利用导数研究不等式恒成立求参数范围专题理

利用导数研究不等式恒成立求参数范围专题理第1页/共24页利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题是高考考查的重点,常以压轴题的形式出现,难度较大.解决此类问题常利用分离参数法或构造函数法将问题转化为函数最值问题求解.专题概述第2页/共24页方法一

分离参数法求参数范围第3页/共24页第4页/共24页反思归纳

已知不等式f(x,λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立,求参数λ的取值范围.利用导数解决此类问题可以运用分离参数法,其一般步骤如下:第一步,将原不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实参数)分离,使不等式的一边是参数,另一边不含参数,即化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式;第二步,利用导数求出函数f2(x)(x∈D)的最大(小)值;第三步,解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min,从而求出参数λ的取值范围.第5页/共24页【即时训练】(2016洛阳统考)已知函数f(x)=ex+ax2-e2x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;解:(1)由f′(x)=ex+2ax-e2得:y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率k=4a=0,则a=0.此时f(x)=ex-e2x,f′(x)=ex-e2.由f′(x)=0,得x=2.当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(-∞,2).第6页/共24页(2)若x>0时,总有f(x)>-e2x,求实数a的取值范围.第7页/共24页方法二

分类讨论法求参数范围第8页/共24页(2)讨论函数f(x)的单调性;第9页/共24页(3)如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立,求实数a的取值范围.第10页/共24页第11页/共24页第12页/共24页反思归纳

如果无法分离参数,可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解,如果是二次不等式恒成立的问题,可以考虑二次项系数或判别式的方法求解.第13页/共24页第14页/共24页(2)若当x≥0时,f(x)≤ax2恒成立,求实数a的取值范围.第15页/共24页第16页/共24页

利用转化与化归思想求解存在性不等式成立问题方法三②当1<a<e时,x∈[1,a]时,f′(x)≤0,f(x)为减函数;x∈[a,e]时,f′(x)≥0,f(x)为增函数.所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)lna-1.第17页/共24页第18页/共24页(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.第19页/共24页反思归纳

不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min>0(x∈I).(2)f(x)>g(x)对x∈I能成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈I).(3)对∀x1,x2∈D使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.(4)对∀x1∈D1,∃x2∈D2使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min,f(x)定义域为D1,g