近年年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和(第2课时)数列求和巩固提升(含解析)新人教A版必修

第2课时数列求和 [A基础达标]列，则a1＝()CD!所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解得a1＝－错误!。2．数列{an}的通项公式是an＝错误!，若前n项和为10,则项数为()解析：选C。因为an＝错误!＝错误!－错误!，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(错误!－错误!)＝错误!－1，3．数列{an}，{bn}满足anbn＝1,an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为()解析：选B.依题意bn＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!，所以{bn}的前10项和为S10＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!－错误!＝错误!,故选.4．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn＝()nnnnn＋1nn＋1＝错误!－n＝2n＋1－n－2。SD故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.qaaqqq列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝错误!×2n－1,所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝错误!(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝错误!(2n－1)＝2n－1－错误!。7．已知函数f(n)＝错误!且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100。解析：令bn，由数列的递推公式，可得错误!＝错误!，且b1＝错误!＝1,则bn＝b1×错误!×错误!×错误!×…×错误!＝1×错误!×错误!×错误!×…×错误!＝错误!，所以Tn＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝1＋2错误!错误!＝1＋2错误!＝错误!。 (1)求数列{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.解：(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2,所以{an}的通项公式为an＝2n(n∈N＊)． (2)由题意得数列{an＋bn}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＋(b1＋b2＋…＋bn)＝错误!nn＋n2－2.10．(2019·广东深圳调研)设数列{an}的前n项和为Sn,a1＝2,an＋1＝2＋Sn(n∈N＊)．(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝1＋log2(an)2,若数列错误!的前n项和为Tn，求Tn。解:(1)因为an＋1＝2＋Sn(n∈N＊)，所以an＝2＋Sn－1(n≥2),所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，所以an＋1＝2an(n≥2)，n比数列，则an＝2·2n－1＝2n(n∈N＊)． Tn＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!.[B能力提升]列{an}的前n项和，则S2019的值为()a9＝1，…，则数列{an}是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以S2019＝336×(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋a1＋a2＋a3＝6.故选C。lnxlnxlnxlnx＋ln2x＋ln3x＋…＋ln10x＝________．解析:由lnx＋lnx2＋…＋lnx10＝110。得(1＋2＋3＋…＋10)lnx＝110，所以lnx＝2。从而lnx＋ln2x＋ln3x＋…＋ln10x＝2＋2＋＝2＋2＋2＋…＋2＝错误!＝211－2＝2046。求数列{an}的前n项和Sn.anan＝4(n＋1)－1,两式相减，得an＋2－an＝4(常数)．Sn＝错误!×1＋错误!×4＋错误!×2＋错误!×4＝n2－错误!.当n为奇数时,S×1＋错误!×4＋错误!×2＋错误!×4＝n2－错误!。故Sn＝错误!14．(选做题)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1,在等差数列{bn}中，bn>0，且b1＋(1)求数列{anbn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn.＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.因为bn>0，所以d＝－10应舍去,所以d＝2，所以b1＝3，所以bn＝2n＋1。(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1①，3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n②，－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3nn＝3＋2×错误!－(2n＋1)3n所以Tn＝n·3n.等比数列(强化练)1．已知等比数列{an}的公比q＝错误!,a2＝8，则其前3项和S3的值为()解析:选B.在等比数列{an}中，因为公比q＝,a2＝8，Saaa6＋8＋4＝28.2．已知数列{an}是等比数列，若a2＝2,a3＝－4，则a5等于()CD解析:选D.设等比数列{an}的公比为q。因为a2＝2，a3＝－4，所以q＝错误!＝－错误!aaqa＝－1。3．在正项等比数列{an}中，a3＝错误!,a5＝8a7，则a10等于()CD误!解析:选D。q2＝错误!＝错误!，即q＝错误!，所以a10＝a3·q7＝错误!·错误!错误!＝错误!，选D.4．在等比数列{an}中，已知a5a14＝5，则a3a4a15a16等于()2所以a3a4a15a16＝5＝25.2由已知得a1q4·a1q13＝aq17＝5,所以a3a4a15a16＝a1q2·a1q3·a1q14·a1q15＝a错误!·q34＝(a错误!q17)2＝25。5．设首项为1，公比为错误!的等比数列{an}的前n项和为Sn,则()解析：选D.在等比数列{an}中，6．已知数列{an}满足：错误!＝错误!，且a2＝2,则a4等于()122解析：选D。因为数列{an}满足：＝错误!,所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋aa7．(2019·中山一中调研)在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和．若a2a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,则S6＝()解析：选A.由等比数列的性质,知a1a4＝a2a3＝2a1，得a4＝2。因为a4＋2a7＝2×17＝34，所以a7＝16，所以q3＝错误!＝错误!＝8，即q＝2。由＝8a1＝2，得a1＝错误!，所以S6＝错误!＝错误错误!＝()ABCD!3a3所以错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝－错误!。9．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn)nnnnnn解析：选C.因为数列{an}为等比数列，设数列{an}的公比为q，则an＝2qn－1.因为数列{an＋1}也是等比数列,则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)?a错误!＋2an＋1＝an·an＋2＋an＋an＋2?an＋an＋2＝2an＋1?an(1＋q2－2q)＝0由a1＝2得an＝2，所以Sn＝2n.个单位,递减的比例为40%,今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，，则“衰分比"与m的值分别为()解析：选A.设“衰分比”为a，甲衰分得b石,由题意得错误!77所以错误!＋错误!＝0，即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0。解得q＝－2或q＝1(舍去)．即错误!＝2，所以an＝2×2n－1＝2n.所以bn＝log22n＝n。则数列{bn}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.813．在14与之间插入n个数，组成所有项的和为错误!的等比数列,则此数列的项数为8公比为q，则数列共有5项．解析：设数列{an}的公比为q，因为{an}是等比数列，且a2＝2，a5＝错误!，所以错误!＝q3＝8,所以q＝错误!,所以a1＝4，又{an}是等比数列，所以{anan＋1}也是等比数列，且首项为a1a2＝8，公比q′＝错误!,所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝错误!＝错误!(1－4－n)．ann项和为Sn,已知a2＝1，S10＝45。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn＝2－an，求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝1，解得错误!所以an＝n－1。 (2)由(1)知bn＝2－an＝2－(n－1)＝错误!错误!，所以数列{bn}是等比数列，且首项b1＝1，公比q＝错误!.所以Tn＝错误!＝2－错误!。16．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3。(1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63,求m。解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1。故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝错误!。由Sm＝63得(－2)m＝－188,此方程没有正整数解．ann项和是Sn,且Sn＋错误!an＝1，数列{bn}，{cn}满足bn＝log3错误!,cn＝错误!. n(2)数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn<m对任意的正整数n恒成立,求m的取值范②－①可得an＋1＋错误!an＋1－错误!an＝0，anan。所以{an}是首项为错误!，公比为错误!的等比数列．因此an＝错误!·错误!错误!＝错误!。bnloglogn＝－2n，cn＝错误!＝错误!＝错误!错误!.所以Tn＝错误!错误!因为Tn〈m对任意的正整数n恒成立，所以m≥错误!。所以m的取值范围是错误!。18．(2019·广东重点中学联考)已知数列{an}是首项a1＝错误!，公比q＝错误!的等比数 (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{cn}的前n项和Sn。所以bn＋2＝3log错误!错误!错误!＝3n，所以bn＝3n－2,所以{bn}为等差数列,其中首项b1＝1，公差d＝3。(2)cn＝anbn＝(3n－2)×错误!错误!，所以Sn＝1×错误!＋4×错误!错误!＋7×错误!错