2012考研数学真题数三全

2012年入学统一考试数学三试一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题x2y

x2

(A) (B) (C) (D)【答案】MM渐近线分为水平渐近线（limf(x)bb为常数、垂直渐近线（limf(x）渐近线（limf(xaxb0ab为常数

fxf(x)a，但limf(xaxf(x

x2yx21x由于limyx1（而limy

x(x

1x1不是渐近线

x1(x1)(x 1又limylim x1，故y1是水平渐近线.（无斜渐近线

1设函数f(x)(ex1)(e2x (enxn)，其中n为正整数，则f'(0)

(1)n1(n

(B)(1)n(n

【答案】xylimf(x0x)f(x0)xf(x0)f(0)

f(x)fx

(ex1)((ex1)(e2x (enx1(2 [(n11)n1(n1)!f(x)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)在本题中，用乘积求导.含因子ex1项在x0为0，故只留下一项.于f(0)[ex(e2x (enx (1)(2) [(n1)](1)n1(n故选 f(t2d

f(r2)rdr 42xx42xx 2x4

0

f

y

0

f

y 4

0dy11

xyf

y

0

f

y4f(x,y)df(cos,sin)d I2d

f(r2)rdrf(x2y2)dxdy 2DD02cosr2，202

，2rcosr2，rD的直角坐标表示，因2xx2y2x2y2D由1x1)2y2x2y24x02x422x42

f

2

nsin

nn

条件收敛 【答案】

02

11

12

(D)32pnp级数pp1p1n(1)nnsin

绝对收敛

n1

1收敛11即3

其中n

(nn

nn

nn

nn

发散021，即132.故选2设

0 20, 2

0

,

1

,

,其中c1c2c3c4c

c

c

c1

2

3

4 (A)1,2

1,2

1,3

2,3【答案】n个n维向量相关 ,n 1,3,4

0 所以1,3,4必线性相关.故选 0设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P1AP0 0.若P(

,) Q(,,)，则Q1AQ

0 0 1

0 0 2

0 0 2

0 (D) 0 1 【答案】A是一个mnAA的左边乘以相应的m阶初等矩阵；AA的右边乘以相应的n阶初等矩阵.P经列变换为Q QP 0

那么Q1AQ

01 0

0

设 量X与Y相互独立且都服从区（0.1）上的均匀分布则PX2Y21 (A)

(B)

【答案】设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随量(X,Y)具有概率密1 (x,y)f(xy) 则称X,Y在G上服从均匀分布 X,YD(xy0x10y14PX2Y214

（圆的面积除以正方形的面积4方法二：由条件知X,Yf(x,y)

(x)

(y) 0x1,0y 从而PX2Y21

f(x,y)dxdy 1dxdyS

x2y2

x2y2 设X,X,X,X为来自总体N(1,2)(0)

X1X|X3X42

(A) (B)

2

(D)F【答案】【考点】2分布t分XYXY/设随量 N(0,1)

2(n)，且X与Y独立，则随量T t(n)为自由度为nt(n) N(1,2)，所以X N(0,22)，X1X

XX

(XX X N(2,22)，

X (X又X,X,X,X相互独立，所以 2与 X1X

(XX t(1X1|X3X42二、填空题：914424请将答案写在1limtanxcosxsinx14【答案】e11

xe或lim(1x)xe 在本题中，用求1型极限的方法.由 1(tan (tanx)cosxsinx(1tanx1)tan 而

tanx

sinxcosx)2xcosxsin

cosxcosxsin 1Ilim(tanx)cosxsinxe4x设函数fx ,x1x

yffx

1ef[f(x注意f(e

1，f(e)

1

1(2x

1e2e

(lnx)

f( x1df[f1

f()f(e)21

f(x,y)2xf(x,y)2xyx2(y

0则dz|0,1【答案】2dx如果lim

0，就说是比高阶的无穷小，记作o(全微分存在的必要条件z

f(x,y在点(x,y可微分，则该函数在点(x,yzzz

zxyfzxy ff(x,y)2xyx2(y由于

0lim[f(x,y)2xy2]0limf(x,y)

f(0,1)1ff(x,y)f(0,1)2x(yx2(yz

0f(x,y在点(0,1处可微，且dz|0,12dxy4yxy4xx【答案】4lnf(x，g(x在[abyf(x)，yg(x)xa，xb(abbDSb

f(xg(xdx，其中曲线yf(xyg(x)(x[ab可以由y4yxy4x分别交于点(22)(14x故所围成平面图形的面积为S1(4xx)dx24x)dx34ln2214ln2 1 A3A3A*AA12BBA*A是一个mnAA的左边乘以相应的mAA的右边乘以相应的n阶初等矩阵 0

0 3 3BEA

E

A27(14)设A、B、C是随 ，A与C互不相容，P(AB)1,P(C)1,则P(AB|C) 34

P(BA)P(AB)(P(A)P(A与CACABCPABC)01P(ABC)P(ABC)P(AB)P(ABC)

P(AB)

3 3

1 1

1 3求极限

ex2e22cos1x362当x0时，ex x，x1x362eeI

e22cos

limex2lim1

22cosx

lim

lim2x2sinx

21

1

x计算二重积分exxydxdyDyx

x,y

及y轴为边界的区域

budv[uv]bb x 1xxD(xy)0xx

y 所以exxydxdy1

1xexxydy

1

xex

1x)dx

1exdx

11ex 2 2 2111 11x2dex1(e1)1 111 2 1xex1ex11ee1 2与6y（万元/件求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y（万元zf(x,y在条件(x,y)0F(x,y)f(x,y(x,y)，然后F

f

F(x,y)所有满足此方程组的解(x,y中(x,y是f(x,y在条件(x,y)0设生产甲产品的成本函数为C(x，生产乙产品的成本函数为CyC(x,y)C(x)C(y)x(20t)dty(6t)dt 1x220x1y26y10000（万元 xy50F(xy,)1x220x1y26y10000(xy50 F1x20 Fy6

，得到驻点(2426Fxy5026C(242611118(万元(202

202432(万元件)1 x

1

cosx

(1x2函数单调性的判定法yf(x)在[ab上连续，在(ab内可导①如果在(abf(x)0yf(x)在[ab②如果在(abf(x)0yf(x)在[ab上单调减少fxx

x x

(1x1)1 f(x)0（x(1,1f(x)f(xfx

x0的情形fxln1xx

1sinxxln1x

sinxx1

1 1x

1

1

1 f(x)

1

1x

(1

(1

cosx1，

(1

(1

(1

(1

sinx0(x(0,1])1(1

(1

0，

(1

(1

]0，sinx0(x因x(0,1)时f(3)(x)0，又f(x)在[0,1)连续f(x)在 ，f(x)f(0)2（x(0,1]，同理f(x)在 ，f(x)f(0)0(x(0,1])

f(x在，f(xf(00(x(0,1.又因f(x为偶函数f(x0(x(1,1x0f(00.即原，已知f(x满足方程f(xf(x2f(x0f(xf(xf(xyf(x2xf(t2dt0 ypyqy0的特征方程r2prq0有两个不同的yCer1xCer2 拐点的充分判别定理：设f(x在(a,bx0(a,b，则f(x)0两侧附近f(x0异号，则点(x0,f(x0为曲线的拐点f(xf(x)f(x)2f(x) f(x)f(x) 由②得f(x)2exf(x)，代入① f(x)3f(x)2ex两边乘e3x [e3xf(x)]

e3xf(xe2xCf(xex代入②式得ex9Ce3xexCe3x2exC0f(x)f(xyex2xet20y2xex2xet2dt0 y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x y(x

x因此(0,y(0))(00 1

设A

0 0 A当实数aAx ,n)D ,n) ,n)D ,n)A是mnAxb，则方程组有无穷多解rA)rA) A1

aa(1)41

01 A0Ax有可能有无穷多解.由（I）知a1或aa1(A)110 10 100 0 2 由于rA)3rA)4，故方程组无解.因此，当a1a1

1

10 (A)

1， 10 10 10 00 由于rA)rA)3Axx3 1 已知A ，二次型fx,x,xxTATAx的秩为 a

求实数axQyf

nnaijxixj(aijajixPyfi,fy2

y2

y2，其中

A

n1 2 n nxTATA)x2，即rATA因为rATArArA)2A 1 1 1 1A a a

所以a

0 （Ⅱ）当a1时，ATA 2 EATA

(2)(6)可知矩阵ATA的特征值为对0，由(0EATA)x0得基础解系(11,1)T，对2，由(2EATA)x0得基础解系(1,10)T，对6，由(6EATA)x0得基础解系(1,12)T.131216131216231

(1,1,1)T，

(1,1,0)T，

131216131216 12 12那么令

，就有xT(ATA)xyTy2y2 36 62363 3

量X、Y的概率分布210XY（Ⅰ）求PX2Y求Cov(XY,YDXEX2(EX)2Co