人教版数学九年级上册单元测试卷含解析

人教版数学九年级上册

第21章一元二次方程测试卷

一.选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，

其中只有一个是正确的）

1.（3分）把方程x（x+2）=5（x-2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）

A.1,-3,10B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,3,2

咐（

2.（3分）一元二次方程x2-6x-5=0配方可变形为（）

A.（x-3）2=14B.（x-3）2=4C.（x+3）2=14D.（x+3）2=4

3.（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+l）x+l=0有两个不相等的实

数根，那么k的取值范围是（）

A.k>-1B.k>-工且kWOC.k<-1D.k2-2且kWO

4444

22

34.（3分）用换元法解方程《二丝—=3时，设三二ll=y,则原方程可

教2

xX-12x

化为（）

A.y-1-3=0B.y-1-3=0C.y-1+3=0D.y-1+3=0

yyyy

5.（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2-7x+12=0的两个根，则这个三角形的

周长是（）

或不能确定

需A.11B.10C.1110D.

2

6.（3分）若分式工^的值为零，则x的值为（）

2x-6

A.3B.3或-3C.0D.-3

7.（3分）一元二次方程x2-x-1=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

整

料C.只有一个实数根D.没有实数根

8.（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x

人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）

A.x（x-1）=10B.x（x-D=10c.x（x+1）=10D.x（x+l）力。

22

9.（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设

该厂五、六月份平均每月的增长率为X,那么x满足的方程是（）

A.50（1+x）2=182B.50+50（1+x）+50（1+x）2=182

C.50（l+2x）=182D.50+50（1+x）+50（l+2x）2=182

10.（3分）已知xi，X2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且XI+X2=-2,

Xi«X2=l,则ba的值是（）

A.1.B.-lc.4D.-1

44

11.（3分）定义运算：a*b=a（1-b）.若a,b是方程x?-x+Ln=0（m<0）的

4

两根，则b*b-a*a的值为（）

A.0B.1C.2D.与m有关

12.（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2

的长方形，求这个长方形的两边长.设墙的对边长为xm,可得方程（）

A.x（13-x）=20B.x»13-x=20C.x（13-ix）=20D.x*13~2x.=20

222

二.填空题（每小题3分，共12分）

13.（3分）方程X2-3=0的根是.

14.（3分）当k=时，方程x?+（k+1）x+k=0有一根是0.

15.（3分）设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，则

m2+3m+n=.

16.（3分）写出以4,-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是.

三.解答题（本题有7小题，共52分）

17.（10分）解方程

(1)x2-4x-5=0

(2)3x(x-1)=2-2x.

18.（5分）试证明关于x的方程（a2-8a+20）x2+2ax+l=0无论a取何值，该方

程都是一元二次方程.

19.（6分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1.在

温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道.当

矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2?

前

侧

蔬菜种植区域

至

地

20.（8分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，

并且两次降价的百分率相同.

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次

降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少

件？

21.（6分）阅读下面的例题，

范例：解方程X?-|x|-2=0,

解：（1）当x20时，原方程化为x2-x-2=0,解得：x1=2,x2=-1（不合题意,

舍去）.

（2）当xVO时，原方程化为x2+x-2=0,解得：xi=-2,X2=l（不合题意，舍去）.

二原方程的根是xi=2,x2=-2

请参照例题解方程x2-|x-l|-1=0.

22.（8分）龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格

出售，每周可售出100件.为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存.经

调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件.另外，每周的房租等

固定成本共3000元.该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多

少元？

23.（9分）如图，在aABC中，ZB=90°,AB=6厘米，BC=8厘米.点P从A点

开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从C

点开始沿CB边向点B以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）.

（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，APBCi的面积等于是

△ABC的三分之一？

（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿

AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点C即停

止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？

（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿

AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停

止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分^ABC的周长与面积？若存在求出这

个时刻的t值，若不存在说明理由.

参考答案与试题解析

一.选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，

其中只有一个是正确的)

L(3分)把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是()

A.1,-3,10B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,3,2

【考点】一元二次方程的一般形式.

【专题】压轴题；推理填空题.

【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系

数、常数项.

【解答】解：由方程x(x+2)=5(x-2),得

x2-3x+10=0,

，a、b、c的值分别是1、-3、10；

故选A.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且aWO),在一般形式中ax?叫二次项，bx叫一次项，

c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

2.(3分)一元二次方程x2-6x-5=0配方可变形为()

A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=4

【考点】解一元二次方程-配方法.

【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32,这样方程左边就

为完全平方式.

【解答】解：x2-6x-5=0,

x2-6x=5,

x2-6x+9=5+9,

(x-3)2=14,

故选：A.

【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)：先把二次

系数变为1，即方程两边除以a,然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加

上一次项系数的一半.

3.（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+l）x+l=O有两个不相等的实

数根，那么k的取值范围是（）

A.k>-1B.k>-2且kWOC.k<-1D.k2-工且kWO

4444

【考点】根的判别式.

【专题】压轴题.

【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac>0,建立关于k

的不等式，求出k的取值范围.

【解答】解：由题意知，kWO,方程有两个不相等的实数根，

所以△>（）,A=b2-4ac=（2k+l）2-4k2=4k+l>0.

又••,方程是一元二次方程，，kWO,

/.k>-1且kWO.

4

故选B.

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△>（）=方程有两个不相等的实数根；

（2）△=（）0方程有两个相等的实数根；

（3）△<（）=方程没有实数根.

注意方程若为一元二次方程，则kWO.

22

4.（3分）用换元法解方程X,-12-「二—=3时，设X’一12,则原方程可

2

xX-12x

化为（）

A.y---3=0B.y-A-3=0C.y-上+3=0D.y-且+3=0

yyyy

【考点】换元法解分式方程.

【分析】把y=x2-12代入原方程,移项即可得到答案.

【解答】解：设X-2二丫,

X

则原方程可化为：y-l=3,即y-L-3=0,

yy

故选：A.

【点评】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比

较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化.

5.（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2-7x+12=0的两个根，则这个三角形的

周长是（）

A.11B.10C.11或10D.不能确定

【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质.

【专题】计算题；一次方程（组）及应用.

【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周

长.

【解答】解：方程分解得：（x-3）（x-4）=0.

解得:xi=3,X2=4,

若3为底，4为腰，三角形三边为3,4,4,周长为3+4+4=11；

若3为腰，4为底，三角形三边为3,3,4,周长为3+3+4=10.

故选C.

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本

题的关键.

2

6.（3分）若分式匚2的值为零，则x的值为（）

2x~6

A.3B.3或-3C.0D.-3

【考点】分式的值为零的条件；解一元二次方程-直接开平方法；解一元一次不

等式.

【专题】计算题.

【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0;（2）分母不为0.两个条件需

同时具备，缺一不可.据此可以解答本题.

【解答】解：由题意，可得x2-9=0且2x-6W0,

解得x=-3.

故选D.

【点评】本题主要考查分式的值为0的条件.由于该类型的题易忽略分母不为0

这个条件，所以常以这个知识点来命题.

7.(3分)一元二次方程x2-x-1=0的根的情况为()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【考点】根的判别式.

【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可.

【解答】解：b=-1,c=-1,

/.△=b2-4ac=(-1)2-4X1X(-1)=5>0,

...方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根

与△的关系是解答此题的关键.

8.(3分)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x

人参加这次聚会，则列出方程正确的是()

A.x(x-1)=10B.l).=10C.x(x+1)=10D.^±11=10

22

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】其他问题；压轴题.

【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x-1)次，x人共需握手

x(x-1)次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一

共握手：x(x-l)次;已知“所有人共握手io次”，据此可列出关于x的方程.

2

【解答】解：设X人参加这次聚会，则每个人需握手：X-1(次)；

依题意，可列方程为：巫二1_=10；

2

故选B.

【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每

两人都握了一次手"的条件，类似于球类比赛的单循环赛制.

9.(3分)某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设

该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是()

A.50(1+x)2=182B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182

C.50(l+2x)=182D.50+50(1+x)+50(l+2x)2=182

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】增长率问题；压轴题.

【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量义(1+增长率)，如

果该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么可以用x分别表示五、六月份的

产量，然后根据题意可得出方程.

【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2,

/.50+50(1+x)+50(1+x)2=182.

故选B.

【点评】增长率问题，一般形式为a(1+x)24,a为起始时间的有关数量，b

为终止时间的有关数量.

10.(3分)已知xi，X2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且XI+X2=-2,

X1»X2=1,则ba的值是()

A.1B.-1c.4D.-1

44

【考点】根与系数的关系.

【分析】根据根与系数的关系和已知X1+X2和X1・X2的值，可求a、b的值，再代

入求值即可.

【解答】解：Yxi，X2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，

Xi+X2=-a=-2,Xi*X2=-2b=l,

解得a=2,b=-—,

2

ba=(--)2=.L.

24

故选:A.

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结

合解题是一种经常使用的解题方法.

11.(3分)定义运算：a*b=a(1-b).若a,b是方程x?-x+Lm=O(m<0)的

两根，则b*b-a*a的值为()

A.0B.1C.2D.与m有关

【考点】根与系数的关系.

【专题】新定义.

【分析】(方法一)由根与系数的关系可找出a+b=l,根据新运算找出b*b-a*a=b

(1-b)-a(1-a),将其中的1替换成a+b,即可得出结论.

(方法二)由根与系数的关系可找出a+b=l,根据新运算找出b*b-a*a=(a-b)

(a+b-1),代入a+b=l即可得出结论.

【解答】解：(方法一),.'a,b是方程X?-x+Ln=O(m<0)的两根，

4

/.a+b=l,

b*b-a*a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=O.

(方法二)Va,b是方程x2-x+Ln=O(m<0)的两根，

4

a+b=l.

Vb*b-a*a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=(a2-b2)+(b-a)=(a+b)

(a-b)-(a-b)=(a-b)(a+b-1),a+b=l,

b*b-a*a=(a一b)(a+b-1)=0.

故选A.

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=L本题属于基础

题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之

和是关键.

12.（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2

的长方形，求这个长方形的两边长.设墙的对边长为xm,可得方程（）

A.x（13-x）=20B.x»13-x=20C.x（13-lx）=20D.x*13~2x.=20

222

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】几何图形问题.

【分析】根据铁丝网的总长度为13m,长方形的面积为20m2,来列出关于x的

方程，由题意可知，墙的对边为xm,则长方形的另一对边为则可利用

2

面积公式求出即可.

【解答】解：设墙的对边长为xm,可得方程：xx12二1=20.

2

故选:B.

【点评】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解

题关键.

二.填空题（每小题3分，共12分）

13.（3分）方程X?-3=0的根是x=±F.

【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

【专题】计算题；一次方程（组）及应用.

【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值.

【解答】解：方程整理得：X2=3,

开方得：x=±Vs>

故答案为：x=±«

【点评】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解

本题的关键.

14.（3分）当k=0时,方程x?+（k+1）x+k=0有一根是0.

【考点】一元二次方程的解.

【专题】计算题.

【分析】将x=0代入已知的方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到

满足题意k的值.

【解答】解：将x=0代入方程x?+(k+1)x+k=O得：k=0,

则k=0时，方程x?+(k+1)x+k=O有一根是0.

故答案为：0

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的

未知数的值.

15.(3分)设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，则

m2+3m+n=2016.

【考点】根与系数的关系.

【专题】计算题.

【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=-2m+2018,则m2+3m+n可化

简为2018+m+n,再根据根与系数的关系得到m+n=-2,然后利用整体代入的方

法计算.

【解答】解：•••m为一元二次方程x2+2x-2018=0的实数根，

.,.m2+2m-2018=0,BPm2=-2m+2018,

/.m2+3m+n=-2m+2018+3m+n=2018+m+n,

Vm,n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，

/.m+n=-2,

.,.m2+3m+n=2018-2=2016.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a

W0)的两根时，x1+x2=-b,X1X2=£.也考查了一元二次方程根的定义.

aa

16.(3分)写出以4,-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是上工

20=0.

【考点】根与系数的关系.

【专题】计算题.

【分析】先简单4与-5的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方

程.

【解答】解：V4+(-5)=-1,4X(-5)=-20,

二以4,-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程为x2+x-20=0.

故答案为x2+x-20=0.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根与系数的关系：若方

程两个为Xl,X2,则Xl+X2=~—>X1*X2=—.

aa

三.解答题(本题有7小题，共52分)

17.(10分)解方程

(1)x2-4x-5=0

(2)3x(x-1)=2-2x.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】(1)根据因式分解法可以解答本题；

(2)先移项，然后提公因式可以解答此方程.

【解答】解：(1)x2-4x-5=0

(x-5)(x+1)=0

/.x-5=0或x+l=0,

解得，X1=5,X2=-1；

(2)3x(x-1)=2-2x

3x(x-1)+2(x-1)=0

(3x+2)(x-1)=0

，3x+2=0或x-1=0,

解得，X2=l,

【点评】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是根据方程的特点,

选取合适的因式分解法解答方程.

18.(5分)试证明关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+l=0无论a取何值，该方

程都是一元二次方程.

【考点】一元二次方程的定义.

【专题】证明题.

【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2-8a+20不

等于0即可.

【解答】证明:Va2-8a+20=(a-4)2+4>4,

无论a取何值，a2-8a+2024,即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会

等于0,

二关于x的方程(a?-8a+20)x2+2ax+l=0,无论a取何值，该方程都是一元二次

方程.

【点评】一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)含未知数的项

的最高次数是2；(3)是整式方程；(4)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应

满足a#0.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若

是，再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(a#0)的形式，则这个方程就

为一元二次方程.

19.(6分)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1.在

温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道.当

矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2?

前

鲁蔬菜种植区域

地|

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】几何图形问题.

【分析】本题有多种解法.设的对象不同则列的一元二次方程不同.设矩形温室

的宽为xm,则长为2xm,根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解.

【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为xm,则长为2xm,

根据题意，得(x-2)•(2x-4)=288,

：.2(x-2)2=288,

(x-2)2=144,

Ax-2=±12,

解得：X1=-10（不合题意，舍去），X2=14,

所以x=14,2x=2X14=28.

答：当矩形温室的长为28m,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m

解法二：设矩形温室的长为xm,则宽为L<m.根据题意，得（lx-2）•（x-4）

22

=288.

解这个方程，得Xi=-20（不合题意，舍去），X2=28.

所以x=28,28=14.

22

答：当矩形温室的长为28m,宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2.

【点评】解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关

系列方程.

20.（8分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，

并且两次降价的百分率相同.

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次

降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少

件？

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.

【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为X%,根据“两次降价后的售价=原

价X（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可

得出结论；

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100

-m）件，根据"总利润=第一次降价后的单件利润X销售数量+第二次降价后的

单件利润X销售数量"，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出

结论.

【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为X%,

依题意得：400X（1-x%）2=324,

解得:x=10,或x=190（舍去）.

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100

-m）件，

第一次降价后的单件利润为：400X（1-10%）-300=60（元/件）；

第二次降价后的单件利润为：324-300=24（元/件）.

依题意得：60m+24X（100-m）=36m+2400»3210,

解得：m>22.5.

...m223.

答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元.第一次降价后至少要售出该种

商品23件.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关

键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关

于m的一元一次不等式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根

据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键.

21.（6分）阅读下面的例题，

范例:解方程x2-|x|-2=0,

解：当时，原方程化为解得：（不合题意，

（1）x»0x2-x-2=0,xi=2,x2=-1

舍去）.

当时，原方程化为2解得：（不合题意，舍去）.

（2）x<0x+x-2=0,xi=-2,x2=l

.••原方程的根是

xi=2,x2=-2

请参照例题解方程x2-x-1-1=0.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【专题】阅读型.

【分析】分为两种情况：（1）当x21时，原方程化为x2-x=0,（2）当xVl时,

原方程化为x2+x-2=0,求出方程的解即可.

【解答】解:x2-x-1-1=0,

（1）当x》l时，原方程化为x2-x=0,解得：X1=1,X2=0（不合题意，舍去）.

当时，原方程化为2解得：（不合题意，舍去）.

（2）x<lx+x-2=0,X1=-2,x2=l

故原方程的根是

X1=1,X2=-2.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值

符号.

22.（8分）龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格

出售，每周可售出100件.为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存.经

调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件.另外，每周的房租等

固定成本共3000元.该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多

少元？

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80-x）元，本题的等量关系

为：每件上衣的利润X每天售出数量-固定成本=8000.

【解答】解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80-x）元，

列方程得：（80-x）（100+22）-3000=8000,

5

解得:

Xi=30,X2=25

因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存，

所以x=30.

答：应将每件上衣的售价降低30元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据

题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

23.（9分）如图，在^ABC中，ZB=90°,AB=6厘米，BC=8厘米.点P从A点

开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从C

点开始沿CB边向点B以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）.

（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是

△ABC的三分之一？

（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿

AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点C即停

止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？

（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿

AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停

止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分^ABC的周长与面积？若存在求出这

个时刻的t值，若不存在说明理由.

【考点】三角形综合题.

【分析】（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是AABC的三分之一，根据题意

得：AP=t,BP=6-t,BQ=2t,由，△PBQ的面积等于是^ABC的三分之一列式可

得求出t的值；

（2）在Rt^PQB中，根据勾股定理列方程即可；

（3）分两种情况：①当PQ平分AABC面积时，计算出这时的t=5-JF，同时

计算这时PQ所截4ABC的周长是否平分；②当PQ平分4ABC周长时，计算出

这时的t=2,此时△PBQ的面积是否为△超c，计算即可.

【解答】解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是aABC的三分之一，

由题意得：AP=t,BP=6-t,BQ=2t,

±X2tX（6-t）=LXLX6X8,

232

解得：t=2或4,

，t=2或4符合题意，

答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是AABC的三分之一；

（2）在RtZ\PQB中，PQ2=BQ2+PB2,

，62=（2t）2+（6-t）2,

解得：ti=O（舍），t2=—,

5

答：丝秒钟后，P、Q相距6厘米；

5

(3)由题意得：PB=6-t,BQ=8-2t,

分两种情况：

①当PQ平分4ABC面积时，

SZ\PBQ=-^SAABC»

2

1(6-t)(8-2t)=1X1X8X6,

222

解得：ti=5+Jj^,t2=5-V13，

•..Q从C到B,一共需要8+2=4秒，5+V13>4.

，置=5+8不符合题意，舍去，

当t2=5-后时，AP=5-后，BP=6-(5-后)=1+后，BQ=8-2(5-后)

=2713-2,CQ=2(5-V13)=10-28，

PQ将AABC的周长分为两部分：

一部分为：AC+AP+CQ=10+5-V13+10-2/=25-3/，

另一部分：PB+BQ=l+VT^+24-2=3万-1，

25-3713^3713-1，

②当PQ平分4ABC周长时，

AP+AC+CQ=PB+BQ,

10+2t+t=6-t+8-2t,

t=2,

3

当t=2时，PB=6-

333

BQ=8-2X2=雪

33

.,.SAPBQ^XIIX20=^60^12,

2333

综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分^ABC的周长与面积.

【点评】本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的:

路线、路程、速度、时间，表示出时间为t时的路程是哪一条线段的长，根据已

知条件列等式或方程，解出即可.

人教版数学九年级上册

第22章二次函数测试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）若y=mx2+nx-p（其中m,n,p是常数）为二次函数，贝|（）

A.m,n,p均不为0B.m#0,且nWO

C.mWOD.mWO,或pWO

2.（3分）当ab>0时，y=ax?与y=ax+b的图象大致是（）

*专

*

Wc卡★

收

3.（3分）下列抛物线的顶点坐标为（0,1)的是()

A.y=x2+lB.y=x2-1C.y=(x+1)2D.y=(x-1)2

4.（3分）二次函数y=-x2+2x的图象可能是()

忠A.1B.

c/04

5.（3分）已知二次函数的图象经过（1,0）、(2,0)和(0,2)三点，则该函

卷数的解析式是（）

料

A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+2

6.（3分）若二次函数的图象的顶点坐标为（2,-1）,且抛物线过（0,3）,则

二次函数的解析式是（）

A.y=-（x-2）2-1B.y=-工（x-2）2-1

2

C.y=（x-2）2-1D.y」（x-2）2-1

2

7.（3分）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,

判断方程ax2+bx+c=0（a#0,a,b,c为常数）的一个解x的范围是（）

X6.176.186.196.20

y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04

A.6<x<6.17B.6.17<x<6,18

C.6,18<x<6.19D.6,19<x<6,20

8.（3分）二次函数y=2x2+3x-9的图象与x轴交点的横坐标是（）

A.W和3B.当口-3C.-3和2D.-W和-2

2222

9.（3分）在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环

的面积为ycm2,则y与x的函数关系式为（）

A.y=nx2-4B.y=R（2-x）2C.y=-（x2+4）D.y=-RX2+16n

10.（3分）已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=

-刍2+20t+l.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）

2

A.3sB.4sC.5sD.6s

二、填空题（每小题3分，共30分）

11.（3分）1+2x是二次函数，则m=.

12.（3分）二次函数y=（k+l）x2的图象如图所示，则k的取值范围为

13.（3分）抛物线y=x2+L的开口向,对称轴是.

4

14.（3分）将二次函数y=2x2+6x+3化为y=a（x-h）?+k的形式是

15.（3分）如图，函数y=-（x-h）2+k的图象，则其解析式为.

16.（3分）已知抛物线y=x2+（m-1）x-L的顶点的横坐标是2,则m的值

4

是.

17.（3分）已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m,0）,则代数式m?

-m+2011的值是.

18.（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象，则由图象可知，不等式ax2+bx+c

<0的解集是.

19.（3分）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，则

当x=元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大.

20.（3分）如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为8m,

两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m,

则校门的高为m（精确到0.1m,水泥建筑物厚度忽略不计）.

三、解答题（共40分）

21.（8分）已知当x=l时，二次函数有最大值5,且图象过点（0,-3）,求此

函数关系式.

22.（10分）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1,0）,B（3,

2).

（1）求m的值和抛物线的解析式;

（2）求不等式x2+bx+c>x+m的解集.（直接写出答案）

23.（10分）用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm,面积

为ycm2.

（1）求出y与x的函数关系式.

（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？

24.（12分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子

B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=_lx2+3x+l的一部分，如图所

5

示.

（1）求演员弹跳离地面的最大高度;

（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米,

问这次表演是否成功？请说明理由.

答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）若y=mx2+nx-p（其中m,n,p是常数）为二次函数，则（）

A.m,n,p均不为0B.mWO,且n#0

C.mWOD.mWO,或pWO

【考点】Hl：二次函数的定义.

【分析】根据二次函数的定义求解.

【解答】解：根据题意得当m#0时,y=mx2+nx-p（其中m,n,p是常数）为

二次函数.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常

数，aWO）的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a

是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.y=ax2+bx+c（a、b、c是常数,

aWO）也叫做二次函数的一般形式.

【考点】F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象.

【分析】根据题意，ab>0,即a、b同号，分a>0与aV0两种情况讨论，分析

选项可得答案.

【解答】解：根据题意，ab>0,即a、b同号，

当a>0时，b>0,y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；

此时，没有选项符合，

当aVO时，bVO,y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；

此时，D选项符合，

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图

象的关系.

3.（3分）下列抛物线的顶点坐标为（0,1）的是（）

A.y=x2+lB.y=x2-1C.y=（x+1）2D.y=（x-1）2

【考点】H3：二次函数的性质.

【分析】先根据二次函数的性质确定各抛物线的顶点坐标，然后进行判断.

【解答】解：抛物线y=x2+l的顶点坐标为（0,1）；

抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0,-1）；

抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（-1,0）；

抛物线y=（x-1）2的顶点坐标为（1,0）.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的顶点坐标

是（-上，4ac-b）,对称轴直线x=--L,二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的

2a4a2a

图象具有如下性质：当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c（a70）的开口向上，x

<-也时，y随x的增大而减小；x>一旦时，y随x的增大而增大；x=--L

2a2a2a

时，y取得最小值4ac-b24a,即顶点是抛物线的最低点.当a<0时，抛物

线y=ax?+bx+c（a#0）的开口向下，xV一'时，y随x的增大而增大；x>-

2a

旦时，y随x的增大而减小；x=一旦时，y取得