高等数学上ch1函数表达方式列举法和描述

函数概念、表示法特殊函数、特初等复合运算反函数、初等函§1.1实数集区间一 集表达方式：列举法和描述例 B{x|不大于10的奇数}运算：并集(), 常用实数 R,Z,N,N 等等二 区间与邻区 [a, (a,

(a,(,

[a,(,邻x0的邻

包含x0的任一开区间(ab称为x0的邻x0的0，N(x0,)

|x

|(

,

x0称为邻域中心，称为邻域半径x0的去心邻Nx0,x0|xx0|(x0,x0)(x0,x0一一函数的圆Sr定义

r

xX，按此法则 f,都有唯一确定的实数 y与之对应， y是x的函数，记为yf（x, xXx称为自变量，y称为因变量，Xf(x)为在x点处的函数值。 x在定义域中变化时fx的全体值的集合称为函数f的值域:fx|xX例 f(x) g(x)x由于定义域不同，f(x)与g(x)是两个不同的函自变量所能取的使算式有意义的一切实数x2例 f(x2

定义域为：(1(1)表示法（解析式f(x) 2x2表格表示法（列表法出（公里[0,(3,(4,(6,图形表示 y三、几种特分段函 不能用一个数学表达式来表重要不

y|x|x，xyO1x例 绝对值函yO1x例 绝对值函|ab||a||b1(|a||b|) |ab21Ox例2符号函1，1Ox例2符号函ysgnx0xxRxsgnx)|x|例3例3取整函. ..1y[x]n，x[n,n1)，n0,1,2, .1

1 例 莱函数D(x)

x注意：分段函数是一个函隐函由方程F(x,y)0确定y是x的函数yy(x)。 sin(xy)x2ln(x2y)参数方y(t由x(t)确定y是x的y(txcos xcos3例 ysin

表示单位

ysin3

表示星型四、函数的设fx在对称区间(ll上有(1)若x(l,l)，成立f(x) f(x)，则称f(x)为(l,l)内偶函。y0x(2x(ll)，成f(xfx)，则fx)为(ll)内奇y0x0x0xf(x)xy轴对

f(x)sin关于原点对若存在非零T，xXxTX且成立fxTf则称f(x)为X上的周期函数，T称为周期。例如f(x)cosx 例如f(x) 无最小正周期单调设fx)X上有定义，x1，x2X，（当）x1x2时，fx1fx2，则称fx)X上（严格）单调递增；x1x2fx1fx2，则fx（严格）单x1x2fx1（）fx2fx非严格单调递增(减)图形特f(f(x2f(x10xff(x1f(x20 x有界的函数值f(x)，都 |f(x)|fxX上有fx为有界函简略地MxX有|fx|M图形特

函数图像位于两条平行yM之间yMyx f(x)M则称f(x)有上界有下Nf(x)在X M0，x0X，有|f(x0)|M，则称f(x)在X 例例 讨论下列函数在定义域上的有界f(x) x

fxcos1x0解 M0，取 (0,1)，则有0M|f(x0)||M1|M1M，因此，f(

fx) (a1)（0a1）但但显然x都有|fx|cos1x

为什因此，fx有界。事实上，大于1fx 初等设函数

设yf(u)，ugx)虑fgxf(u)u23uf()()23()

f g(x)g( g(设函数yf(u)ugx

x

g(x)

f(g(x))上述过程就是fgx))称为f(x)与g(x)的复合函数。 其中u称为中间变量。

yf(g(注中间u作为自变量的定u作为因变量的值例如yarcsin(2x2 无意义一般fgxgfx)]推广设yf(w)w(u)u(v)vg则有yf((g例例 设f(x)的定义域为[1,1]，求f(2x) f(x1)的定义域解 12x1，即x1, 又1x1 即x[2, 定义域为1,1[2,0] 即1, 例例 |x|设f(x) |x|1，g(x)log2x，求f[g(x)] |x|

x

x2或0xfg(x)

log2x1

x2或x2

log2x

1x2例例设f1x(1x1x2 令u1 xf(u)

1u11

(1 1u21u1u21u1 例例 将下列函数分解为几个简单的函数的复（1）ycos2[ln(x24)]；（2）y1。1tan4解 yu2，ucosv，vlnw，wx2 yarcsinu，u1，v w，w1zvztan对于函数yf有时xy（唯一确定）例如yx3但也

例如yx2定义设函yfx)的定义域为D，值域为W。yW，能唯确定一个xD，使fx)y，若把y作为自变量，x作为因变量，则得到一个新的函数之为yfx的反函数，记为f1xf1(注单调函数必存在反函数f1的定义域为W，值域为D同一坐标系中yfxxf1y)的图形xf1y)改为yf1x)，则图形关于直线yx对称。反之不成立，例如y1x1。例例求y2x的反函 由y2x1解得：

x1(y2y1(x2例求y例求y x,1x22,4xxx分析：变量的变化范围x1时1x44x所以反函数为x

y1，1y16，16yy11y16 y,16y x或 y x 1xlog2x,16xa基本初等函数Cyxyaxylogxa三角函数，反。涉及到的非初

分段函数、积分上限函无穷函数项的双曲正弦shx双曲余弦