倒格子和晶体的对称性

倒格子和晶体的对称性第1页/共33页2晶体中任一处的物理量，具有周期性，今可写为：将展开成傅立叶级数：原胞体积于是

牛牛文库文档分享第2页/共33页3令

则有于是有：不能为零

牛牛文库文档分享第3页/共33页4定义：

对于Bravais晶格中所有格矢，满足或的全部端点的集合构成的新格子，称为正格子(Directlattice)的倒格子(Reciprocallattice)。m是整数于是：

牛牛文库文档分享第4页/共33页5根据原胞基矢定义三个新的矢量——倒格子基矢量以为基矢构成一个倒格子倒格子每个格点的位置——倒格子矢量(倒格矢)倒格子基矢的性质

牛牛文库文档分享第5页/共33页6所以：因为：——倒格子空间是正格子的倒易空间。

牛牛文库文档分享第6页/共33页7——倒格子与正格子间的关系

1)倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积

牛牛文库文档分享第7页/共33页82）正格子中一簇晶面和正交

——可以证明与晶面族正交

牛牛文库文档分享第8页/共33页93）倒格子矢量为晶面的法线方向晶面方程各晶面到原点的距离面间距即：

牛牛文库文档分享第9页/共33页10对于每一簇晶面都有一点P，以OP为该方向的周期，把P平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的倒格子，而把原来的晶格称为正格子。——倒格子的物理意义布里渊区：倒格子空间中的WS原胞称为布里渊区(BrillouinZone)原点O引晶面簇ABC的法线ON在法线上截取一段ρ=OP，使ρd=2πd是晶面簇ABC的面间距

牛牛文库文档分享第10页/共33页11二、正交变换首先讨论以宏观的角度如何描写一个几何图形的对称性。第一章晶体结构要描述一个几何图形的对称性，一般采用几何变换的方法。例：比较以下图形的对称性。(a)(b)(c)(d)

牛牛文库文档分享第11页/共33页12为比较图形的对称性，规定：在作几何变换时，图形中有一点固定不动。(a)ABCD一个对称轴，旋转π角度。一种几何变换。(b)(1)(2)(3)(1)旋转π角度（2）旋转π角度(3)旋转π/2、π、3π/2角度五种几何变换。(c)无穷多种变换。(d)无几何变换可见，几何变换越多，对称性越高。第一章晶体结构

牛牛文库文档分享第12页/共33页13对称操作

——物体在一定几何变换下不变，称这个变换为物体的对称操作。对于晶格点阵而言，对称操作即为操作前后点阵不变。

正交变换

——在几何变换中若任意两点间的

距离不变，称这种变换为正交变换。在数学上可用正交矩阵表示。第一章晶体结构

牛牛文库文档分享第13页/共33页14一般几何变换可用矩阵表示。一矢量在oxy平面旋转θ角度，得到矢量例：第一章晶体结构xyoθ

与的关系为旋转θ角度可表示为矩阵

牛牛文库文档分享第14页/共33页15正交矩阵的性质即第一章晶体结构

牛牛文库文档分享第15页/共33页16几种简单操作的变换矩阵：(1)、绕Z

轴转动(2)、中心反映

第一章晶体结构

牛牛文库文档分享第16页/共33页17(3)、镜像反映(对称面为oxy

平面)第一章晶体结构

牛牛文库文档分享第17页/共33页18几个三维的实例1)绕三个立方轴转动：π/2，π

，3π/2，共有9个对称操作2)绕6条面对角线轴转动π

，共有6个对称操作1、立方体的对称操作

第一章晶体结构

牛牛文库文档分享第18页/共33页193)绕4个立方体对角线轴转动2π/3，4π/3，共有8个对称操作4)正交变换也是一个对称操作；

第一章晶体结构5)以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作——立方体的对称操作共有48个

牛牛文库文档分享第19页/共33页202、正四面体的对称操作

1)、绕三个立方轴转动π，共有3个对称操作；2)、绕4个立方体对角线轴转2π/3,4π/3，共有8个对称操作；

3)、正交变换也是一个对称操作；

4)、绕三个立方轴转动：π/2，3π/2，加上中心反演，共有6个对称操作；

5)、绕6条面对角线轴转动π

，加上中心反演，共有6个对称操作；因此正四面体的对称操作共有24个。

四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。

第一章晶体结构

牛牛文库文档分享第20页/共33页213、正六面柱(六角晶体)的对称操作

1)绕中心轴线转动——5个第一章晶体结构——3个——3个2)绕对棱中点连线转动

3)绕相对面中心连线转动

4)

正交变换5)以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作——正六面柱的对称操作有24个——1个

牛牛文库文档分享第21页/共33页22“对称素”——简洁明了地概括一个物体的对称性“对称素”

——一个物体的旋转轴、旋转－反演轴*对称素第一章晶体结构一个物体绕某一个转轴转动加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时——该轴为物体n重旋转－反演轴，计为一个物体绕某一个转轴转动，以及其倍数不变时——该轴为物体n重旋转轴，计为

牛牛文库文档分享第22页/共33页23立方体第一章晶体结构立方轴为4重轴，计为4同时也是4重旋转－反演轴，计为面对角线为2重轴，计为2同时也是2重旋转－反演轴，计为体对角线轴为3重轴，计为3同时也是3重旋转－反演轴，计为

牛牛文库文档分享第23页/共33页24正四面体体对角线轴是3重轴——不是3重旋转－反演轴

立方轴是4重旋转－反演轴——不是4重轴面对角线是2重旋转－反演轴——不是2重轴第一章晶体结构

牛牛文库文档分享第24页/共33页25第一章晶体结构对称素的含义——先绕轴转动，再作中心反演A''点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素存在一个对称面M一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群——对称素为镜面——用

or表示

牛牛文库文档分享第25页/共33页26三、周期性对对称性的影响晶格点阵的周期性排列会对对称操作有所限制。第一章晶体结构设AB为晶体中某一晶面上的一条晶列。由于周期性存在，有同族晶列格点的周期性相等(m为整数)(m为整数)从图中可知

牛牛文库文档分享第26页/共33页27所以(m为整数)

m

cosθ

θ

0-1

1

01023-14不可能但是n只能取：n=1,2,3,4,6第一章晶体结构虽然

牛牛文库文档分享第27页/共33页28旋转对称操作：晶格围绕一固定轴(二维：通过格点而且垂直平面；三维：晶向)

转动角度θ或-θ以后，晶格保持不变。

由于晶格满足平移对称性，所以，不存在5重轴。第一章晶体结构将晶体绕某轴转动，称为晶体绕n

度轴旋转，用Cn表示。

牛牛文库文档分享第28页/共33页29四、基本的点对称操作3、i(中心反演)1、E(不变)2、Cn(n度轴转动)n：2346C2C3C4C6(熊夫利符号)第一章晶体结构对应n=1，即没有操作4、(n度旋转轴，作n度旋转后再作中心反映)(m)(S4)最基本的点对称操作：E、C2、C3、C4、C6、i、m、S4

共8种(形成32种点群)

牛牛文库文档分享第29页/共33页30Cn(n度轴转动)

n：2346

C2

C3

C4

C6（轴的符号）(n度旋转轴，作n度旋转后再作中心反映)第一章晶体结构(m)(S4)

牛牛文库文档分享第30页/共33页31m：垂直于旋转轴的一个对称面(是基本的点对称操作，称镜像反映面)第一章晶体结构：实际上是中心反演(不是基本的点对称操作)

1'322'41≡3'≡5≡5'≡4'≡6≡