相似三角形判定全

27.2.1相似三角形的判定(1)第一页，共56页。第一页，共56页。27.2.1相似三角形的判定(1)第二页，共56页。第二页，共56页。ABCDEF1.对应角_______,对应边——————的两个三角形,叫做相似三角形相等成比例2.相似三角形的———————,各对应边——————。对应角相等成比例如果△ABC∽△DEF,

那么∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F回顾第三页，共56页。第三页，共56页。１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？相似比是多少？300450回顾第四页，共56页。第四页，共56页。A′B′C′1061251°82°它们是相似三角形吗？为什么？A6BC5382°47°6回顾第五页，共56页。第五页，共56页。如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？∠A=∠A,∠B=∠ADE,∠C=∠AED.边呢？ADEBC==DE∥BC理解第六页，共56页。第六页，共56页。如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E,△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.相似ABCDE证明:在△ADE与△ABC中∠A=∠A∵DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C过E作EF//AB交BC于F可证DBFE是平行四边形F△ADE≌△EFC∴DE=BF,DE=FC∴△ADE∽△ABC结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似探索1第七页，共56页。第七页，共56页。2.如图,DE//BC,△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.相似ABCDE证明:在△ADE与△ABC中∠A=∠A∵DE//BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C过E作EF//AB交BC于F∵DBFE是平行四边形F∴DE=BF定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似∴△ADE∽△ABC探索2第八页，共56页。第八页，共56页。平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交,所得的三角形与原三角形________.相似“A”型“X”型（图2）DEOBCABCDE（图1）理解第九页，共56页。第九页，共56页。请写出它们的对应边的比例式理解第十页，共56页。第十页，共56页。已知：如图，AB∥EF∥CD，3图中共有____对相似三角形。△EOF∽△COD

AB∥EF△AOB∽△FOEAB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC理解第十一页，共56页。第十一页，共56页。

如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.解：与△ABC相似的三角形有3个:

△AＤＥ△ＧＦＣ△ＧＯＥABCDEFGO运用4第十二页，共56页。第十二页，共56页。如图,已知DE∥BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=450,∠ACB=400.(1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长.（2）ADBEC解:(1)DE∥BC△ADE∽△ABC∠AED=∠C=400.△ADE∽△ABC运用在△ADE中,∠ADE=1800-400-450=950.第十三页，共56页。第十三页，共56页。如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，（1）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____。ABCDEFGHI△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1：4运用第十四页，共56页。第十四页，共56页。

相似三角形的定义

相似比的性质

相似三角形判定的预备定理小结第十五页，共56页。第十五页，共56页。27.2.1相似三角形(2)第十六页，共56页。第十六页，共56页。1.对应角_______,对应边——————的两个三角形,叫做相似三角形.相等成比例2.相似三角形的———————,各对应边——————。对应角相等成比例回顾3.如何识别两三角形是否相似?

∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。DEOBCABCDE思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?第十七页，共56页。第十七页，共56页。思考是否有△ABC∽△A’B’C’？ABCC’B’A’三边对应成比例第十八页，共56页。第十八页，共56页。已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.求证:△ABC∽△A`B`C`证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,A`B`C`ABCDE过点D作DE∥BC交AC于点E. 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.因此DE=B`C`,EA=C`A`.∴△A`B`C`∽△ABC ∴△ADE≌△A`B`C`第十九页，共56页。第十九页，共56页。理解例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：(1)AB＝6cm，

BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．

(2)AB=12cm，BC=15cm，AC＝24cmA’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm第二十页，共56页。第二十页，共56页。运用2试说明∠BAD=∠CAE.ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC即∠BAD=∠CAE第二十一页，共56页。第二十一页，共56页。运用3答案是2:1第二十二页，共56页。第二十二页，共56页。理解4:2=5:x=6:y4:x=5:2=6:y4:x=5:y=6:2要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?4562第二十三页，共56页。第二十三页，共56页。

平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;三边对应成比例的,两三角形相似.相似三角形的判定方法小结第二十四页，共56页。第二十四页，共56页。27.2.1相似三角形(3)第二十五页，共56页。第二十五页，共56页。判断两个三角形相似,你有哪些方法方法1：通过定义（不常用）方法2：通过平行线。方法3：三边对应成比例。第二十六页，共56页。第二十六页，共56页。如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？

此时，如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？

E=？第二十七页，共56页。第二十七页，共56页。已知:如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A`,∠A`,A`B`:AB=A`C`:AC.求证:△ABC∽△A`B`C`A`B`C`ABCED证明:在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结DE.∠A=∠A`,这样,△ADE≌△A`B`C`.∵A`B`:AB=A`C`:AC∴AD:AB=AE:AC∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴△A`B`C`∽△ABC第二十八页，共56页。第二十八页，共56页。相似三角形的识别∴△ABC∽△如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似

。(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)ABCA′B′C′第二十九页，共56页。第二十九页，共56页。想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？ABCDEF第三十页，共56页。第三十页，共56页。1、已知△ABC和△A’B’C’,根据下列条件判断它们是否相似.(2)∠A＝45°，AB=12cm，AC=15cm

∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;第三十一页，共56页。第三十一页，共56页。

∵==1.52、判断图中△AEB和△FEC是否相似？解：∴△AEB∽△FEC

∵∠1＝∠2＝＝1.5∴＝54303645EAFCB12第三十二页，共56页。第三十二页，共56页。3.在正方形ABCD中，E为AD上的中点,F是AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF与△DCE是否相似?说明理由.第三十三页，共56页。第三十三页，共56页。4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高，试说明△ADE∽△ABC。ABCDE第三十四页，共56页。第三十四页，共56页。

平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;

三边对应成比例,两三角形相似.相似三角形的判定方法

两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.第三十五页，共56页。第三十五页，共56页。27.2.1相似三角形的判定(4)第三十六页，共56页。第三十六页，共56页。这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？三个内角对应相等。观察你与老师的直角三角尺

,会相似吗？(30O

与60O)

思考相似第三十七页，共56页。第三十七页，共56页。画△

，使三个角分别为60°，45°,75°。①同桌分别量出两个三角形三边的长度；②同桌这两个三角形相似吗?即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．相似一定需三个角吗？如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．相似三角形的识别方法：思考

如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？

观察第三十八页，共56页。第三十八页，共56页。CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用数学符号表示：相似三角形的识别(两个角分别对应相等的两个三角形相似)第三十九页，共56页。第三十九页，共56页。例1如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．

C'B'A'CBA

例题欣赏解：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），∴△ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）

第四十页，共56页。第四十页，共56页。例2.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.

AEFBCD用一用例题分析解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C.（两直线平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）第四十一页，共56页。第四十一页，共56页。例3.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA·PB=PC·PDABCDPO证明:连接AC、BD∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角⌒∴∠A=∠D同理:∠C=∠B∴△PAC∽△PDB即PA·PB=PC·PD第四十二页，共56页。第四十二页，共56页。ABCDE例4.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°则AD·AB=AE·AC第四十三页，共56页。第四十三页，共56页。找一找FABCDGE图1（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。（2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。答：相似三角形有△ADE∽△AFG∽△ABC。答：相似三角形有△AOB∽△FOE∽△DOC。AB图2CFDEO（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？∠B=180°－（∠A+∠C)=180°－（80°+60°)=40°第四十四页，共56页。第四十四页，共56页。CADB3.找出图中所有的相似三角形巩固练习△ACD∽△CBD∽△ABC你能写出对应边的比例式吗?第四十五页，共56页。第四十五页，共56页。ABDC图3填一填（1）如图3，点D在AB上，当∠

＝∠

时，

△ACD∽△ABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件

，就可以使△ADE与原△ABC相似。●ABCE图4∠

ACD∠

B

(或者∠

ACB＝∠

ADB)DE//BCD(或者∠

C＝∠

ADE)(或者∠

B＝∠

ADE)D第四十六页，共56页。第四十六页，共56页。探索与思考如图，在Rt△ABC的一边AB上有一点P(点P与点A，B不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，想一想满足条件的直线共有多少条？试画出图形并简要说明理由.思考：若三角形为任意三角形，点P为三角形任意一边上的点，则这样的直线有几条？我们来试一试…第四十七页，共56页。第四十七页，共56页。EABDC解：∵∠A=∠A∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2AC=8∴AB=43.已知如图，∠ABD=∠CAD=2AC=8，求ABABCD第四十八页，共56页。第四十八页，共56页。DBCA184√2

12√2

5、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

若AB=6AD=2则AC=BD=BC=第四十九页，共56页。第四十九页，共56页。5、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于DABDCEF问：若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB:AC=DF:BF第五十页，共56页。第五十页，共56页。泰勒斯测量金字塔高度的示意图:

AA′BCB′C′CBAC′B′A′如果人体高度AC＝1.7米，人影长BC＝2.2米，而B′C′＝176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？可证△ABC∽△A’B’C’即所以A’C’=1.7x176÷2.2=136m第五十一页，共5