圆锥曲线常见的五种解题方法

高中数学教研群QQ群号929518278精品资料每天更新公众号：高斯课堂圆锥曲线常见的五种解题方法弦的垂直平分线问题【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，，，。

由消y整理，得=1\*GB3①

由直线和抛物线交于两点，得

即=2\*GB3②

由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。

线段的垂直平分线方程为：

令y=0,得，则

为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足=2\*GB3②式此时。例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．共线向量问题1：如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2.∴曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设，又当直线GH斜率不存在，方程为2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若，，求证：.解：设椭圆C的方程为（＞＞）抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆C的一个顶点为，即由，∴，椭圆C的方程为（2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入方程并整理，得∴，又，，，，而，，即，∴，，所以3、已知△OFQ的面积S=2,且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，，当取得最小值时，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为，Q（x0,y0）。，S△OFQ=，∴。=c(x0－c)=。当且仅当，所以。类型1——求待定字母的值例1设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。 解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1) ∵PA=∴x1=. 联立消去y并整理得，(1－a2)x2+2a2x－2a2=0 (*) ∵A、B是不同的两点，∴∴0<a<且a1.于是x1+x2=且x1x2=，即，消去x2得，=，∴a=，∵0<a<且a1，∴a=。类型2——求动点的轨迹例2如图2，动直线与y轴交于点A，与抛物交于不同的两点B和C,且满足BP=λPC，AB=λAC，其中。求ΔPOA的重心Q的轨迹。思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。ABCOPxy解：由得，k2ABCOPxy由设P(x’,y’)，B(x1，y1)，C(x2,y2)，（图2）则x1+x2=,x1.x2=.由= =由=。 消去k得，x’－2y’－6=0(*) 设重心Q(x,y)，则，代入(*)式得，3x－6y－4=0。因为故点Q的轨迹方程是3x－6y－4=0（），其轨迹是直线3x－6y－4=0上且不包括点的线段AB。类型3——证明定值问题例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。设M为椭圆上任意一点，且，其中证明：为定值。思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。解：设椭圆方程为则直线AB的方程为代入椭圆方程中，化简得，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由与共线，得，。又而于是。因此椭圆方程为设M(x,y),由得，，因M为椭圆上一点，所以即①又，则而代入①得，=1，为定值。类型4——探索点、线的存在性例4在△ABC中，已知B(－2,0),C(2,0),AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段AD设P(－1,0),Q(1,0),那么是否存在点H，使成等差数列，为什么？思路：先将AC⊥BH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。解：设H(x,y),由分点坐标公式知∵H为垂心∴AC⊥BH，∴，整理得，动点H的轨迹方程为。，，。假设成等差数列，则即①∵H在椭圆上a=2,b=,c=1，P、Q是焦点，∴，即∴②由①得，③联立②、③可得，，∴显然满足H点的轨迹方程，故存在点H（0，±），使成等差数列。类型5——求相关量的取值范围例5给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且，求l在轴上截距的变化范围。思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，，即由②得，③。联立①、③得，。而当直线l垂直于轴时，不符合题意。因此直线l的方程为或直线l在轴上的截距为或由知，在上递减的，所以于是直线l在轴上截距的变化范围是存在、向量例6、双曲线，若上存在一点。解：方程为，即。由，消去y得，定值问题例7：是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线经过一定点。分析：（1）设，则又由（2）直线的方程为，故直线过定点。弦或弦长为定值、最值问题1、已知△的面积为，（1）设，求正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），当取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设（2）设所求的双曲线方程为∴，∴又∵，∴当且仅当时，最小，此时的坐标是或，所求方程为2、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）求证直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB面积的最大值.解：（Ⅰ）由题可得，，设则，，∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.（Ⅱ）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，则BP的直线方程为：.由得，设，则，同理可得，则，.所以：AB的斜率为定值.（Ⅲ）设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为，则。当且仅当取等号∴三角形PAB面积的最大值为。3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线上。 设则圆半径 由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点 则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为4、已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．解：（1）设点的坐标为，∵，∴．整理，得（），（2）如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为将①代入，整理，得，由，解得．设，，则令，且．．∵且，，解得且．，且．故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．5、已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，则，设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．四．直线问题例题1、设椭圆过点，且着焦点为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解(1)由题意：，解得，所求椭圆方程为(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是，，从而，（1），（2）又点A、B在椭圆C上，即（1）+（2）×2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零。且又四点共线，可设,于是（1）（2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得（3）(4)(4)－(3)得即点总在定直线上2、已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆，其中，，则．所以动点M的轨迹方程为．（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，∵，∴．∵，，∴①∴．由方程组得．则，，代入①，得．即，解得，或．所以，直线的方程是或．3、设、分别是椭圆的左、右焦点。（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（Ⅰ）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或又∴又∵，即∴故由①、②得或五．轨迹问题轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。【解析】设MN切圆C于N，则。设,则化简得当时，方程为，表示一条直线。当时，方程化为表示一个圆。◎◎如图，圆与圆的半径都是1，.过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得.试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.【解析】以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，.由已知，得.因为两圆半径均为1，所以.设，则，即.(或)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例2、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.求动圆圆心的轨迹的方程；【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；◎◎已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。【解析】由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：llO'PEDCBA评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。例3、如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。【解析】设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0②由①②解方程组得,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0◎◎已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足求点T的轨迹C的方程；【解析】解法一：（相关点法）设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（），则因此①由得②将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：（几何法）设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2）∵OA⊥OB，∴OB：由解得B设△AOB的重心G（x，y），则消去参数k得重心G的轨迹方程为解法二：设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴所以重心为G的轨迹方程为。◎◎如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.【解析】设切点A、B坐标分别为，∴切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：五、交轨法：求两动曲线交