(—+-T-H------h・

2222232"2.+"

=-(1+2+•••+//)-(-+-4+---+—)+-^

前两式相减，得222222"2n+l

_n(n+1)

4_n(n+l)1«

In=-------