河南省商丘市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省商丘市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0C．x2+x﹣2＝0 D．3x﹣2xy﹣5y2＝02．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．当x=时，函数y=的函数值为（

）A．6 B．-6 C．9 D．-94．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（）A． B． C． D．5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°6．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（

）A． B． C． D．7．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根8．设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．9．如图所示，以为直径的半圆O经过斜边的两个端点，交直角边于点E．B，E是半圆弧的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题11．若是关于x的一元二次方程，则m的值是________．12．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是__________．13．正三角形的边长为2，则它的边心距为_____．14．如图，在正方形ABCD中，，点M在CD的边上，且，与关于AM所在的直线对称，将按顺时针方向绕点A旋转90°得到，连接EF，则线段EF的长为______．15．已知二次函数的图象如图所示，它与轴的两个交点分别为，．对于下列命题：①；②；③；④．其中正确的有______．三、解答题16．解下列方程：(1)．(2)．17．已知二次函数y＝x2﹣6x＋5（1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴；（2）求出抛物线与x轴的交点坐标．18．已知关于的方程．(1)求证：无论为何值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．19．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．(1)在图①中画一个面积为4的只是中心对称的四边形．(2)在图②中画一个面积为4的菱形，且邻边不垂直．(3)在图③中画一个矩形，使其边都是无理数，且邻边不相等．20．如图，为⊙O的直径，过点的切线与弦的延长线交于点，为半径，于点，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．21．北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．(1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大，为米，则________．(2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？(3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度．22．已知，在中，，点E是边上一点，过点E作交于点F．（1）如图①，求证：；（2）如图②，将绕点A逆时针旋转得到．连接，．①若，求的长；②若，在图②的旋转过程中，当时，直接写出旋转角的大小．23．如图，抛物线过，，三点，边长为4的正方形的顶点，分别在轴上，轴上．（1）求抛物线解析式，并直接写出当时的最大值与最小值的差．（2）将正方形向右平移，平移距离记为．①当点首次落在抛物线上，求的值．②当抛物线落在正方形内的部分，满足随的增大而减小时，请直接写出的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2次（最高次系数不为0）的整式方程叫做一元二次方程，依次对各选项进行判断即可．【详解】解：A、为分式方程，不符合题意；B、，只有当时，它为一元二次方程，不符合题意；C、，是一元二次方程，符合题意；D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握理解一元二次方程的定义是解题关键．2．B【分析】根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．3．D【分析】代入x=-3求出与之对应的y的值，此题得解．【详解】解：当x=-3时，y=-(-3)2=-9，故选：D．【点睛】本题考查了求函数的值，准确计算是解题的关键．4．D【分析】由圆周角定理可求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的大小．【详解】由圆周角定理可得：．∵，∴．故选D．【点睛】本题主要考查圆周角定理．掌握同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍是解题关键．5．A【分析】根据旋转的性质得AB=AD，由等腰三角形性质得∠B=∠ADB，由旋转角为120°得∠BAD=120°，由三角形内角和定理得∠B+∠ADB+∠BAD=180°，由此可求出∠B的度数．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=120°，∴∠B=∠ADB，∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°，∴∠B=∠ADB==30°．故选A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键是理解并能够熟练运用旋转的性质．6．C【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是∴所得抛物线解析式是．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．7．A【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．【详解】解：根据定义得：＞原方程有两个不相等的实数根，故选【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．8．A【详解】解：∵函数的解析式是，如图，∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴点A关于对称轴的点A′是，那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小，∴于是，故选A．9．D【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出，的长，利用图中阴影部分的面积求出即可．【详解】解：连接，，，，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴，∴，∴，∵的长为，∴，解得：，∴，∴，∴，∴，∵和同底等高，∴和面积相等，∴图中阴影部分的面积为：．故选：D．【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算、三角函数以及三角形面积求法等知识，根据已知得出和面积相等是解题关键．10．C【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．【详解】解：点的坐标为，，四边形是正方形，，，，连接，如图：由勾股定理得：，由旋转的性质得：，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到，，，，，，，，，发现是8次一循环，则，点的坐标为，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．11．【分析】根据一元二次方程的定义，可得且，即可求解．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，∴且，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．12．【分析】确定函数的对称轴=-2，即可求出.【详解】解：函数的对称轴=-2，则与轴的另一个交点的坐标为（-3,0）

故答案为（-3,0）【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键.13．【分析】如图，连接OB、OC；求出∠BOC＝120°，进而求出∠BOD＝60°，运用三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，△ABC为正三角形，点O为其中心；作OD⊥BC于点D；连接OB、OC；∵OA＝OC，∠BOC＝120°，∴BD＝BC＝1，∠BOD＝∠BOC＝60°，∴tan∠BOD＝，∴OD＝BD＝，即边长为2的正三角形的边心距为．故答案为：．【点睛】本题考查了正三角形的性质、三角函数、边心距的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解是解答本题的关键；14．【分析】由对称可知△AEM△ADM，继而得到，连接，由△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，可证明，再根据全等三角形对应边相等得到，最后根据正方形的性质，解得，在中，由勾股定理，解得，据此解题．【详解】解：△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，△AEM△ADM连接，如图，△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，△ABF△ADM在正方形ABCD中，在中，，故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质、旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．15．①③④##①④③##③④①##③①④##④①③##④③①【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断即可；【详解】∵它与轴的两个交点分别为，，∴，，两式相减得：，即，故①正确；由图形可知，，，对称轴，∴，∴，故②错误；∵函数图象与x轴有两个交点，∴，故③正确；∵，则，∵，把代入上式得，由图像可知，∴，即，故④正确；综上所述，正确的是①③④．故答案是：①③④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．16．(1)，(2)，【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；（2）利用公式法解一元二次方程．【详解】（1），，则或，解得，；（2），，，，，，，．【点睛】本题考查解一元二次方程，选用合适的方法解方程是解题的关键．17．（1）y=(x-3)2-4，开口向上，顶点坐标(3,-4)，对称轴直线x=3；（2）(1，0),

(5，0)【分析】（1）把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论；（2）令y=0，得方程x2﹣6x＋5=0，解方程即可求解．【详解】解：（1）原二次函数可化为：y=（x-3）2-4；∵∴开口方向向上，顶点坐标（3，−4)，对称轴：直线x=3；（2）对于y＝x2﹣6x＋5，令y=0，得x2﹣6x＋5=0，解得，，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1，0),

(5，0)．【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．18．(1)见解析；(2)12．【分析】（1）先计算出，然后根据平方的性质和一元二次方程根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）依题意方程一个根为5，代入方程求得，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长．【详解】（1）证明：，∵，即，∴无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，∴另外一边长度为5，∴方程一个根为5，∴，解得，∴方程为，∴，解得，，故的周长．【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）求出．19．(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析【分析】（1）结合网格特点和中心对称图形的定义，画出一个面积为4的平行四边形即可；（2）结合网格特点和菱形的面积公式，画出一个对角线长分别为2和4的菱形即可；（3）结合网格特点和勾股定理、矩形的判定画图即可得．【详解】（1）解：如图①，平行四边形即为所求．（2）解：如图②，菱形即为所求．（3）解：如图③，矩形即为所求．【点睛】本题考查了画中心对称图形、菱形、矩形、平行四边形，以及勾股定理与无理数等知识点，熟练掌握网格作图的方法是解题关键．20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEC＝90°，根据切线的性质得到∠ACD＝90°，进而得到∠DCE＝∠CAE，根据圆周角定理得到∠COE＝2∠CAE，等量代换证明结论；（2）根据垂径定理求出AH，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】（1）证明：连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∵CD为⊙O的切线，∴∠ACD＝90°，∴∠DCE+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝∠CAE，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COE＝2∠DCE；（2）解：设圆的半径为r，则OH＝r﹣2，∵OE⊥AB，AB＝8，∴AH＝AB＝4，在Rt△OAH中，OA2＝OH2+AH2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，在Rt△AHE中，AE＝＝＝2，∴CE＝＝＝4．【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理、圆周角定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．21．(1)(2)8米(3)米【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为，由此即可得；（2）先求出的值，从而可得抛物线的解析式，再根据“他滑行高度与小山坡的竖直距离为米”建立方程，解方程即可得；（3）先求出小山坡的顶点坐标为，从而可得，再根据“与坡顶距离不低于3米”建立不等式，求出的取值范围，由此即可得．【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析式为，，解得，故答案为：．（2）解：由（1）可知，，将点代入得：，解得，则，设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，则，解得或（不符题意，舍去），答：当小张滑出后离的水平距离为8米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．（3）解：，则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，由题意得：，解得，则，当时，，小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，，解得，即跳台滑出点的最小高度为米．【点睛】本题考查了二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）①6；②或．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的定义即可得证；（2）①先根据旋转的性质可得，从而可得，再分和两种情况，分别根据三角形全等的判定定理与性质即可得；②把绕点A逆时针旋转时，与过点C与AB平行的直线相交于点M、N，然后分两种情况，分别根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质求解即可得．【详解】（1），，，，，；（2）①由旋转的性质得：，，，由题意，分以下两种情况：如图1，当时，则，即，在和中，，，，如图2，当时，