初高中数学衔接知识点专题七

--初高中数学衔接知识点专题（七）★专题七不等式【要点回顾】1．一元二次不等式及其解法[1]定义：形如为关于x的一元二次不等式．[2]一元二次不等式ax2bxc0(或0)与二次函数yax2bxc(a0)及一元二次方程ax2bxc0的关系(简称：三个二次)．（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：将二次项系数先化为正数；观测相应的二次函数图象．①如果图象与x轴有两个交点(x,0),(x,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根 1 2x,x(也可由根的判别式0来判断)．则1 2 b②如果图象与x轴只有一个交点(,0)，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根2abxx(也可由根的判别式0来判断)．则：x 2 2a ③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0来判断)．则： （ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：化二次项系数为正；若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x,x．那么“0”型的解为 1 2xx或xx(俗称两根之外)；“0”型的解为xxx(俗称两根之间)； 1 2 1 2 b 4acb2否则，对二次三项式进行配方，变成ax2bxca(x)2，结合完全平方式为非 2a 4a负数的性质求解．2．简单分式不等式的解法解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.3．含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为axb的形式．b[1]当a0时，不等式的解为：x；ab[2]当a0时，不等式的解为：x；a[3]当a0时，不等式化为：0xb；①若b0，则不等式的解是全体实数；②若b0，则不等式无解．【例题选讲】例1解下列不等式：(1)x2x60(2)(x1)(x2)(x2)(2x1)x30⑴解法一：原不等式可以化为：(x3)(x2)0，于是： 或x20x30 x3x3 或 x3或x2所以，原不等式的解是x3或x2．x20x2 x2解法二：解相应的方程x2x60得：x3,x2，所以原不等式的解是x3或x2．(2)解法一：原不等式可化为：x24x0，x240x(x4)0于是：x0 x0 或 x0或x4，所以原不等式的解是x0或x4．x40x40解法二：原不等式可化为：x24x0，即x24x0，解相应方程x24x0，得x0,x4，所以原不等式的解是x0或x4．说明解2一元二次不等式，实等式的解．例2解下列不等式：(1)x22x80(2)x24x40(3)x2x20例3已知对于任意实数x，kx22xk恒为正数，求实数k的取值范围． 2x3 1例4解下列不等式：(1)0(2)3x1 x2例5求关于x的不等式m2x22mxm的解．解：原不等式可化为：m(m2)xm21当m20即m2时，mx1，不等式的解为x；m当m20即m2时，mx1．10m2时，不等式的解为x；m1m0时，不等式的解为x；mm0时，不等式的解为全体实数．当m20即m2时，不等式无解． 1 1综上所述：当m0或m2时，不等式的解为x；当0m2时，不等式的解为x；当m0m m时，不等式的解为全体实数；当m2时，不等式无解．【巩固练习】1．解下列不等式：(1)2x2x0(2)x23x180(3)x2x3x1(4)x(x9)3(x3)2．解下列不等式： x1 3x1 2 2x2x1(1)0(2)2(3)1(4)0x1 2x1 x 2x13．解下列不等式： 1 1 1x22x2x22(2)x2x0 2 3 54．解关于x的不等式(m2)x1m．5．已知关于x的不等式mx2xm0的解是一切实数，求m的取值范围． x2 x36．若不等式1 的解是x3，求k的值．k k27．a取何值时，代数式(a1)22(a2)2的值不小于0？专题七不等式答案例2解：(1)不等式可化为(x2)(x4)0∴不等式的解是2x4 1 7不等式可化为(x2)20∴不等式的解是x2；(3)不等式可化为(x)20． 2 4 k0 k0 k0例3解：显然k0不合题意，于是： k1(2)24k20k210k1或k1例4分析：(1)类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．(2)注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 3 3 2x302x30x x 3解：(1)解法(一)原不等式可化为： 或 2或21x x10 x10 x1x1 23解法(二)原不等式可化为：(2x3)(x1)01x．2 1 3x5 3x5 (3x5)(x2)0(2)解：原不等式可化为：3000x2x2x2x205x2或x3说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．1 x20 x20(2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：3 或 x2 3(x2)13(x2)1【巩固练习】11．(1)x0(2)3x6(3)x1(4)x3；212．(1)x1或x1(2)x或x