2023年中考数学二轮复习《相似三角形》中档题练习（含答案）

2023年中考数学二轮复习《相似三角形》中档题练习一 、选择题1.P是△ABC一边上的一点(P不与A、B、C重合)，过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？(

)A.1条

B.2条

C.3条

D.4条2.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB∶AC等于()A.BD∶CDB.AD∶CDC.BC∶ADD.BC∶AC3.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上,这块三角板绕O点旋转,两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F,连接EF,则在运动过程中,△OEF与△ABC的关系是（）A.一定相似B.当E是AC中点时相似C.不一定相似D.无法判断4.如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为()A.4cm2 B.6cm2 C.8cm2 D.10cm25.如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③P是BC的中点；④BP：B＝2：3.其中能推出△ABP∽△ECP的有()A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则AD：AC的值为()A.eq\f(1,2)B.-eq\f(1－\r(5),2)C.1D.eq\f(1＋\r(5),2)7.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是()A.1：3B.1：4C.1：5D.1：258.如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是()A.△ADC∽△CFBB.AD＝DFC.＝D.＝9.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O.则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝eq\r(2)BC；④S四边形OCEF＝S△AOD，正确的个数是()A.1

B.2

C.3

D.410.如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝eq\f(1,2)DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C.设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为()A.－eq\f(12x,x－4)B.－eq\f(2x,x－1)C.－eq\f(3x,x－1)D.－eq\f(8x,x－4)11.如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是eq\o(AC,\s\up8(︵))上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝eq\f(4,5)，则AE的长是()A.3B.2C.1D.1.212.如图，AB是⊙O的直径且AB＝4eq\r(3)，点C是OA的中点，过点C[，作CD⊥AB交⊙O于D点，点E是⊙O上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则AE·AF的值为()A.8eq\r(3)B.12C.6eq\r(3)D.9eq\r(3)二 、填空题13.在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝1，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝

.14.如图,在△ABC中,∠ACB=90°，CD为AB边上的中线,AE⊥CD于点E,交BC边于点F,若AF=4,AB=8,则线段EF的长为．15.如图，在△ABC中，G是重心.如果AG＝6，那么线段DG的长为.16.如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F.以下结论：①E为AB的中点；②FC＝4DF；③S△ECF＝eq\f(9,2)S△EMN；④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．其中一定正确的是．17.如图，已知点A是双曲线y＝eq\f(1,x)在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝eq\f(k,x)(k＜0)上运动，则k的值是．18.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，照此规律作下去，则S1＝，S2027＝.三 、解答题19.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．20.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且AD=CD,则∠ACB=°．（2）如图,在△ABC中,AC=2,BC=eq\r(2)，CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长．21.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．22.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．(1)已知BD＝eq\r(2)，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．23.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长.

答案1.C2.A3.A4.B5.C.6.B.7.B8.C.9.D.10.A11.C.12.B13.答案为：eq\f(5,3)或eq\f(3,5)..14.答案为0.8．15.答案为：3.16.答案为：①③④．17.答案为：﹣3.18.答案为：1；(eq\f(1,4))2026.19.（1）证明：如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，

∴∠CED=90°．

∵OC=OE，

∴∠1=∠2．

又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，

∴∠PED=∠2，

∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，

∴OE⊥EP，

又∵点E在圆上，

∴PE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，

∴∠3=∠4（同角的余角相等）．

又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，

即ED平分∠BEP；

（3）解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，

∴OF=2x﹣5，

在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，解得x=4，

∴EF=4，

∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，

∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=10，BE=8，

∴AE=6，

∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，

∴△AEB∽△EFP，

∴PF：BE=EF：AE，∴PF=eq\f(16,3)，

∴PD=PF﹣DF=eq\f(16,3)﹣2=eq\f(10,3)．20.解：（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==21.证明：(1)∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．(2)如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．22.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2＝BD2，∵BD＝eq\r(2)，∴AB＝1，∴正方形ABCD的边长为1；(2)CN＝eq\r(2)CM．证明：∵CF＝CA，AF是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN＝∠CBN＝90°，∵∠ANE＝∠CNB，∴∠BAF＝∠BCN，在△ABF和△CBN中，，∴△ABF≌△CBN(AAS)，∴AF＝CN，∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，∴∠BAF＝∠OCM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF＝∠COM＝90°，∴△ABF∽△COM，∴＝，∴＝＝，即CN＝eq\r(2)CM．23.解：(1)AB是⊙O的切线.理由：连接DE、CF.∵CD是直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC，