中考试卷分类(压轴5)

2008年全国中考数学压轴题精选（五）

71.（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究

如图，在直角坐标系X。），中，点P为函数y=在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为（0,1）,

4

直线/过5（0,—1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，/于C,Q,连结交x轴于〃，

直线尸〃交y轴于R.

（1）求证："点为线段AQ的中点；

（2）求证：①四边形APQR为平行四边形;

②平行四边形APQR为菱形；

（3）除P点外，直线P"与抛物线y=有无其它公共点？并说明理由.

（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知AO=C0=1.

ZAOH=ZQCH=90°,ZAHO=ZQHC,

△图俎QCH................................................（1分）

OH^CH,即“为A。的中点.........................................（2分）

法二：vA（0,l）,5（0,-1）,OA^OB...............................（1分）

又6Q〃x轴，HA^HQ..........................................（2分）

（2）①由（1）可知A"=。〃，ZAHR=ZQHP,

vAR//PQ,：.NRAH=ZPQH,

△翅团PQH.................................................（3分）

AR=PQ，

又AR〃P。，.•.四边形APQR为平行四边形...............................（4分）

②设•.•pQ〃y轴，则。（血,—1）,则PQ=1+；机2.

过尸作轴，垂足为G,在RtAAPG中,

・・・平行四边形APQR为菱形.（6分）

（3）设直线PR为y=+由0〃=C",得2）,尸（加,；加代入得:

,m

—k+Z?=0,K=—,

22直线PR为yu/x—/

（7分）

,,112

km+b=—nr2.k

44

设直线PR与抛物线的公共点为,代入直线PR关系式得:

I4）

\m\1(1A

—x2——-X+—m2=0,—(x-m)2=0,解得x=机.得公共点为m,—m2.

4244<4J

1、

所以直线产”与抛物线y=只有一个公共点尸...........................（8分）

72（08黑龙江齐齐哈尔28题）（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，点。（-3,0）,点48分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足

yJOB2-3+\OA-\\=0.

（1）求点A,点6的坐标.

（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结AP.设△ABP的面积为S,点

P的运动时间为，秒，求S与，的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

（3）在（2）的条件下，是否存在点尸，使以点A,BP为顶点的三角形与△4OB相似？若存在，请

直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（08黑龙江齐齐哈尔28题解析）解：（1）•.•J。）—3+|OA—"=0

062—3=0,04—1=0.................................................................................................（1分）

OB—,OA-1

,・,点A,点8分别在x轴，y轴的正半轴上

.♦.41,0），8（0G）.....................................................................................................................（2分）

（2）求得ZABC=90°..........................................................................................................（3分）

|2百T田”26）

?=<

t-2y/3（t>2A/3）

（每个解析式各1分，两个取值范围共1分）................................（6分）

（3）［（—3,0）；彳百］;鸟（3,26）（每个1分，计4分）

.......................................................................................................................................................（10分）

注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，酌情给分.

73（08海南省卷24题）（本题满分14分）如图13,已知抛物线经过原点。和x轴上另一点A,它的对称轴

x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-l经过抛物线上一点B（-2,m）,且与y轴、直线m2分别交于点。、E.

（1）求机的值及该抛物线对应的函数关系式;

（2）求证：①CB=CE；②。是5E的中点；

（3）若P（x,y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合

条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图13

（08海南省卷24题解析）（1）;点8（-2,机）在直线），=-2x-l上,

Aw=-2x（-2）-l=3...........................（2分）

5（-2,3）

抛物线经过原点。和点4,对称轴为x=2,

.,.点A的坐标为（4,0）.

设所求的抛物线对应函数关系式为广a（x-0）（『4）....................（3分）

将点8(23)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4),.Ia=-.

4

；•所求的抛物线对应的函数关系式为y='x（x-4），（6分）

4"4

（2）①直线y=-2x-l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为0（0,-1）E（2,-5）.

过点8作8G〃x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G,

则BG_L直线x=2,BG=4.

在K/Z\8GC中，BC=4CG2+BG2=5.

,/CE=5,

：.CB=CE=5....................(9分)

②过点E作E”〃x轴，交y轴于从

则点”的坐标为"(0,-5).

又点F、。的坐标为尸(0,3)、0(0,-1),

FD=DH=4,BF=EH=2,NBFD=/EHD=9。。.

：./\DFB^/\DHE(SAS),

BD=DE.

即。是BE的中点.........................（11分）

（3）存在.........................（12分）

由于P8=PE,.•.点P在直线CO上，

•••符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.

将。（0,-l）C（2,0）代入，得（"=7.解得k=~,b=-\.

[2k+b=02

直线CD对应的函数关系式为尸Lx-1.

2

动点P的坐标为（x,-x2-x）>

4

•,­—^-l=-x2-x-..........................（13分）

24

解得%,=3+V5>x2=3-V5.）']=1~

...符合条件的点尸的坐标为（3+石，LL叵）或（3-右，匕Y1）.…（14分）

22

（注：用其它方法求解参照以上标准给分.）

74.（08广东东莞22题）（本题满分9分）将两块大小一样含30。角的直角三角板，叠放在一起，使得它们

的斜边

AB重合，直角边不重合，已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.

⑴填空：如图9,AC=,BD=；四边形ABCD是梯形.

（2）请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

（3）如图10,若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10的平面直角坐标

系，保持AABD不动，将AABC向X轴的正方向平移到AFGH的位置，FH与BD相交于点P,设

AF=t,AFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

（08广东东莞22题解析）解（1）473,40，....................1分

等腰；....................2分

（2）共有9对相似三角形.（写对3—5对得1分，写对6—8对得2分，写对9对得3分）

®ADCE>AABE与4ACD或4BDC两两相似，分别是：ADCE^AABE,ADCE^AACD,

△DCE^-ABDC,AABE^AACD,AABE^-ABDC；（有5对）

②△ABDsaEAD,△ABDs/XEBC；（有2对）

③△BACsZ\EAD,ABAC^AEBC；（有2对）

所以，一共有9对相似三角形.................................5分

（3）由题意知，FP〃AE,

Z1=ZPFB,

又；Z1=Z2=3O°,

ZPFB=Z2=30°,

FP=BP.....................6分

过点P作PK±FB于点K,则FK=BK=：B.

2

,**AF=t,AB=8,

FB=8-1,8K=；(8-f).

在RtaBPK中，PKB/TtanZ2=-(8-r)tan30°.................7分

4FBP的面积S=L-F8PK=L-（8-f）・^（8—f）,

226

二S与t之间的函数关系式为：

S=@Q—8产，或S=@产—士..............................8分

121233

t的取值范围为：0Wf<8...............................................9分

75（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1,048。是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，

。为原点，点4在x轴的正半轴上，点。在y轴的正半轴上，。4=5,。。=4.

（1）在0C边上取一点。，将纸片沿A。翻折，使点。落在BC边上的点E处，求。，E两点的坐标；

（2）如图19-2,若AE上有一动点尸（不与A,E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速

度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0<f<5）,过尸点作的平行线交于点M,过点M

作AE的平行线交OE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间，之间的函数关系式；当，取何值时，S

有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当f为何值时，以4ME为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻

点M的坐标.

（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分）

解（1）依题意可知，折痕AO是四边形。AEZ）的对称轴,

.♦.在RtaABE中，AE=AO=5,48=4.

BE=yjAE2-AB2=752-42=3.:.CE=2.

点坐标为（2,4）.2分

在Rt^OCE中，DC2+CE1=DE2,又•：DE=0D.

(4-O£))2+22=0D2.解得：CO=g.

・•・。点坐标为(0,|).....................................................3分

(2)如图①:PM〃ED,.,.△■JWWAED.

PMAPr/5

----=----,又知AP=t,ED=—,AE=5

EDAE2

PM=ix-=i,又•：PE=5—t.

522

而显然四边形PMNE为矩形.

t1,5

：・S矩形PMNE=PMPE=-x(5-t)=--t^+-r...............................5分

又・.•()<»<5

…S四边形PMNE

2

525

•'・当，=5时，S矩形有最大值W•6分

Zo

（3）（i）若以AE为等腰三角形的底,则M£=M4(如图①)

在RtAiAEO中，ME=MA,;PM_LAE,，P为AE的中点,

又•.•「〃〃EO,为AO的中点.

过点M作MR10A,垂足为尸，则MF是△04。的中位线,

：.MF=-0D=~,OF=-OA=~,

2422

.•.当f=|时，［°<|<5），AAME为等腰三角形.

此时〃点坐标为（m，；］......................................................8分

(ii)若以AE为等腰三角形的腰，则4M=AE=5(如图②)

在RtaA。。中，A0=JO£)2+A02=J1|j+52=|6.

过点M作MF_LOA,垂足为F.

PM//ED,AED.

,AP_AM

"~AE~~AD'

.•八AE=^_=2逐,：.PM='=下.

AD|新2

:.MF=MP=4^,OF^OA-AF^OA-AP^5-2y/5,

.・.当，=26时（0<2有<5）,此时〃点坐标为（5—2JWJ?）..............11分

综合（i）（ii）可知，/=*或f=2有时，以4ME为顶点的三角形为等腰三角形，相应”点的坐标

2

为侍前或（5一2"回

...............................................12分

76.（08天津市卷26题）（本小题10分）

已知抛物线y=3ax2+2bx+c,

（I）若a=b=l,c=-l,求该抛物线与x轴公共点的坐标；

（II）若。=6=1,且当-1<X<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（III）若a+b+c=O,且当=0时，对应的力>0；X2=l时，对应的%>0,试判断当0<x<l时，抛物

线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.

（08天津市卷26题解析）解（I）当a=b=l,c=-l时，抛物线为y=3f+2x-l,

方程3/2+2R一1=0的两个根为修=一1,必=；.

...该抛物线与X轴公共点的坐标是（一1,0）和............................2分

（II）当a=b=l时，抛物线为），=31+2x+c,且与x轴有公共点.

对于方程3-+2x+c=0,判别式△=4-12c20,有cwL..........................................3分

3

①当c=g时，由方程31+2x+g=0,解得X]=X2=—

此时抛物线为y=31+2》+；与x轴只有一个公共点...................4分

②当c<1时，

3

修=一1时，y[=3-2+c=l+c,

0=1时，y2=3+2+c=5+c.

由已知时，该抛物线与X轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为尤=-1,

3

、

应有《fy力.即[《i+c^o

[y2>0.[5+c>0.

解得一5<cW—1.

综上，或-5<cW-l......................................................................................6分

3

(III)对于二次函数y=3翅2+2bx+c,

由已知内=0时，y1=c>0；12=1时，乃=3Q+2b+c〉0,

又〃+b+c=O,.•・3a+2Z?+c=(〃+0+c)+2〃+b=2a+b.

TF,2〃+/?>0.而h=—a—c,・・2Q—ci—c>0,即ci—c>0.

/.6T>c>0.....................................................................................................................7分

关于x的一元二次方程3ax2+2hx+c=0的判别式

△=4b之-12ac=4(〃+c/-\2ac=4[(a-c)2+ac]>0,

，抛物线y=3o?+2公+。与x轴有两个公共点，顶点在工轴下方...............................8分

又该抛物线的对称轴犬=-2,

3a

由〃+/?+c=0,c>0,2a+b>0,

得-2a<b<—a,

33a3

又由已知了］=0时，＞0；々=1时，乃＞0，观察图象，

可知在0＜工＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点.10分

77（08湖北宜昌25题）如图1,已知四边形。ABC中的三个顶点坐标为0（0,0）,A（0,〃），C（m,0）.动

点户从点。出发依次沿线段。A,AB,BC向点C移动，设移动路程为z,△OPC的面积S随着z的变化

而变化的图象如图2所示.〃?，〃是常数，m＞\,n＞0.

（1）请你确定〃的值和点B的坐标；

（2）当动点尸是经过点O,C的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，且在双曲线），=一上时，求这时四边

5x

（08湖北宜昌25题解析）解：（1）从图中可知，当P从。向A运动时，△POC的面积S=，wz,z由0

2

逐步增大到2,则S由0逐步增大到"?，故OA=2,"=2.（1分）

同理，AB=\,故点B的坐标是（1,2）.（2分）

（2）解法一：

;抛物线），="2+fec+c经过点0（0,0）,C（m,0）,，c=0,b=~am,（3分）

...抛物线为y=ar2—amx,顶点坐标为（葭，一；a/g分）

如图1,设经过点0,C,P的抛物线为/.

当P在OA上运动时，。.尸都在y轴上，

这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上，

这时抛物线/不存在，故不存在加的值.・①

当点尸与C重合时，双曲线＞=口不可能经过P,

5x

故也不存在机的值.②（5分）

（说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分）

当P在4B上运动时，即当OUoWl时，孔=2，

抛物线/的顶点为P（竺，2）.

2

在双曲线），=1上，可得机=□,•.•□＞2,与入=竺W1不合，舍去.（6分）③

5x552

容易求得直线8c的解析式是：丫=二_》_22，（7分）

\-m\-m

777

当P在5C上运动，设尸的坐标为（Xo,yo）,当P是顶点时犬0=万,

辽,口22min_.„mm

故得,0=------玉）-------=----->顶点P为（一>-----）f

\-m\-mm-12m-\

YYlI）

Vl<x—一on,*.m>2,又•./在双曲线>=一上，

025x

于是，—,化简后得5m2—22m+22=0,

2m-15

22+2而22-2而八

解得m,二---历—，62=-----历---48分）

2>/11>2,22—<20,/.