解函数方程的几种方法

绪论在数学研究的许多领域中如代数学，几何学，。概率论等都涉及函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型·函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课題·由于函数方程形式多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础知识．尤其是在中学数学教学中，函数方程是最基本、最易出现的问題，也是历年高考的重点．在中学教学和国外数学竞赛中，经常遇到函数方程问题这类题目一股是求解某一给定的函数方程，而数学上尚无一般方法可循当然，较大一部分中学生在遇到这类问题时，常常没有比较清晰的解题思路．本文就着重以函数与方程的性质来讨论函数方程在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述．首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解以及解函数方程．其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常出现的方法进行归纳并结合相应的例题解析．当然由于中学数学中考查点的不同，我们的讨论也有所侧重．对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法，而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题的解題策略最后，就种种方法进行总结归纳“泫无定法”，关键在于人们对问题的观察，分析，进而选择最优的方氵去来解决问题很多情况下，由于解决的途径并不唯一所以在解决问題的时候一般采用多种方氵去同步求解，以达到简化求解过程的目的1函数方程的一些相关概念凵函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程．如丆0）一一，歹0十1）：歹等，其中丆@即是未知函数、12函数方程的解设某一函数熹对对自变量在其定义域的所有值均满足某已知方程，那么把歹陶就叫做己知函数方程的解即能使函数方程成立的歹陶就叫做函数方程的解．数方程的解可能是一个函数也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解如偶函数、奇函数、歹：．艹1分别是上述各方程的解13解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程．即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，或求出某些函数值，或证明这个函数所具有的其他性质．2函数方程的常见解法由于函数与方程的性质极多，解题的方法也形式多样，出现较为频繁的有换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法、数学归纳法等等、21换元法（代换法）换元法又叫代换法或引进辅助未知数法或定义法．将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换〔代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个新的较为简单的函数方程，然后直接求解未知函数但值得注意的是，某些换元会导致函数的定义域发生变化，这时就需要进行验证换元的可行性．例2、I己知f(l—cosx)=sin0求丿．国分析此題是一个最基本的函数方程同题，要求解函数熹对的表达式，就需要将1+灬．和sin:x进行转化．当然，我们可以先用换元法把x，，用「代替，消去的y，就得到一个关于'的解析式，冉用替代'，于是得解黽这里我们还给出了另外的解法，就是用y一直的参数表达式进行求解．解法一因为所以又因为所以令1一灬．：'，所以cosx=l—t，—l<cosx<l，0<1一cos<2，直1一cosx)=sin-x=l—cosX, 熹0：1一（1一学一十2吓 解法二即得设所求函数y一直的参数表达式丸=1一COS，一SIII／， cost=l—X' （2）cost=l—X'山2十（2），消去参数0得（1一2+y整理，得在本題中，由于三角函看出1一co丷与艹．丫之间的联系，然后直接利用换元法进行转化，但考虑到x（或0的定义域，这个环节一般容易出错．故一般采用后面介绍的参数法相对来说也就简单多了．22赋值法赋值和代换是确定适合函数方程的函数性质的基本方法，根据所给条件，在函数定义域赋与变量一个或几个特殊值，使方程化繁为简，从而使问题获解．例22彐函数了」v+（N+为非负整数），满足：o〕对任意非负整数旧有丆@+1〕>了@）；（0对任意m，”三，有了@+熹）一丆@）+m+I.求丆@001）的值．分析本题欲求200D的值，则须了解歹@有什么性质．由条件（0，00可以联想到0〕的取值是本题的关键，而分别利用条件（1）、（石）进行推导，并结合反证法推出矛盾，得到0）的唯一值，进而得解、解令的@）一0其中々为非负整数由（1)得若々：0，则矛盾故k0，由(i)有 丆十一1）<丆@十幻：丆@）十l. 〔2）于是山（i），得 （3）但0）与（3）矛盾，故一1是惟一解．当一1时，式〔1)为丆@十1〕：丆(n)十1，此函数满足条件（1），（的，所以得惟一解（川(1)一川02例2、2．2解函数方程丆0+刃+了0一一2丆灬，．分析此题是函数方程里较为典型的一个问题，在很多文章中都有提到．本题中方程含有．x,y两个未知数，对于一个方程，首先想到的就是消元，考虑到三角函数cos〗的特殊性质，可用一些比较特殊的值分别去代换0，再求得了的表达式．解在原方程中令x：0，）一'得丆@+丆（一0一20）cost'再令一又再令x2（1)+觎） 丆+0+直0=0， （2）一丷得2厂+0+、八一0一一2一〕s皿0（3）得歹@一熹0）cos'+熹一）艹'令a=熹0），心：熹与并将'换成攴得丿．0）一“os．+心艹后0，b均为任意常数）代入（1)式验证丆0十刃十歹0一=acos()+y)+bsm(x+y)+acos(x—、y)+bsm(x—刃—2aCOSXCOSY+%SIIIXCOSY：2c仍，（acosx十bsm动=2f(x)cos、y所以丆是函数方程〔0的解．赋值法是很特殊的一种方法，首先它考验人们的“眼力”，即根据所给出的式子找出其规律；其次，就是“笔力”即计算方面的能力，所赋的值即某些特殊值要有助于解题；最后，不难看出赋值法其实就是与代换法、消元法等方氵去相结合的一种方法．如例2、2彐就是赋值法与反证氵去相结合，例222是赋值法、代换法，消元法结合的典型23迭代周期法（递推法）函数迭代是一类特殊的函数复合形式．一股由函数方程找出函数值之间的关通过n次迭代得到函数方程的解法例23J对任意正整数0令歹肉定义为的各位数字和的平方，求歹艹(Il)分析本题是迭代的简单运用题，由“丿罨）定义为的各位数字和的平方”人手，可以找出11与函数方程以及函数值之间的关系，结合数列相关知识通过n次迭代从而求解．解由己知有尸（11）：（1十：4，（(l)一7℃八1切一直4）一16，丆30D一丆0切一熹16）：0+6〕2一49，广（11）：熹尸（1切：六49）：（4十9广=169．0（(l)一歹℃尸（1切：了（169）一0+6+9》一256，广(Il)一丆0气I切一熹256）：（2+5+6）2一169，从而当n为大于3的奇数时，尸(Il)一256当”为大于3的偶数时，了气11）一169，故丆艹（(1)：256．例2．3丿设歹定义在自然数集N上，且对任意、丫0GN，都满足歹山一1，了0+刃一f(x)+丆0〕+河，求．厂@．解令）一1得丆01)一丆陶艹丫+，再依次令一1，2“”一1，有丆（2）：1）十2，丿．（3）一熹2）+3，f(n—l)=歹一2）十一1》依次代入，得2所以2前面的例2、31仅是迭代的入门题，可以直接根据函数方程找出函数值之间的关系，然后通过月次迭代进行求解而在迭代问题中，很大一部分题目并不是仅亻昔助迭代的思想来解决的，而是综合所学知识进行求解．如例上2就是赋予一些特殊值，再利用递推法简化问题，从而求解24待定系数法待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，且己知所求函数解析式的类型，可先设出一个含有特定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程〔组），通过解方程（组）而求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，亻吏问題得以解决、例2、4彐已知歹国是一次函数，且f[丆（圓：一1，求丆〔x）．解因为丿℃）是一次函数，不妨设丆一“+心@半0），又因为丆]一4x一1，所以a．丫十ab十b：4一1，于是有+b一1．解这个方程组得a32，或者。一a3所以的：2．-一或对：一2．-l.一本题考虑到歹是一次函数，故可设出丆(x)的一般形式，再山条件丌熹训：4x一1代入熹对进而对应求出a，朊这属于较简单的待定系数法应用，而对于关系歹有很多次的就另当别论了例2、4．2已知了国是一次函数，且10次迭代o以（“0陶月=1024．r+1023，求熹分析观察本題，．/：是一次函数且函数方程是一个10次迭代的方程，要怎样进行思考呢？只能依据题中最基本的条件进行解决，故而给出如下解法：解设丆一“+力@半0），则产产刃一熹尸一丆{丆（）}+@+刎六尸气一{产r+@，++一艹十l)b因为了（x）：1024．十1023，所以0b一1023解方程组得a：2，b：1或“：一2，b：一3．故所求的一次函数为歹一+1或丆（对一一一3．观察题中条件，司題的难度比例2．4.1的增加了许多，这又怎么做呢？万变不离其宗，仍采用待定系数法进而找出规律，并结合等比数列相关性质而求得a,b，但要注意解决这类问题时千万不要漏根·25数学归纳法数学归纳法主要适用于定义域是正整数的函数方程，其解题方法是通过对歹山，丆（2〕，．枞3〕，一的具体计算，加以概括抽象，提出对丿．@的解析式的一个猜想，然后用数学归纳法对猜想进行证儿根据已知条件，首先运用赋值法求出函数丆在某些点的特殊值，再猜想歹陶的表达式，最后用数学归纳法正明此猜想例2巧彐函数了@的定义域为正整数集，值域为非负整数集，所有正整数m“满足丆十'l)一六m）一直的：0或1；2）：0，丆（3）>0，熹9999）：3333，求熹四82）解由丆(1+1)一了（1)一1)一0或0而o：丆（2虍2f(l)，所以丿．（2+l)一2）一丆一0或1，得丆（3）：0或1，因为丿：0）>0，所以同理，可推得六3×2虍2，熹3×3）乤3"己知熹99）一丆（3×3333）一3333，猜想了（3幻<3333〕．下面用数学归纳法证明．（1)由上可知，一1，2，3时，结论成立（2）假设对小于的一切自然数，结论成立则直3幻：歹[3一1）十3到乬f[3@一切+丿．（3）>々一1+1直3幻之<3333），如果歹（3幻之k十1，则熹9999）乬熹9999一3幻+熹3幻>3333一++1>3333，与題设矛盾，所以丿．（3幻一巛显然，有660孓丆（1982）孓661若熹1982）=661，则,f(99)=(51982+89)~5(1982)+」八89)>5x661+」八89)>3305+29>3333,与題设矛盾所以八1982)=660例2解由2,猜想f"(x)—(x+1)2下面用归纳法证明2,(1)显然n=2时,猜想成立(2)假设对成立,即贝|综合(1)、(2),对任意neN,有学归纳法一般适用于证明题,但有时候不排除这类找规律、猜想进而证明猜想的问题遇到这种问题的时候,首先要找准规律,证明起來也就会很轻松26数列法利用等比、等差数列相关知识(通项公式、求和求积公式),求定文在N上的函数)例2、6已知(1)=l,且对任意正整数都有-I(n+l)=()+2,求(n)解在已知等式两边都加上1,得l)+1=2,所以f(n+l)+l因此,列(+是首项为六1)+1=2,公比为3的等比数列,它的第项为+1=2•3"-1歹@〕一2．3一1熟悉等差、等比数列的相关性质虹公差（比）、求和公式等，运用起来解决本題就会感到得心应手．2寻反证法反证法在数学上使用得相当普遍，即一些问题从正面直接证明有困难，而它的结论的相反结论比原结论更具体，更明确，易于导出矛盾，这时一般采用反证法先从己知条件中得出满足函数方程的一些特殊解，然后再用反证法证明除了这些解以外无其他解．例2、7设．0（0，十幻艹（0，-）是连续函数，若对Yx,，e（0，-），有1证明此函数方程无解．证明在（1）中取．丫：，：1，得丆0（切：直1），耵(f（1功：了（1）再取y一1,得熹寸一丆（对．从而有一1在0）中取Y、 1丿00一联立（D推出Y了（耵@0川一丆丆0） （2）我们知道满足上面函数方程的连续数为由丆00《l)：一，知Y矛盾，所以（I)没有连续解28不等式法在推导过程中，主要利用不等式丝亡之对万@0，/00）的等式成立的充要条件a：b例2、8设丆0）的定义域为（0，1),且丆@1一的：2，Y.x，ye（0，1丆0）歹（1一刃若．疒0）>0，满飙0，l)且点刁：1，求了国．分析本。题给出了函数丆0〕的一系列成立的条件，只要依据条件进行思考就很容易解决了．首先我们知道函数丆有一个特殊值直一）：1，而函数方程（0中有，两个未知量，故而解决司題时考虑到消元，并尽量结合直一）的值来使问题简化．解在0）式中取，：一，得一歹陶．．气一（2）熹）六再在（I)式中取x一）一、丫得2丿、0）歹、0一）熹的点1一的把（2）和（3）相加得14：．／℃0十十歹（1一十丆（1一的1 乬2丿、陶 +2丆0一的所以直对：以（动因为丆是正的，故了0）三1，飙0，1〕3其它方法（3）前面介绍的几种方法在中学数学中比较常见，应用起来也得心应手．但初等问題何其繁多，解决的途径也就形式多样还有很多其它的方式，由于本文篇幅有限，在此仅给出方法及其概念如：参数法、配凑法、通解问题、多项式法以及柯西法等参数法即先设参数再消去参数得出函数的对应关系，而求出丿℃r）．前面在例2·凵的解法二己经就参数法进行作答，在此我们就不再讲解了．配凑法是根据函数的概念、对应法则并结合配方氵去求解函数方程的一种基本方法当我们不能利用设元法求解时，配凑法不失为一种有效的方法，也是应用定义的一种方法．前面已经介绍了很多求解函数方程的方法然而，求一个或若干个解也许容易，如果要求出一个函数方程的所有解常常遇到困难这时就是所谓的通解问题我们知道，只要给出哂数在一个周期的函数值，则需要将定义域延拓到整个实数域R上，从而求得的直的就是相应函数方程的解諦刂如函数方程对以[0，7门为定义域的任意函数，g(x),都可以得到函数方程的解当0<飞还丆时；一“7'），当月丆0丫孓+1)7。时其中”为整数当函数方程中的未知函数是多项式时，就称为多项式函数方程．这是函数方程中较为常见、也较简单的一类多项式法就是利用多项式相等的原理，通过比较等式两边的次数，系数，或通过比较方程的根的个数来求出多项式函数方程的解的方法、方程了0+一歹陶熹刃称之为Cauchy方程，是法国数学家Cauchy最早研宄并解决的他的解法是一种逐步扩充其定义域的推理方法，即先在自然数集上，求其函数方程应具有的形式，然后逐步正明这种解的定义域可扩充到整数、有理数，无理数直到实数．这种解题方法后人称之为Cauchy方法·在丿．国单调（或连续）的条件下，先将自变量考虑成自然数求出函数方的解然后证明该解的表达式当其自变量取成整数、有理数及实数时仍然满足该函数方程，从而获得函数方程的解但它受函数连续性要求的限制．柯西法在高等数学中的使用频率极高，故在中学里只需了解就可结论由于函数方程的形式相当多，解决的方式也就相对的丰富尤其是在高等数学中，运用微积分解决函数方程问題就显得非常简单了：但在初等解氵去里，方式方法丰富多样：换元法（代换法〕、赋值法、待定系数法、迭代周期法（迭代法只数学归纳法、数列法、反证法及不等式法等，都是常见而且易懂的初等解法但在解决很多问题时，不仅仅使用一种方法，也有几种方式相结合而进行的，如：例22．2就是换元法与赋值法的结合，例2．7是赋值法与反证法的结合．在求解某些问題时，通过构造函数方程，也可以将问题转化为函数方程分解，从