新高考 核心考点与题型 圆锥曲线 第1讲 椭圆及其性质 解析

PAGEPAGE101知识梳理椭圆的定义2c1 2 1平面内与两个定点FF的距离的和等于常数2(＞FF|的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F，F叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫椭圆的焦距。若M2c1 2 11 2一点，则有|MF1

||MF2

|2a椭圆的标准方程轴上的椭圆的标准方程为x轴上的椭圆的标准方程为

x2 y2

1(a＞b＞0)．＋＝a2 b2＋＝＋＝轴上的椭圆的标准方程为y＋＝轴上的椭圆的标准方程为

y2 x2

1(a＞b＞0)．a2 b2标准方程a标准方程a2 b2x2 y2＋＝1(a＞b＞0)a2 b2y2 x2＋＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称(a,0)，(－a,0)，(0，b)，(0，－b)顶点坐标(b,0)，(－b,0)，(0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长ab，a＞b椭圆的焦距与长轴的比e 叫椭圆的离心率。e越接近1，c就ca离心率a，b，c的关系越接近ab越接近于0c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。a2＝b2＋c2考点一椭圆的定义及其应用A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【例11】已C的周长为2，且顶点A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）AA的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．C的周长为2，顶点B（，4C，4，∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵a＝6，c＝4∴b2＝20∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．1-2】F，FC：12+ ＝1C上一点且在第一象限．若△MFF为等腰三角形，则M的坐标为12．C：+＝1＝，【分析】设（，n，n＞，求得椭圆的，，，，由于M为C上一点且在第一C：+＝1＝，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+m＝8可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+m＝8m＝3，n＝；6﹣m＝8m＝﹣3＜0M（3，．规律方法椭圆定义的应用主要有两个方面判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，.角形有以下性质：(2c)2

=

|2+|PF2

|2−

||PF2

|cos∠FPF121

,得到：|PF1

||PF2

|= 2𝑏2 ;1+cos∠F1PF2S =1

||PF

|sin∠FPF

=𝑏2sin∠F1PF

=𝑏2𝑡𝑎𝑛(∠F1PF2)∆F1PF2 2 1 2

1 2 1+cos∠F1PF2 2【变式如图，圆O的半径为定长是圆O内一个定点是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹( )椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆解析连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.＋＝1上一点，F【变式2设P为椭圆y＋＝1上一点，F

，F分别是椭圆C的左、右焦点，且△PFF49 24 1 2 12的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么的面积( )A.24 B.12 C.8 D.6∵P

x2 y2＝1上一点，|PF

|∶|PF

|＝3∶4，|PF

|＋|PF

|＝2a＝14，：49＋24

1 2 1 2又∵|F

F|＝2c＝2 49－24＝10，∴△PF

是直角三角形，S

1＝|PF

|·|PF

|＝24，12 1

△P1FF2 2 1 212∵△PF1F212

F＝3S△GPF

，∴△GPF的面积为8.111考点二椭圆的标准方程A．B．C．D．1 2 【例21】已知椭圆C的焦点为F（0F10，过F的直线与C交于B两点．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|A．B．C．D．1 2 【解答】解：∵|BF1|【解答】解：∵|BF1|＝5|BF2|，且|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，|BF1|＝，∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AF2|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，AF1＝AF2AF1＝AF2AyO中，O＝22，1F中，由余弦定理可得F＝221＝，2OF＝0，可得21∴椭圆C的方程为：．法二设椭圆方程为mx2＋n2＝1m>0，>0mn).∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，14m＝1， m＝，∴ 解得 4n＝1， n＝1.x2经过两点A（，2、B经过两点A（，2、B（，）的椭圆的标准方程为．定义法根据椭圆的定义，确定定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.待定系数法1mxmnm，n的值即可22、x2 y2与＋＝1(a>b>0)有共同焦点的曲线可设为a2 b2x2a2y2b213、与x2y2＝1(a>b>0)有相同离心率的曲线可设为x2y2a2 b2ma2 mb21A．B．C．或D．或变式】椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，A．B．C．或D．或【解答】解：根据题意，要求椭圆经过点，0【解答】解：根据题意，要求椭圆经过点，0，且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝，此时椭圆的方程为+＝1，②yb＝3a＝6，此时椭圆的方程为+＝1；故椭圆的方程为 +＝1或+＝1；【变式2若直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点则该椭圆的标准方程（ ）A．+y2＝1A．+y2＝1B．+＝1C．+y2＝1或+＝1 D．以上答案都不对【解答】解：设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为焦点坐标为（，0（，顶点坐标为，0，b；椭圆的ab，ca﹣2＝2直线﹣2＝0恒过定点1∴直线﹣＝0必经过椭圆的焦点（，，和直线﹣2＝0恒过定点1∴直线﹣＝0必经过椭圆的焦点0，，和顶点（﹣b，0）带入直线方程解得：c直线﹣2＝0恒过定点1∴直线﹣＝0必经过椭圆的焦点0，，和顶点（﹣b，0）带入直线方程解得：c＝1，b＝2，a＝∴焦点在y轴上，椭圆的标准方程为．顶点（0，b）带入直线方程：解得：c＝2，b＝1，a＝∴焦点在x轴上，椭圆的标准方程为；当设焦点在y轴，椭圆的标准方程为考点三椭圆的几何性质多维探究考点三椭圆的几何性质多维探究1F1

是椭圆C：x2＋y2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在F2a2 b2F2过A且斜率为3

PFF

F则C的离心率( )2A.3

611B.2

121C.3

1D.4解析由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝cPPExE∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝3c，即点P(2c，PA

3的直线上，∴

3c 3 c 1 1＝，解得＝，∴e .6规律方法求椭圆离心率的方法

2c＋a

a 4 ＝4a，c的值，利用离心率公式直接求解，或者结合椭圆分性质c 2𝑐

|FF|

𝑠𝑖𝑛𝐹𝑃𝐹e＝a=

2𝑎

= 12 | |

1 2 ∈(0,1)求解PF1PF2 【】C：（a＞b＞0）F，F，M为椭圆上12一点，MF2C【】C：（a＞b＞0）F，F，M为椭圆上12一点，MF2C成等差数列，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|MF2|＝m，根据等差数列的性质和椭圆的定义可得|MN|＝a，再根据向量的垂直可得a＝m，即可求出离心率．【解答】解：设|MF2|＝m，∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，∴|MN|＝a，∴|NF2|＝a﹣m，∴|NF1|＝2a﹣（a﹣m）＝a+m，∵∴|MN|＝a，∴|NF2|＝a﹣m，∴|NF1|＝2a﹣（a﹣m）＝a+m，∵，∴MF1⊥MF，∴Rt△FMN中，|NF|2＝|MN|2+|MF|2，2111∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2m＝a，∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，∴4c2＝2a2，∴e＝＝，故选：A．【变式2已知O为椭圆C的中心为C的一个焦点，点M在C外，＝3 ，经过MlCN，△MNF120°C的离心率为（）A．B．C．﹣1D．【解答】解：不妨设（，0，，则（3，【解答】解：不妨设（，0，，则（3，△MNF∠MN＝120°，△MNFN（﹣c，，将N代入椭圆方程得到，即，解得或3（舍去，故＝，方程得到，即，解得或3（舍去，故＝，

1(ab0)F

F=75°，a2 b2

1 2 12∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率【解析】在△MFF

2c |MF| |MF| ，1 12 sinFMF sinMFF sinMF1 1 2 21 1 22c |MF| |MF| 2c |MF1||MF2| 2a即 1 2 ∴ ，sin90 sin15 sin75 sin90 sin15sin75 sin15sin756c 16∴e

。a sin15sin75 3角度2与椭圆性质有关的最值或范围问题x2 y24－1】A，BC3＋m＝1.CM满足∠AMB＝120°，则m的取值范围( )A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，D.(0，＝3 ∠＝解析①当焦点在x轴上，依题意得0<m<3，且∴0<m<3且m≤1，则0<m≤1.

m≥tan 2m ∠AMB②ym>3

3≥tan 2 ＝3，∴m≥9，综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).【例4－2】以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值( )B. 2B. 2解析(1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，1依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以2×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2 b2＋c2≥2 2bc＝2 当且仅当b＝c＝1时取等即长轴长2a的最小值为2 2.规律方法在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中具体求解方法如下：1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．【【1C：＝1（a＞b＞0）F，Fx轴上方的12C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（）A．B．C．D．MA时，∠F1MF2xC上存在两个不同的点M，N∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞tan，即可求解．要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即∠AF2F1＜∴tan，⇒3b2＜c2⇒3（a2﹣c2）＜c2，⇒3a2＜4c2，e，则椭圆C离心率的取值范围是（，，【变式2】已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆5C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值( )5555

10

2 52 1055 D.2 1052＋2

＝1，x2 y2

a2

a2－1不妨设椭圆方程为＋

＝1(a>1)，与直线l的方程联立a2 a21 3，消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，a≥5

c 1

e的最大值为5.【变式3】已知F，F椭圆12【变式3】已知F，F椭圆12F|＝4，点12在CC上的动点，则的最大值为（）A．4B．C．5D．【解答】解：由题意可得：c＝2，＝1，a【解答】解：由题意可得：c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆的方程为：＝1F1（2，，设，）则：＝1，所以可得：x2＝8﹣2y2，则＝（2﹣x，﹣（2﹣，）＝x2﹣4+y2﹣＝﹣y2﹣+4＝﹣（y）+，y＝∈[﹣2，2]，时，则的最大值为：基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题x2 y2椭圆m＋4＝1的焦距为2，则m的值等( )A.5 B.3 C.5或3 D.8解析由题意知椭圆焦距为2，即c＝1，又满足关系式a2－b2＝c2＝1，故当a2＝4时，m＝b2＝3；当b2＝4时，m＝a2＝5.答案C11已知椭圆C：x2 y2 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F

2，过F

的直线l＋＝

，离心率为a2 b2

2 3 2交C于A，B两点，若的周长为12，则C的方程( )x2A.3＋y2＝1x2 y2C.9＋4＝1c 2

x2 y2B.3＋2＝1x2 y2D.9＋5＝1解析b＝32－22＝5C的方x2 y2程为95＝1.答案Dx2 y2(x－1)2＋(y－1)2＝2C：＋＝1(a>b>0)FB，则椭圆C的离心率( 1

a2 b2B. 2B. 22解析由题意得，椭圆的右焦点F为(c，0)，上顶点B为(0，b).因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2（）2＋＝，经过右焦点F和上顶点B，所 解得b＝c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，解得＋（－）2＝，a＝2 2Ce＝c＝2＝2答案D4.

x2 y2

a 2 2 2.FFFF已知椭圆43＝1的左、右焦点分别为F12两点，则内切圆的半径( )12

2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B4A.3

4C.5

3D.4解析不妨设A点在B点上方，由题意知：F

x2 y22的横坐标代入椭圆方程43＝1

3 |AB|＝3

1Cr

2S 6 3

其中S点纵坐标2，故 ＝2为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长).答案D

＝C＝8＝4(x2 y2 FF21已知椭圆42＝1F212的面积( A.2

PB.2

1|－|PF

1F2PAGEPAGE1332C.2 D.32解析由椭圆的方程可知a＝2，c＝2，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2 2，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，1 1所以FF＝2F1F2F2＝×2 ×1＝2.12答案A二、填空题已知椭圆的中心在原点，一个焦点3)且a＝2b，则椭圆的标准方程.解析∵c＝2 3，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，16＋42 b24a2＝16又焦点在y轴上∴标准方程为16＋4y2 x2答案164＝1x2 y2FC：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过

的直线交椭圆C于A，B两1 2 a2 b2 1点，若△F2AB的面积为4 3的等边三角形，则椭圆C的方程.解析∵△F2AB是面积为4 的等边三角形，∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c，代入椭圆方程，可求得|F

1A|＝|F1

b2B|＝a.B|又|FF|＝2c，∠FFA＝30°

b2 3＝

2c.①12 1

，∴a 3×1 2b2又S△F2AB＝2×2c×a＝4 3，②；a2＝b2＋c2，③x2 y2由①②③a2＝9，b2＝6，c2＝3，∴C的方程为96＝1.x2 y2椭圆9＋25＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是 .1 2 1 解析记椭圆的两个焦点分别为F，F，有|PF|＋|PF|＝2a＝1 2 1 1 2 则m＝|PF|·|PF|≤|PF11 2

|＋|PF2

|22＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).三、解答题F1，F2xA(－4，3).F1A⊥F2A，求椭.x2 y2解设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).a2 b2设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).∵FA⊥FA，∴→→＝0，而→＝(－4＋c，3)，→＝(－4－c，3)，1 2

F1A

F2A∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5，0)，F2(5，0).∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝4 10.x2 y2∴a＝2 10，∴b2＝a2－c2＝(2 10)2－52＝15.40＋15＝1.

x2 y2已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F

分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线a2 b2 1 2AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)

→，→→3 .AF2

2F2B AF1·AB＝2，求椭圆的方程解(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|b＝c.c 2a＝2ce＝a＝2.(2)A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)c＝a2－b2B(x，y).→ →由AF2＝2F2B，得(c，－b)＝2(x－c，y)，3c b

3c bx＝2，y＝－2B2，－2.x2 y2

9 b24c2 4将B点坐标代入＋

＝1，得

＋＝1，a2 b2即a2＝3c2.①

a2 b2→→ 3c 3b 3又由AF1·AB＝(－c，－b)·2，－2＝2，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.x2 y2所以椭圆的方程为32＝1.能力提升题组

(建议用时：20分钟)x2 y2 →→已知椭圆＋＝1(a>b>0)MNFNM·NF＝0，则a2 b2椭圆的离心率( 2A. 32

B.

2C. 2

2D. 5－122→ → →→2解析5－1＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac.又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac.∴e2＋e－1＝0，解得e＝2－5－1 5－1或e＝答案D12.

2 (舍椭圆的离心率为2 .x2 y2已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F

，P是椭圆上一点，△PFF是以a2 b2

2 12F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围( ) 3－1 31 1A. 2 ，1 B. 2 ，21 C.2，1

D.0

11解析F22F1F22＋F122F1F2|F1s∠FF＝24c－2··1∠PFF

|＝2

所以a ＝＝

c＋2c· ，1－cos∠PF1F21－cos∠1－cos∠PF1F21－cos∠PF1F23－12F<120°

1 1 1 c1又60°<