四川省成都市高一(下)期中数学试卷

2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共分）1.sin15cos15°=°（）A.B.C.D.2.不等式3+5x-2x2＞0的解集为（）（-3，）（-，3）

B.（-∞，-3）∪（，+∞）D.（-∞，-）∪（3，+∞）3.已知S为等差数列{a}的前n项和，若a+a=10，则S等于（）nn4912A.30B.45C.60D.1204.cosπ+α=已知，则（）（）A.B.C.D.5.若，，则必然有（）A.B.C.D.6.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形必然是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角D.等腰或直角三角形7.如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC=60m，塔顶B的仰角α=45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（）A.mB.mC.mD.m8.已知x，y∈（0，+），且满足，那么x+4y的最小值为（）A.B.C.D.9.已知{an}是等比数列，且，则a9=（）A.2B.±2C.8D.10.tan2α=已知，则（）A.B.C.D.11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则最大值为（）A.2B.C.2D.412.给出以下三个结论：Sn=3n+1nN*），则其通项公式为an=23n-1；①若数列{an}n的前项和为（∈?第1页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷②已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0关于一的确数x恒成立，又存在x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为2；③若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy-34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[，+∞）．其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）ABCabcABCa=3c=1b13.在△中，，，分别是角，，的对边，且，，，则的值为______．14.数列}中，a=1，a=，则数列{a}的通项公式a=______．{an1n+1nn15.已知，且，则cos2α=．16.已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且关于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），an=（n∈N*），bn=（n∈N*），观察以下结论：①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．以上命题正确的选项是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（1）求a，c的值；（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A?B，求实数m的取值范围．18.已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC-sinBsinC=．1）求角A；2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4=24，S7=63．1）求数列{an}的通项公式；2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．第2页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷20.已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．若f（x）=?（1）求f（x）递加区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．21.设数列{a}的前n项和为S，a=1，且对任意正整数n，满足2a+S-2=0．nn1n+1n（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．.{annnnn+111222.已知数列}，{b}满足：a+b=1，b=，且a，b是函数（fx）=16x-16x+3的零点（a1＜b1）．（1）求a1，b1，b2；（2）设cn=，求证：数列{cn}是等差数列，并求bn的通项公式；（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4++anan+1，不等式4aSn＜bn恒建马上，求实数a的取值范围．第3页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷答案和解析【答案】A【解析】解：由于sin2α=2sinαcos，α所以sin15°cos15°=sin30°=．应选：A．由正弦的倍角公式变形即可解之．此题观察正弦的倍角公式．【答案】C【解析】解：不等式3+5x-2x2＞0可化为2x2-5x-3＜0，即（2x+1）（x-3）＜0，解得-＜x＜3，所以原不等式的解集为（-，3）．应选：C．把不等式化为一般形式，求出解集即可．此题观察了一元二次不等式的解法问题，是基础题目．【答案】C【解析】【解析】此题观察了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：．应选：C．【答案】A【解析】解：∵，cosα=，cos（π+）α=-cosα=-．应选：A．利用引诱公式先求出cosα=，cos（π+α）=-cosα，由此能求出结果．此题观察三角函数值的求法，观察引诱公式等基础知识，观察运算求解能力，观察函数与方程思想，是基础题．【答案】D第4页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷【解析】【解析】此题观察不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不如令a=3，b=1，c=-3，d=-1，则，，∴A、B不正确；，=-，∴C不正确，D正确．解法二：c＜d＜0，-c＞-d＞0，∵a＞b＞0，-ac＞-bd，∴，∴．应选：D．【答案】A【解析】解：∵，又∵cosC=，∴=，整理可得：b2=c2，∴解得：b=c．即三角形必然为等腰三角形．应选：A．由已知及余弦定理即可解得b=c，从而得解．此题主要观察了余弦定理在解三角形中的应用，观察了转变思想，属于基础题．【答案】B【解析】解：由题意得，∠BAC=45°-15°=30°，∠ABC=α=45°，且AC=60m，在△ABC中，由正弦定理得，，即，解得BC=30（m），应选：B．由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC的长度．此题观察了正弦定理在测量长度中的应用，要点是将测量出的长度和角度进行几何化，转变成解三角形问题．【答案】B第5页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷【解析】【解析】此题观察了“乘1法”与基本不等式的性质，观察了推理能力与计算能力，属于基础题．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y∈（0，+），且满足，那么x+4y=（x+4y）=3+≥3+2=3+2，当且仅当x=2y=1+时取等号．∴最小值为3+2．应选：B．【答案】A【解析】解：在等比数列{an}中，由，得，又4a3+a7=2，联立解得：．则q2=，∴．应选：A．由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9．此题观察等比数列的通项公式，观察了等比数列的性质，是基础的计算题．【答案】C【解析】解：∵，∴，化简得4sin2α=3cos2，α∴，应选：C．将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．此题主要观察了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，观察了计算能力和转变思想，属于基础题．【答案】C【解析】解：由已知可得：a×=，可得2bcsinA=a2=b2+c2-2bccosA，∴=2sinA+2cosA=2sin≤2，当且仅当A=时取等号．应选：C．第6页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷由已知可得：a×=，可得2bcsinA=a222，=2sinA+2cosA=2sin，即可得出．此题观察了三角形面积计算公式、余弦定理、三角函数的单调性与值域，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．【答案】C【解析】解：关于①，数列{an}的前n项和为Sn=3n+1（n∈N*），n-1Sn-1=3+1（n≥2），an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2?3n-1（n≥2），又a1=S1=4，an∴通项公式为=，①错误；关于②，a＞b时，一元二次不等式ax2+2x+b≥0x关于一的确数恒成立，∴，∴a＞0，且ab≥1；2又存在x0∈R，使ax0+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1；∴==＞0；∴===，令a2+=t，则t＞2，∴===（t-2）+4+≥2+4=8，当且仅当t=4时“=”成立；∴的最小值为8，即的最小值为=2，②正确；关于③，正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4，2∴不等式（x+2y）a+2a+2xy≥34恒成立，2即（4xy-4）a+2a+2xy≥34恒成立，变形可得2xy（2a22+1）≥4a-2a+34恒成立，即xy≥恒成立，∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2，∴4xy=x+2y+4≥4+2，2--2≥0即?，解不等式可得≥，或≤-（舍负）可得xy≥2，要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简可得2a2+a-15≥0，即（a+3）（2a-5）≥0，解得a≤-3或a≥，第7页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷∴实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[，+∞），③正确．综上，正确的命题是②③．应选：C．①依据数列的前n项和求出通项公式，判断①错误；②依照一元二次不等式恒成立以及特称命题求得ab的关系，再利用换元法求出的最小值，判断②正确；③利用基本不等式求出xy的最小值，再转变成关于a的不等式，求出实数a的取值范围，判断③正确．此题观察了命题真假的判断问题，也观察了基本不等式的应用，恒成立问题，以及变形并求最值的应用问题，是难题．【答案】【解析】解：a=3，c=1，，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=9+1-2×3×1×=7，可得b=．故答案为：．由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入计算即可获取所求值．此题观察余弦定理的运用，观察运算能力，属于基础题．【答案】【解析】解：由a1=1，an+1=，两边取倒数可得：，即，∴数列是等差数列，首项为1，公差为．∴=1+（n-1），解得．故答案为：．由a1=1，，两边取倒数可得：，即，再利用等差数列的通项公式即可得出．此题观察了数列递推关系、等差数列的通项公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．【答案】【解析】解：∵sin（α-）=（sinα-cosα）=，sinα-cosα=，∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=，即2sinαcosα=＞0，第8页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷∵，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cos＞α0，2∴（sinα+cos）α=1+2sinαcosα=，sinα+cosα=，22则cos2α=cosα-sinα=（cosα+sin）α（cosα-sinα）=×（-）=．故答案为：．将已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特别角的三角函数值化简，求出sinα-cosα的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求2sinαcos的α值出大于0，由α的范围，获取sinα大于0，cosα大于0，利用完好平方公式求出sinα+cosα的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，将各自的值代入即可求出值．此题观察了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完好平方公式的运用，熟练掌握公式是解此题的要点，属于基础题．【答案】②③④【解析】解：（1）由于对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，2）令x=y=-1，得f（-1）=0；令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），故f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数．故②正确，（3）若，则an-an-1=-===为常数，故数列{an}为等差数列，故③正确，④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），∴当x=y时，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），则f（22）=4f（2）=8=2×22，（3）=22f（2）+2f（22）=2333，f2+2×═3×22则f（2n）=n×2n，若，则====2为常数，则数列{bn}为等比数列，故④正确，故答案为：②③④．利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．此题主要观察抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决此题的要点．17.【答案】解：（1）∵不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，第9页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷∴1、3是方程ax2+x+c=0的两根，且a＜0，所以；解得a=-，c=-；2）由（1）得a=-，c=-，所以不等式ax2+2x+4c＞0化为-x2+2x-3＞0，解得2＜x＜6，A={x|2＜x＜6}，又3ax+cm＜0，即为x+m＞0，解得x＞-m，B={x|x＞-m}，∵AB，∴{x|2＜x＜6}{x|x＞-m}，-m≤2，即m≥-2，m的取值范围是[2，+∞）．【解析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c＞0，再依照真子集的定义求出m的取值范围．此题观察了一元二次不等式和对应方程的应用问题，也观察了真子集的定义与应用问题，是中档题目．【答案】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC-sinBsinC=，cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，B+C=，A+B+C=π，∴A=；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bc?cosA，得（2）2=（b+c）2-2bc-2bc?cos，把b+c=4代入得：12=16-2bc+bc，整理得：bc=4，则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．【解析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完好平方公式变形，将a与b+c的值代入求出第10页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题观察了余弦定理，三角形面积公式，以及特别角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解此题的要点．19.【答案】解：（1）∵{an}为等差数列，S4=24，S7=63．∴，解得，n∴a=2n+1．（2）∵，∴．【解析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用等比数列的求和公式即可得出．此题观察了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，观察了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）f（x）=?===，（3分）由得：，∴f（x）的递加区间为（6分）（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA≠0，∴（8分）∵0＜B＜π，∴，∴，∴，，又∵，∴，故函数f（A）的取值范围是（12分）【解析】（1）求出函数的解析式，依照正弦函数的性质求出函数的递加区间即可；（2）依照正弦定理获取B的值，求出f（A）的解析式，依照三角函数的性质求出f（A）的范围即可．此题观察了三角函数的性质，观察正弦定理以及函数的单调性问题，是一道中档题．【答案】解：（1）∵2an+1+Sn-2=0，∴当n≥2时，2an+Sn-1-2=0，两式相减得2an+1-2an+Sn-Sn-1=0，即2an+1-2an+an=0，∴；第11页，共13页2020年四川省成都市高一(下)期中数学试卷又当n=1时，，，即，{an1∴}是以首项a=1，公比的等比数列，∴数列{a}的通项公式为；n（2）由（1）知，，则，①T=+++++，②n①-②得=，所以，数列{bn}的前n项和为．【解析】此题观察数列通项的求法，注意运用数列递推式，观察等比数列的通项公式和求