高中数学利用定积分证明数列和型不等式

仅供个人参考利用定分证明数列型不等湖北省阳新县高级中学

邹生书我们把形如(为数或

的不等式称之为数列和型不等式不式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中明难度较大往往令人望而生.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果下面举例说明供参.一(为数型例(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题.

)已正整数，证分这一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解若所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求证构函数

并作图象如图1所.因函数

在

上是凹函数，由函数图象可知，在区间

上的个形的面积之和小于曲梯形的面积，图1不得用于商业用途

仅供个人参考即

，因为，以所以

例2求.证而函数

构造函数在

，又，上是凹函数图知区

上的

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图2即，不得用于商业用途

仅供个人参考所以

.例3证。证构函数

，因，其函数凹函数，由图3可知，在区间

上

个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图即所以

二、不得用于商业用途

型

仅供个人参考例4若，证:.证不式链的左边是通项为

的数列的前

项之和，右边通项为

的数列的前

项之和，中间的

可当作是某数列的前

项之和故只要证当

时这三个数列的通项不等式

成立即可.构造函数为

的图象图4知区上曲边梯形的面积大小在以区间长度一边长右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式

成立，从而所证不等式成.图例（2010年考湖北卷理科第21题已知函数

的图象在点处的切线方程为不得用于商业用途

仅供个人参考（Ⅰ）用表出（Ⅱ）若

；在

内恒成立，求的值范围；（Ⅲ）证明:

本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏有合性强难大思维含金量高、区分度大等特点这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证.证明（Ⅲ不式列的前项和，我们也可把右边当作是通项为

左边是通项为的数列的前项和，当

的数时，，此式适合，故只要证当

时，

即，也就是要证.由此构造函数，作其图如图所由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即.不得用于商业用途

仅供个人参考图5而

，所以，故原不等式成立点本法另辟蹊径，挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义，通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题，解法虽然综合性强，但由于数形结合解法直观便于操作积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点，很值得品由例4例5可，要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题才能化繁为简为，精彩的解法不是空穴来风而是理性思维的必然结.作简：生书，男1962年12出生，湖北阳新县现任教于阳新县高级中学，中学数学高级教师，黄石市骨干教近四年来在《数学通讯》、《数学通报》、《中学数学教学参考》中学数学教学》中数学月刊》中学数学》中教研》中学数学研究》、《中小学数学》、《高中数学教与学》、《中学生数学》、《河北理科教学研究》、《数理天地》、《数理化解题研究》等近二十种期刊上发表教学教研文章百余篇，在人教网中学数学栏目发表文章二十多.不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudForschung,zukommerziellenZweckenwerden.Pourl'étudeetrechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.толькдлялюдей,которыеиспольз