湖南省长沙市观佳中学2023年高一数学理月考试卷含解析

湖南省长沙市观佳中学2023年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知两个正方形和不在同一平面内，平面平面，分别为的中点，若两个正方形的顶点都在球上，且球的表面积为，则的长为A．1

B．

C．2

D．参考答案：D2.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】要计算f（1）的值，根据f（x）是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．【解答】解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，又∵f（x）是定义在R上的奇函数∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3故选A【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．3.若函数,，且关于x的方程有2个不等实数根、，则高考资源网A． B． C．或 D．无法确定参考答案：B略4.下列四个几何体中,每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是()A.①②

B.①③C.③④

D.②④参考答案：D5.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是（）A．S正方体＞S球 B．S正方体＜S球 C．S正方体=S球 D．无法确定参考答案：A【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设出体积相等的球和正方体的体积，求出球的半径，正方体的棱长，再求它们的表面积，比较大小即可．【解答】解：设体积相等的球和正方体的体积为V，球的半径为r，正方体的棱长为a，，，正方体的表面积为：6a2=6，球的表面积：4πr2=（4π）×3×，∵因为6＞（4×，所以S球＜S正方体，故选：A．【点评】本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，数值大小比较，是基础题．6.已知函数，若实数是方程的解，且，则的值

A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不小于零参考答案：D7.单调增区间为（

）A．B．C．D．参考答案：B试题分析：因为，所以只要求的减区间，由，解得，故选择B．考点：三角函数的性质．8.已知f（x）=loga（8﹣3ax）在上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．（1，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先将函数f（x）=loga（8﹣3ax）转化为y=logat，t=8﹣3ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．【解答】解：令y=logat，t=8﹣3ax，（1）若0＜a＜1，则函y=logat，是减函数，由题设知t=8﹣3ax为增函数，需a＜0，故此时无解；（2）若a＞1，则函数y=logat是增函数，则t为减函数，需a＞0且8﹣3a×2＞0，可解得1＜a＜综上可得实数a的取值范围是（1，）．故选：B9.如果角的终边经过点，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知正方体内有一个内切球O，则在正方体内任取点，点M在球O内的概率是（

）．

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调递增区间是

▲

.参考答案：略12.己知函数，有以下结论：①f(x)的图象关于直线y轴对称

②f(x)在区间上单调递减③f(x)的一个对称中心是

④f(x)的最大值为则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.参考答案：②④【分析】根据三角函数性质，逐一判断选项得到答案.【详解】，根据图像知：①的图象关于直线轴对称，错误②在区间上单调递减，正确③的一个对称中心是

，错误④的最大值为，正确故答案为②④【点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用.13.如果指数函数是上的减函数，则的取值范围是________.参考答案：(1,2)

14.抛物线形拱桥，桥顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降了1.125米时，水面宽为．参考答案：5m【考点】抛物线的简单性质．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3.125代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（﹣2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入D（x0，﹣3.125）得x0=2.5，故水面宽为5m故答案为：5m．15.以为圆心半径为2.5的圆外接于,且,则两个面积比

.参考答案：;

16.（5分）已知集合A={x|x≤﹣1或x≥3}，B={x|a＜x＜4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是

．参考答案：a≤﹣1考点： 并集及其运算．专题： 集合．分析： 根据A，B，以及两集合的并集，求出a的范围即可．解答： ∵集合A={x|x≤﹣1或x≥3}，B={x|a＜x＜4}，且A∪B=R，∴a≤﹣1，故答案为：a≤﹣1．点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．17.知tan，tan是方程2x2+3x-7=0的两个实数根，则tan()的值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题15分）在数列中，（）。从数列中选出（）项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列，例如：数列，，，为的一个4项子列。（1）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列；（2）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列。证明：的公差满足；（3）如果为数列的一个（）项子列，且为等比数列。证明：。参考答案：（1）答案不唯一.如3项子列，，；（2）证明：由题意，所以.若，由为的一个5项子列，得，所以.因为，，所以，即.这与矛盾.

所以.

所以，因为，，所以，即，

综上，得.（3）证明：由题意，设的公比为，则.因为为的一个项子列，所以为正有理数，且，.设，且互质，）.当时，因为，所以，所以.

当时，因为是中的项，且互质，所以，所以.

因为，，所以.综上，.19.已知函数（其中a,b为常数，且a>0,a≠1）的图像经过点A(-2,0),B(1,2)（1）求的解析式（2）若函数,求的值域参考答案：（1）有题意知；

-----------2分∴，∴--------5分∴--------6分（2）

设，则--------8分∴，函数g(x)在上单调递减，在上单调递增。--------11分

∴时，有最小值，--------12分时，有最大值-------13分∴的值域为-----------14分20.已知ABCD，设，，N为平面ABCD内一点，且.（Ⅰ）用向量，表示；（Ⅱ）若，，，求.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可；（Ⅱ）根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）.（Ⅱ）.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质和定义，考查了平面向量加法的几何意义，考查了平面向量基本定理的应用，考查了数学运算能力.21.已知以点为圆心的圆经过点和，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设点在圆上，求的面积的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）依题意所求圆的圆心为的垂直平分线和直线的交点，中点为斜率为1，垂直平分线方程为即

………………2分联立解得即圆心，半径

…6分所求圆方程为

………………7分（Ⅱ），………………8分圆心到的距离为

…………9分到距离的最大值为

………11分所以面积的最大值为

…12分略22.如图，在五面体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.参考答案：（1）证明：取的中点，连接，则，∵∥平面，平面，平面平面，∴∥，即∥.

∵∴四边形是平行四边形.

∴∥，.在Rt△中，，又，得.∴.

在△中，，，，∴，∴.

∴，即.∵四边形是正方形，∴.

∵，平面，平面，∴平面.

（2）连接，与相交于点，则点是的中点，取的中点，连接，，则∥，.由（1）知∥，且，∴∥，且.∴四边形是平行四边形.∴∥，且

由（1）知平面，又平面，∴.

∵，平面，平面，∴平面.

∴平面.