高数和现代知识点大全

【高等数学】记住特殊函数xsinx、xsin（1/x）第一章函数极限连续函数的基本性质奇偶周期有限判定闭区间函数有界的方法连续函数有界在闭区间存在两最值的函数有界有界函数和、积有界函数极限的求法初等化简（分子分母同乘、提公因式）直接计算出不为零的因式等价无穷小罗比达法则佩亚诺余项泰勒公式夹逼定理重要极限导数定义数列极限的求法单调有界定理（判定单调时相减或相除）夹逼定理积分和式求极限数列极限存在的充要条件（奇偶子列极限存在且相等）柯西收敛准则零点问题的求法连续函数：零点定理和介值定理、超越方程的对数变形和对数方程的指数变形导函数：导函数零点数定理复合函数：构造法+微分方程法、罗尔定理定积分与变限积分：化成变限积分看成变限积分的函数，用微分学中的办法处理利用积分中值定理闭区间函数最值的求法求出闭区间内一切驻点和不可导点的函数值求出边界上的最值，两者比较渐近线的种类水平/斜铅直不等式的证明单调性方法最值的方法用中值定理（拉格朗日、柯西）用拉格朗日余项的泰勒公式第三章一元函数积分学两类反常积分的识别和计算奇点在区间端点（比较容易识别）奇点在区间内部（易被忽略！！）定积分在物理上的应用建立坐标系根据公式建立所求量的微元（关键）确定上下限计算定积分积分不等式的证明将一边视为变限积分用积分不等式（被积函数比较）一边有积分号一边没有的化归到一样不同区间的化归同一区间第五章多元函数微分学求二重极限的方法夹逼定理等价无穷小代换简化分母（比如x^2+y^2->x^2等）讨论二元函数的可微性利用可微的定义可微的必要条件（必可导）可微的充分条件（一阶导连续）由一个方程确定的隐函数的偏导数利用隐函数的求导公式对方程两端求导解出偏导数（方程组）对函数两端求微分（方程组）极值无条件极值极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点二元函数取极值的充分条件（A、B、C）条件极值拉格朗日乘子法（可用于多约束条件）闭区域二元函数的最值问题区域内是无条件极值问题边界上是条件极值问题第六章多元函数积分学二重积分的计算画出积分域，观察是否有对称性，并观察被积函数是否存在奇偶性，利用其化简选择坐标系选择积分次序确定积分限并计算类次积分交换积分顺序确定积分区域并画出草图结合图像改变积分次序，确定积分域累次积分的计算直接计算不方便则改变积分顺序任然不行则换坐标系计算三重积分考察对称性和奇偶性，化简选择合适坐标系化为累次积分计算（二维）对弧长的曲线积分利用公式直接计算参数方程直角坐标系极坐标系利用曲线关于坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性利用曲线关于y=x的对称性（二维）对坐标的线积分利用参数方程化为一元积分直接计算用格林公式（一定要满足公式适用的条件）补用格林公式（补的路径也要满足公式适用条件）利用线积分与路径无关（三维）曲线积分弧长：参数方程直接计算坐标：斯托克斯公式化为面积分对dS的曲面积分（求面质量，无方向）Z=z(x,y)，dS=√1+z'2+利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性利用曲面方程中变量的交换不变性对dxdy/dydz/dzdx的曲面积分（求流量，有方向）若仅求dxdy或其他上的积分，则被积函数中的z用z(x,y)表示，直接转化为平面积分，积分域为曲面在xOy面上的投影（这是常见的情况）一般第二种情况都转化到利（补）用高斯公式上来（注意高斯公式适用条件，区域内一阶导连续）（这也是常见情况）利用公式将第二类曲面积分转换为对dS的曲面积分，dydz=cosα*dS,dzdx=cosβ*dS,dxdy=cosγ*dS转换到对dS后，再转换到对dxdy的平面积分；或者直接利用公式将对dxdy,dydz和dzdx的曲面积分，转化到只在dxdy上的平面积分第七章无穷级数常数项级数敛散性正项级数敛散性判别比较法（p级数、等比级数）比较法极限形式比值法根植法基本定理：级数收敛等价于部分和数列有界利用性质：收敛级数加括号仍收敛，级数加括号后发散原级数定发散收敛必要条件：一般项趋于零交错级数莱布尼兹判别法任意项级数绝对收敛的级数一定收敛条件收敛的级数的所有正项或负向构成的级数发散利用判定数列（有限和数列）极限存在方法夹逼定理；单调有界原理；奇数列、偶数列是否相等；幂级数求和函数和收敛区间收敛半径的求法直接法比值法根值法间接法（用马克劳林公式）考察收敛区间端点级数敛散性化归常数项级数敛散性判定傅里叶级数第八章微分方程【线性代数】第五章特征值和特征向量求数值矩阵的特征值和特征向量求抽象矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量的逆问题证明两个矩阵有相同的特征值证明有相同的特征方程即可相似的判定特征值相同（行列式、迹）特征方程相等方阵对角化的判定有n个线性无关的特征向量有n个不同特征值或者特征值的重数和对应的线性无关的特征向量个数相等上第六章二次型化二次型为标准形求出二次型矩阵的特征根和特征向量（取特征向量时有意使其正交，减少计算量）将重特征根正交化，将特征向量单位化，构成正交矩阵Q做变换x=Qy化二次型为标准形已知含参数的二次型及正交