3.1.2 椭圆的简单几何性质 教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质教学设计一、教学目标1.掌握椭圆的简单几何性质，能利用简单性质求椭圆方程.2.理解椭圆简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想.3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题.二、教学重难点1、教学重点椭圆的简单几何性质.2、教学难点椭圆的简单几何性质及其应用.三、教学过程（一）新课导入教师：我们之前学习了椭圆的标准方程，请同学们回忆椭圆的标准方程是怎样的，它们有几种形式？学生：（1）焦点在x轴上：.（2）焦点在y轴上：.教师：与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.这节课我们就来一起研究椭圆的几何性质.（二）探索新知探究一：椭圆的范围由方程可知，所以，即，同理有，即.这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.探究二：椭圆的对称性观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.在椭圆的标准方程中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于x轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称.同理，以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.综上，椭圆关于x轴、轴都是对称的.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.探究三：椭圆的顶点在椭圆的标准方程中，令，得.因此，是椭圆与轴的两个交点.同理，令，得.因此，是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.探究四：椭圆的离心率把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即.因为，所以.e越接近1，c越接近a，就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆.当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.总结：标准方程焦点位置及坐标焦点在x轴上，焦点在y轴上，图形范围，，对称性关于x轴、轴对称，关于原点对称顶点坐标，，，，，，长、短轴长长轴长，短轴长离心率（三）课堂练习1.点在椭圆的内部，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案：B解析：由题意，得，即，解得.故选B.2.已知椭圆上有一点是椭圆的左、右焦点,若为直角三角形,则这样的点有()A.3个 B.4个 C.6个 D.8个答案：C解析：当为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点有2个；同理当为直角时,这样的点有2个；当点为椭圆的短轴端点时,最大,且为直角,此时这样的点有2个.故符合要求的点有6个.故选C.3.已知椭圆，，分别为其左、右焦点，，B为短轴的一个端点，（O为坐标原点）的面积为，则椭圆的长轴长为()A.4 B.8 C. D.答案：B解析：由题意可知，，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故选B.4.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为()A. B. C. D.答案：A解析：设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以，所以，所以.故选A.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.椭圆的范围；2.椭圆的对称性