【名师导学】数学(江苏理,提高版)大一轮复习练习：4.3两角和与差三角函数(含答案解析)

第22课两角和与差的三角函数【自主学习】(本课时对应学生用书第57~59页)自主学习回归教材1.(必修4P115练习1改编)已知tanα=4，tanβ=3，那么tan(α+β)=.7【答案】-11tantan437【分析】由题意得tan(α+β)=1-tan?tan=1-12=-11.2.(必修4P109习题4改编)计算：sin75·cos°30-°sin15·sin°150=°.2【答案】22【分析】原式=sin75°cos30°-cos75°sin30=sin(75°°-30°)=sin45°=2.2π33π3，π5π，，α∈2，cosβ=-，β∈2，那么3.(必修4P108例1改编)已知sinα=sin(α+)=β.-645【答案】152π533π3，π1-sin25π，2，得cosα=-=-3，β∈2，【分析】由sinα=，α∈.由cosβ=-1-cos24得sinβ=-=-5，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsin2-35-4-645-353×5=15.β=×+-π3π4.(必修4P118习题5改编)已知tan6=7，tan6【答案】1

2=5，那么tan(α+β)=.tan-πtanπ32ππ6675-πtanπ1-32-61-tan【分析】tan(α+β)=tan6=66=75=1.sin70cos150sin805.(必修4P131第8题改编)计算：cos70-sin150sin80=.【答案】2-3【分析】sin7=sin(15°°-8°)=sin15cos°8°-cos15°sin8，°cos7°=cos(15°-8°)=cos15°cos8°+sin15°sin8，°1-tan3003.所以原式=tan15°=tan(45°-30°)=10tan30=2-两角和(差)的三角函数公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ；tantan(3)tan(α±β)=1tantan.注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用b，sina2b2a.asinx+bcosx=a2b2cossin(x+φ)，此中φ知足a2b2注意几种常有的角的变换α=(α+β)-β=(α-β)+β；(2)2α=(α+β)+(α-β)；(3)2α=(α+β)-(β-α)；(4)2α+β=α+(β).【重点导学】重点导学各个击破利用两角和(差)公式进行化简、求值23例134，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.已知sinα=，cosβ=-2【解答】由于sinα=3，α为第二象限角，5所以cosα=-3.3又由于cosβ=-4，β为第二象限角，7所以sinβ=4，53273527-所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3×4+3×4=12.目标角与已知角之间的变换31例2已知α，β均为锐角，且sinα=5，tan(α-β)=-3.求sin(α-β)的值；求cosβ的值.【解答】(1)由于α，β∈1又tan(α-β)=-3<0，π所以-2<α-β<0，

πππ，2，所以-22，<α-β<10所以sin(α-β)=-10.310(2)由(1)可得cos(α-β)=10.35由于α为锐角，sinα=，4所以cosα=5，431031091010所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=5×10+5×50.=35变式已知α，β均为锐角，且5，cos(α+β)=-13，求sinβ的值.sinα=34【解答】由于55sinα=，α为锐角，所以cosα=，5又α，β均为锐角，cos(α+β)=-13，12所以0<α+β<，π所以sin(α+β)=13，1245363-135-13565所以sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=××=.例3化简：tan(18°-x)tan(12+x)+°3[tan(18-x)+tan(12°+x)]=°.【答案】1tan(180-x)tan(120x)3【分析】由于tan[(18-°x)+(12°+x)]=1-tan(180-x)tan(120x)=tan30=°3，3所以tan(18°-x)+tan(12+x)=°3[1-tan(18-x)°tan(12·+x)]°，3于是原式=tan(18°-x)tan(12+x)+°3×3[1-tan(18-x)°tan(12·+x)]=1°.变式在非直角三角形ABC中，若角A，B，C成等差数列，且tanAtanC=2+3，求tanA的值.【思想指引】先确立角B的大小，再由角B的正切值结构tanA与tanC的一个方程，联立条件tanAtanC=2+3，即可求得tanA的值.【解答】由于A，B，C成等差数列，所以2B=A+C.又由于A+B+C=π，π2π所以B=3，A+C=3，所以tanA+tanC=tan(A+C)(1-tanAtanC)=-3×[1-(2+3)]=3+3.又tanAtanC=2+3，所以tanA=1或tanA=2+3.【精重评论】注意公式的变形使用：tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ).利用和与差的三角函数公式求值微课5●典型示例71例4已知α，β，γ均为锐角，且tanα=4，tanβ=11，tanγ=2，求α+β+的γ值.【思想导图】71【规范解答】由于α，β，γ均为锐角，且112tanα=4，tanβ=，tanγ=，πππππ所以32，443<α+β+γ，<π<α<0<β<，0<γ<，所以tantan所以tan(α+β)=1-tantan=-3，tan()tan所以tan(α+β+)=γ1-tan()tan=-1，π所以α+β+γ=4.●总结概括求解此类问题的重点在于选择适合正确的三角函数，选择的标准是在角的范围内函数值与角要一一对应.(2)一般来说，角的范围为[0，π]时，选择余弦与正切较为适合；角的ππ-，范围为22时，选择正弦与正切较为适合；当角的范围超出两个象限时，就需要减小角的范围.(3)利用两个角的和与差的三角函数求三个角之和时，一般先办理此中的两个角，再求三个角之和.●题组加强53101.若α，β均为钝角，且sinα=5，cosβ=-10，则α+β=.π【答案】45310【分析】由于sinα=5，cosβ=-10，α，β均为钝角，2510所以cosα=-5，sinβ=10，-25-3105102所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=5105×10=2.×-又由于α，β均为钝角，所以π<α+β<2，π7π所以α+β=4.113π7β)=142.2.已知cosα=，cos(α-，且0<β<α<，则β=π【答案】312431π1-727=7.【分析】由于cosα=，0<α<，所以sinα=ππ22由0<β<α<，得0<α-β<.131-cos2(-)=33又由于cos(α-β)=14，所以sin(α-β)=14，11343331所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=7×14+7×14=2，π所以β=3.3.求值：tan20+tan°40+°3tan20tan°40=°.【答案】30tan20tan400【分析】由于tan60°=tan(20°+40°)=1-tan20tan40

00

3，所以tan20+tan°40°=3-3tan20tan°40，°所以tan20+tan°40°+3tan20tan°40=°3.433ππ4.若cos(α+)=β5，sin(α-β)=5，且2<α+β<2，π2<α-β<，π求cos2β的值.43π【解答】由于cos(α+β)=5，且2<α+β<2，π3所以sin(α+β)=-5.3π4同理，由sin(α-β)=5，且2<α-β<，π得cos(α-β)=-5，4-4-33所以cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=5×5+5×5=-1.1.(2015全·国卷)计算：sin20cos°10-°cos160sin°10=°.1【答案】21【分析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10=sin°30°=2.12.(2015江·苏卷)已知tanα=-2，tan(α+β)=7，则tanβ的值为.【答案】3tan()-tan

17

2【分析】tanβ=tan(α+β-α)=1tan()tan

1-2=7=3.1117，cos(α+β)=-14，则β=.3.若α，β为锐角，cosα=π【答案】31114353714，得sinα=7，sin(α+β)=14，所以【分析】由α，β为锐角，cosα=，cos(α+β)=-53111433-sinβ=sin[(α+)β-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=14×7-14×7=2.又β为锐角，π所以β=3.cos-sincossin，则tan(α+β)=.4.已知α，β均为锐角，且tanβ=【答案】1cos-sin【分析】由于cossin，tanβ=1-tanπ-1tan=tan4.所以tanβ=π由于α，β均为锐角，所以β=4-α，ππ44=1.即α+β=，所以tan(α+β)=tan5.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单225位圆订交于A，B两点.已知A，B两点的横坐标分别为10，5.求tan(α+)β的值；求α+2β的值.(第5题)225【解答】(1)由已知条件及三角函数的定义可知10，cosβ=5.由于α为锐角，所以cosα=722sinα>0，进而sinα=1-cos=10.51同理可得sinβ=52，所以tanα=7，tanβ=，712tantan1-71所以tan(α+β)=1-tantan=2=-3.-3121-(-3)1(2)tan(α+2β)=tan[(α+)+ββ]=2=-1.ππ3π222，又由于0<α<，0<β<，所以0<α+2β<3π进而由tan(α+2β)=-1，得α+2β=4.【举一反三】举一反三能力提高3153.已知α，β均为锐角，且sinα=，tan(α-β)=-(1)求sin(α-β)的值；(2)求cosβ的值.【思想指引】π0，【规范解答】(1)由于α，β∈2

ππ，进而-222分<α-β<.................................1π又由于tan(α-β)=-3<0，所以-2<α-β<0.........................4分10将cos(α-β)=-3sin(α-β)代入sin2(α-β)+cos2(α-β)=1，得sin(α-β)=-10.......................7分310(2)由(1)可得cos(α-β)=10.........................................................9分345510分由于α为锐角，sinα=，所以cosα=，...........................................所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)43103-10910=5×10+510=5014分×..........................................【精重评论】娴熟掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解相关问题时要注意有关角范围的限制；注意差别剖析，能活用公式，要擅长对准解题目标进行有效的变形.三角代换解题的一般思想模式为：发现差别，找寻联系，合理转变.一鼓作气，事半功倍.请老师部署同学们达成《配套检测与评估》中的练习第43~44页.【检测与评估】第22课两角和与差的三角函数一、填空题1ππ，36，此中α∈2，那么cos的值为.1．已知sinα=4

π2．(2015

·州期末扬

)已知α∈(0，π)，cosα=-5，则tan

4

=

.π5π，3．若cos6=13，且θ∈2，则cosθ=.3π3π12π，π-=134=4．已知α，β∈4，且sin(α+β)=-5，sin4，则cos.21π5．已知tan(α+)=β534的值为.，tanβ=，那么tan6．求值：tan10+tan50°°+3tan10°tan50=°.π7．已知α+β=4，那么(1+tan

α)(1+tan

β)的值为

.π432π8．(2015镇·江中学模拟)已知sin3+sinα=-5，那么cos3=.二、解答题9．(2015·州期末泰)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3，4).π(1)求sin4的值；(2)若点P对于x轴的对称点为点Q，求OP·OQ的值.251010．已知α，β均为锐角，且sinα=5，cosβ=10，求α+β的值.11．已知cos三、选做题

-12-2ππ932222=-，sin=，且<α<，π，求cos的值.0<β<π的极点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线12．(2015盐·城三模)若角α+1y=2x上，则tanα的值为.π13．(2015上·海卷)若点A的坐标为(43，1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3至OB，则点B的纵坐标为.【检测与评估答案】第22课两角和与差的三角函数26-11π22ππ，6303661．2，得cosα=，故cos=cosαcos-sin【分析】由sinα=，α∈2231126-1αsin6=3×2-3×2=6.14332．7【分析】由于α∈(0，π)，cosα=-5，所以sin54，则α=，所以tanα=-1-3π1tan41341tan=1-tan=4=7.53123．26πθ=cos66

π12【分析】由题意知sin6=13，所以cosππππ5312=cos6cos6+sin6sin6=26.563π3πππ3π，π，，4．-654，得α+β∈22π，β-4∈24【分析】由α，β∈，联合已知有4π5-cos(α+)=β5，cos4=-13，所以ππ45-312564-×13=-65.cos4=cos=5×13+59tan()-tan1π1tan95．8【分析】tanα=tan(α+β-β)=1tan()tan=17，所以tan4=1-tan=8.6．3tantan7．2【分析】由于tan(α+)=β1-tantan=1，所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ，所以原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2．4π43134338．5【分析】由sin3+sinα=-5，得2sinα+2cosα+sinα=-5，所以2sin343π43α+2cosα=-5，所以3sin6=-5

，于是sin

46=-5，所