广东省粤西北“九校”2022-2022学年度高三联考数学模拟试题

“九校”2022—2022学年度高三联考数学(理科)试题考试时间:120分钟,满分150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.若，则的定义域为()A.B.C.D.2．奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是（） A． B． C． D．3．下列命题错误的是（）A.的充分不必要条件;B.命题“”的逆否命题为“”;C.对命题：“对方程有实根”的否定是:“，方程无实根”;D.若命题是;4．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()A.B.C.D.(第4题图)(第5题图)5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A． B． C． D．6.已知，，若向区域上随机开始?是输入p结束输出否投一点，则点开始?是输入p结束输出否A． B． C． D．第7.执行如图的程序框图，若输出的＝5，则输入整数的最小值是（）A．6.7C8．已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足，R在抛物线准线上的射影为，设是中的两个锐角，则下列四个式子中不一定正确的是（） A． B．(第7题图) C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.二项式的展开式中的常数项为15,则实数的值为;10．从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为;11．已知向量==,若，则的最小值为;12．点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是____;13．在数列中，，为数列的前项和且，则;（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于，点在的延长线上，是⊙的切线，若，，则的长为。15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是.(第14题图)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题共l2分）已知函数，xR．（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，．求：的值．17.（本小题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立.（I）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（II）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.18.（本小题满分14分）已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值.（本小题满分14分）如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：.21.（本小题满分14分）已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为.（Ⅰ）求数列的最大项和最小项；（Ⅱ）判断与的大小，并求为何值时，取得最大值；（Ⅲ）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列。（参考数据）“九校”2022—2022学年度高三联考数学(理科)评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。C,B,B,A,A,D,C,D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9.10.11212.13.15.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题共l2分）（Ⅰ）解析：，…………4分∴的最小正周期，最小值．………………6分（Ⅱ）证明：由已知得，两式相加得，∵，∴，则．………10分∴．………………12分17.（本小题满分12分）解：（I）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是：.…………4分（II）可能取值为1，2，3.………………5分………8分的分布列为：123P的数学期望………………10分的方差.…………12分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结交于，连结，，， ，， ，，. ………………4分（Ⅱ）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，,, , 异面直线与所成角的余弦值为 . ………………9分 （Ⅲ）侧棱,, 设的法向量为,，并且,，令得，,的一个法向量为 . ,………13分由图可知二面角的大小是锐角,二面角大小的余弦值为 .………………14分 注:用综合法作答,可参考上面的标准给分.19. （本小题满分14分）解（Ⅰ）依题意有故椭圆的方程为…………………4分（Ⅱ）(解法1)由知,从而直线与坐标轴不垂直,由可设直线的方程为，直线的方程为.将代入椭圆的方程并整理得:,解得或,因此的坐标为,即…………………6分将上式中的换成,得.……………7分直线的方程为化简得直线的方程为，…………………12分因此直线过定点.…………………14分(解法2)由题直线的斜率存在，则可设直线的方程为：，代入椭圆的方程并整理得:,设直线与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而…………………7分由得，整理得：由知. 此时,因此直线过定点.………14分20．（本小题满分14分）解（Ⅰ），令，解得当时，，在单调递增；当时，，在单调递减.……4分（Ⅱ）为偶函数，恒成立等价于对恒成立解法1:当时，，令，解得（1）当，即时，在减，在增，解得，（2）当，即时，，在上单调递增，，符合，综上，.………9分解法2:等价于对恒成立,设则.当时,;当时,;时,………9分（Ⅲ）。。。。。。。………14分21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当n是奇数时，,单调递减，,当n是偶数时，,单调递增，；综上，当n=1时，;当n=2时，.………4分（Ⅱ），，，则当时，；当时，，……7分又，的最大值是中的较大者.，，因此当n=12时，最大.………9分（Ⅲ）随n增大而减小，数列的奇数项均正