优选教案1：人教B版高中数学必修第四册 棱锥与棱台

11.1.4棱锥与棱台本小节是人教B版必修四《立体几何初步》的第4课时，在学习了多面体和棱柱的基础上，进一步学习特殊的多面体——棱锥与棱台。本节内容仍然从实物模型，整体观察入手，引导学生认识棱锥、棱台的结构特征；用运动的观点形成棱锥、棱台的概念，用运动变化的观点理解棱锥、棱台的概念和相互之间的关系；重视立体几何知识和平面几何知识间的“类比”，体会空间问题转化为平面问题的“转化”思想；会借助几何关系计算棱锥与棱台的棱长和表面积。教学过程中，要从整体到局部，从具体到抽象，充分通过直观感知，操作确认，多角度、多层次地揭示空间图形地本质，突出几何体地本质特征，注意适度地形式化，促进学生主动探索的学习方式的形成，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力，倡导学生积极主动，勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会比较、划归、分析等一般科学方法的运用。考点教学目标核心素养棱锥与棱台的概念和结构特征认知棱锥、棱台的结构特征、能运用这些特征描述现实生活中简单物体结构，能够识别和区分棱锥、棱锥、棱台直观想象、数学抽象棱锥与棱台的棱长和表面积体会空间问题转化为平面问题的转化方法，借助几何关系计算棱锥和棱长的棱长和表面积直观想象，数学运算【教学重点】棱锥与棱台的概念和结构特征、棱锥与棱台的棱长和表面积运算【教学难点】运动变化的观点理解棱锥、棱台的概念和相互之间的关系、空间问题转化为平面问题的转化方法问题1：棱锥知识点1：棱锥的定义如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥．思考：（1）各个面都是三角形的几何体一定是三棱锥吗？解答：如图所示的几何体，各个面都是三角形，但该几何体不是三棱锥．（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥吗？试举例说明．解答：不一定，如图．知识点2：棱锥的结构特征棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱．知识点3：棱锥的分类按底面的形状分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)，五棱锥(底面是五边形)，…….如图11-1-31，（2）是一个四棱柱、（3）是一个三棱锥、（4）是一个五棱锥.知识点4：棱锥的表示棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示，例如四棱锥可表示为：四棱锥P－ABCD或四棱锥P－AC．知识点5：棱锥的高和侧面积过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高．棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积．如图，PO为棱锥的高，因此面ABCD从而可知：知识点6：正棱锥及其性质(1)正棱锥的定义：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．(2)正棱锥的性质：正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．例1.如图是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥（1）写出直线PA与直线CD，直线PA与面ABCDEF之间的关系；（2）求棱锥的高和斜高；（3）求棱锥的侧面积解：（1）直线PA与直线CD异面，直线面ABCDEF=A（2）作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，连接OC，可知OC=1在中，可知：；设BC的中点为M，由为等腰三角形可知，，因此PM为斜高，从而（3）因为的面积为：.故棱锥的侧面积为：【变式练习】已知正四棱锥的底面边长为4，高是2，则它的表面积为________.答案：16＋16eq\r(2)解析：如图，∵AO＝2，OB＝2，∴AB＝2eq\r(2).又∵S侧＝4×eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝16eq\r(2)，S底＝4×4＝16，∴S表＝S侧＋S底＝16＋16eq\r(2).问题2：棱台知识点1：棱台的定义一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台．原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱．知识点2：棱台的分类及表示按底面的形状分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)、……，棱台可用上底面与下底面的顶点表示，例如底面是四边形的棱台可表示为四棱台ABCD－A′B′C′D′.如图所示的棱台，可以看出是从棱锥P-ABCD上截去棱锥得到的.知识点3：棱台的高和表面积过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高．棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积．知识点4：正棱台及其性质(1)正棱台的定义：由正棱锥截得的棱台称为正棱台．(2)正棱台的性质：正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．【概念辨析】1．思考辨析(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台．()(2)棱台的侧面都是等腰梯形．()答案(1)×(2)2．下列命题中正确的是()A．棱台的侧面可以是平行四边形B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点答案：D棱台的侧面是梯形，一定不会是平行四边形，故A错；B中侧棱不一定交于一点；C中底面不一定是正方形．例2.如图所示是一个正三棱台，而且下底面边长和侧棱长都为1，与分别是下底面和上底面的中心.（1）求棱台的斜高；（2）求棱台的高.解：（1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形。如图所示，在梯形中，分别过作AC的垂线与，则由可知，从而，即斜高为.（2）根据与分别为下底面和上底面的中心，以及下底面边长和上底面的边长分别为2，1,可以算出：假设正三棱台是由正棱锥截去正棱锥得到的，则由已知可得VO是棱锥的高，是棱锥的高，是所求棱锥的高.因此是一个直角三角形，画出这个三角形，如图所示，则是的中位线.因为棱台的棱长为1，所以，从而因此：因此棱台的高为：【变式练习】1.关于几何体ABC－A1B1C1，平面ABC与平面A1B1C1平行，其中能构成棱台的是()A．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝2，A1C1＝2，B1C1＝2B．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝3，A1C1＝4，B1C1＝4C．AB＝1，AC＝2，BC＝2，A1B1＝2，A1C1＝4，B1C1＝4D．AB＝2，AC＝4，BC＝3，A1B1＝5，A1C1＝3，B1C1＝4答案：C由于棱台的两个底面互相平行，侧棱延长后相交于一点，因此棱台的对应边成比例，通过计算可知答案．∵A中eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(1,2)≠eq\f(AC,A1C1)，B中eq\f(AB,A1B1)≠eq\f(AC,A1C1)，D中eq\f(AB,A1B1)≠eq\f(AC,A1C1)≠eq\f(BC,B1C1)，只有C中eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(AC,A1C1)＝eq\f(BC,B1C1)＝eq\f(1,2)，∴只有C能构成棱台．2.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为2eq\r(2)，求该三棱台的侧面积．解：设正三棱台侧面梯形的高为h′，则h′＝eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－2,2)))2)＝2.∴S棱台侧＝3×eq\f(1,2)(d＋d′)h′＝3×eq\f(1,2)(2＋6)×2＝24.即该三棱台的侧面积为24.小结：1．棱柱、棱锥、棱台