六年级上册奥数试题-第21讲：正方体和长方体-全国通用(含答案)

第

正方体长方体知网长方体一共有六个面个面都长方正方形相对应的两个面是全等的，所以长方体一共有3对小相等的面对面的面积相等体两个面相交的边叫棱，它共有12条，并且相互平行的棱的长度是一样的。长方体有8个点，相交于同一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。长、宽、高相等的长方体叫做正方体，正方体的长、宽、高统称为棱长。正方体是长方体的特殊情况，它的六个面都是正方体且面积都相等，它的12条长的长度也等。若长方体的长、宽、高分别用字母、b、c表，则其体积V=abc其表面积为；若正方体的棱长用字母a表，则其体积。

其表面积为重·点本讲主要涉及的问题有立图的计数立图形上的最短路线立体图形的分割与拼凑立图形的表面积与体积计算四个问题是数学竞赛中常见的问题是本讲的难点。学指针对上述四个问题，我们用相应的方法来求解。（1立体图形的计数问题，有一个常用的结论：如果把正方体的每条棱长n等，那么就将正方体分成

个小正方体，而正方体的总个数有。立体图形上的最短路线问题，一般将立体图形展开在平面上，利用公理“两点之间，直线段最短”来求解。立体图形的分割与拼凑，类似于平面图形的分割与拼凑，将不规则的立体图形拼凑成规则的或我们比较熟悉的立体图形。立体图形的表面积与体积的计算，一般是将图形分成几个部分，对各个部分分别求出表面积或体积，再求出总的表面积或体积。经例[例把十九个棱长为1厘的正方体重叠起来，拼成一个立体图形，如图1所，求这个立体图形的表面积。思剖如果一个立体图形没有被“挖洞”的问题，那么它的表面积应该是从上、下、左、右和前、后六个方向看到的平面图形的面积的总和。而此立方体图形，从前后、上下、左右分别看到的图形分别如图所示。解由于此立体图形的三个面的投影的面积分别是10平厘米平厘米，平方厘米，所以此立体图形表面积为10+8+9）×2=54平方厘米）。[例如图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿着虚线折，沿着实线粘）。请问：这个多面体的面数、顶点和棱数各是多少？思剖要求这个多面体的面数只数平面纸有几个面即可要求出它的顶点数则具备一定的空间想像力如上分的正三角形的三边和三个正方形相连而得到9个点。已知面数、顶点数，要求棱数可以利用欧拉公式求解，所谓欧拉公式，即多面体的顶点+多面体的面-多面体棱数=2解从展开图中可以看出，粘合的多面体有个正方形和8个角形，从而它有20个。这个多面体上部的中间是一个正三角形的边与三个正方形相连此个多面体的上部共有顶点。同理，它的下部也有个点，因此这个多面体的顶点数为18。由欧拉公式，这个多面体的棱，这个多面体有36条棱。答：粘合后的多面体有个，18个点条棱。[例如图所示是一个长方体，上、下两面被分成65=30个方，前后两个面被分成×4=24个方形，左右个面被分成×4=20个方形，那么图中共有多少个正方体？多少个长方体？思剖一个正方体或长方体都有长宽高个基本要素只要从这三要素上任意取出一条线段就可以组成一个新的长方体，而正方体的个数，则要分大小来数出总数。解图长方体的长边上有条线段；宽边上有5+4+3+2+1=15条线段；高上有条段以图形中的长方包含正方体总数有××10=3150（个）。而图中有最小的正方体×5×（个），由个最小正方体组成的正方体有5×3=60个），由27个最小正方体组成的正方体有4×2=24（个），由64个小正方体组成的正方体有×2×1=6（个），因此，图4中有正方体120+60+24+6=210个）。[例如图所示，一长方体木板，它的长、宽和高分别为米。有一只小蚂蚁从这块木板的A点发爬到B点其中A点、B点为这块板长与高的中点），请问，它要如何选择爬行路线，使所经过的路程最短？思剖由于小蚂蚁是在长方体的表面上爬行以要求立体图形上的最短路线须立体图形的两个面展开在平面上。而在同一平面上，A间最短路线是连接这两点的直线段。不过在本题中蚂蚁可以通前面和右面到达点可以通过下面和右面到达B点必须比较这两条直线段，取其中最短的直线段。解从A点发，经前面和右面到达B点将这两个面摊开在平面上，这时A、间最短路程就是连接、B点的直线段（如图所）。从A点发，经下面和右面到达B点，将这两个面摊开在平面上，连接A、B点（如图所示）。比较这两条直线段的长度。从图中可以看出：图的段要比图的线段稍短些，所以小蚂蚁应选择这条路线，此时路程的长度由勾股定理可得[例要砌一个高为1米砖垛，每层砖都按图示的样子来砌。现已知每块砖的厚度为厘米，每两块砖之间的灰膏的厚度为1.25厘，问砌好这个砖垛共要用多少块砖？思剖从图中可看出层砖共由组成求需多少块砖关键是要求出此砖垛共有多少层。而在两层砖中间有1.25厘厚的灰膏，所以假如没有灰膏，则共有÷10=10（）砖。但实际上这是错误的，所以在计算砖垛时，必须考虑到灰膏的厚度。解由于有灰膏的厚度，所以砖的层数必然要小于100（层）。假设砖的层数为x层，那么由于两层砖中间才有上层灰膏，所以灰膏的层数为）层，从而有×x+1.25×（x-1=10011.25x=101.25即这样的砖垛需要砌９层，每层有８块砖，共要用砖８×９＝７２（块）。[例如图所示，一个棱长10厘的正方体，分别在它的前后、左右、上下各需的中心位置挖去一个横截面是边长为米的正方形的正方（都和对面打通求个立体图形的体积。思剖挖去的前后左右上三个长体在正方体内部的中间位置相交成一个空的小正方体本的一般解法是用大正体的体积减去三个长方体的体积须意三个长方体有公共部分，计算体积时要注意不要重复计算。解此立体图形的体积等于正方体的体积减去前后、左右、上下六长方体的体积。正方体的体积为10××10=1000立方厘米）前后长方体的体积为××（立方厘米）同理，左右长方体和上下长方体的体积也是立厘米。正方体内部的小正方体的体积为×33=27（立方厘米）因此，此立体图形的体积为××2=1000-270+54=784立方厘米）[例如图所示，有一个空的长方体容器（如图所）和另一个水深24米的长方形容器（如图9b所）。若把容器2中水倒入一部分在容器中，使两个容器中的的深度相同，求这时水的深度是多少？思剖在倒水过程中，水的体积是保持不变的。因此我们可以根据这个等量关系，列出方程。同时，我们也可以想像将两个容器粘合在一起，再求出水的深度。解☆解法一若把容器的水的一部分倒入容器中使两个容器的水一样高这个高度为米，而水的总体积是××24=14400立方厘米），从而有容器水的体积加上容器水的体积等于水的总体积，即×30×20（厘米）☆解法二将容器1的和容器2的度粘合在一起两容器的底部成为一具长为（=60厘，宽为30厘的长方形，其面积为×30=1800（平方厘米），从而水的深度为30×÷1800=14400÷1800=8（厘米）。答：这时水的深度为米。点本讲就有关长方体和正方体的问题做了比较详细的介绍解此类问题时要就问题的不同类型进行分析。比如对于例，在求表面积时，可以用“投影法”，即立体图形在六个面上的投影面积总和来求解，而不必去一个一个地数小正方体的个数。对于例、例，要具备一定想像能力要熟练掌握平面和空间的转化许有些同学会忽略中间的公共的小正方体，这必须要细心对待，有兴趣的同学不妨求求这个立体图形的表面积（注意：不能用“投影法”）。发散思维训练一个长方体上截下一个体积32立厘米的小长方体后剩下的部分正好是棱长为米的正方体，则原来的长方体的表面。有一个零件如图10所示则它的体积_____立方厘米它表面积______方厘米（单位：厘米）．图11中的正方体A点一只蚂蚁要沿着棱爬到B点，那么，取最短路线的走有______种。．有一张长方形的纸板它的长是厘，把它的四边折起2厘，并剪去四个角的正方形。已知折成无盖纸盒的容积是112立厘米，那么张纸的宽_厘米。．有一个棱长为厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的“十”字孔（如图12所示，求这个立体图形的表面积。图13中一格内放着一个立方体木块块六个面上分别写着ABCE、F六字母中AD与EC与相A面上果块沿着图中方格滚动，那么当木块滚到第21格进木块向上的面是哪个字母？参答发思训．解：将小长方体拼在正方体上恰可以组成原来的长方体小方体必有一面与正方体的面相等，即小正方体有一面为4×4的正方体，从而它的长、宽、高分别为厘、4厘和4厘米所以大正方形的长高别为米4米和4厘而它的表面积为：×（44+46+4×6×（16+24+24）×（平方米）。．解：此零件的体积为上面的正方体的体积加上下面的长方体的体积面的正方体的体积为2×（立方厘米），下面的长方体的体积为××2=36立方厘米），因此这个零件的体积是（立方厘米）。而它的表面积用“投影”来求解。从上下面看，投影的面积均为44=16（平方厘米，从前后左右看，投影的面积均为4×2+2×2=8+4=12（平方厘米），因此这个零件的表面积为16×（方厘米）。．解：如答图示，从A点发，到

有一条路线，从

到有两条最短路线，从而，从A点发经

到B有两条最短路线理A出发经

和经

也各有两条最短路线到达B点从而从A到点短路线共有（条）。．解：设这张纸板的宽是x米折成的无盖纸盒底面的长12-2×厘x-2×2）=）米，高是2厘。从而有×（即（米）．解：将这个立体图形看成棱长为4厘的正方体和12个长为2米的正方体粘合而成中个棱长为4厘的正方体在大正方体的八个顶点上长为米的正方体在大正方体的棱的中间于每个小正方体都有两个面分别粘接两个较大的正方体对