高中数学新课标典型例题 两个基本原理

典例一例1在有的两位数中，个位字比十位数字大的两位数有多少个？分与：析个位数字，可分以下几类．个位是9则十位可以是，2，„中的一个，故有个个位是8则十位可以是，2，„中的一个，故有个与上同样：个位是的有；个位是有5；„„个位是2的只有1个由分类计数原理知，满足条件的两位数有11362

（个说：题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成之可以类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有类法里指对完成这件事情的所有办法的一个分类分类时首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准后在这个标准下进行分类次分类时要注意满足一个基本要求成件事的任何一种方法必须属于某一类并且分别属于同两类的两种方法是不同的方法有足这些条件才可以用分类计数原理．典例七例7(1)a、是整数且

a，以)

为坐标的点共有多少个？若

、

是整数，且

，

，则以

(x,)

为坐标的不同的点共有多少个？分：小题所处理的具体事情都可视为找满足条件的点的坐标题是点的坐标有多少个．(1)因为

a

、

b

互相制约，可以把点的坐标按

a

的取值进行分类，比如

，

b

可以取,2,3,

共五个值，，b以取2,,4

共四个值，以此类推，然后再用分类计数原理解题．因

、

的取值相互独立，可以把找点的坐标的过程分成找横坐标和纵坐标分别进行，然后用分步计数原理解题．解按

a

的取值分类：

时，b

有

个值，

2

时b

有

个值，

时，b

有

个值，

时，

b

有

个值，

5

时，

b

有

个值．用分类计数原理，所有满足条件的点的坐标共有：

(个)．(2)先确定

的取值，共有

1

个值，再确定

的取值，共有

1

个值，用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有

(个．说：例中找点的坐标，也可换成确定一个两位数，：个位、十位数字之和小

的二位数是多少个？按个位的取值进行分类：个位取0，位可取个数，个位取，位可取4个，以此类推，所有满足条件的两位数共有：

(个)．典例三例3二级一班有学生56，其中男生人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．分与：生人女生18人，由分步计数原理共有

684

（种）答：选取代表的方法有684种．说：本是用分步计数原理解答的，结合本题可以加深对“做一事，完成之需要分成步骤”的理解，所谓“做一件事，完成它需要分成步骤析，首先要根据问题的特点确一个分步的行标准其分时还要注意满足完成这件事情必须并且只需连续完成这对n个骤后，这件事情才算圆满成，这时，才能使用来法原理．典例九例9某脑用户计划用不超过元资金购买单价分别为60元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件和磁盘至少各买件则不同的选购方法种数有多少种？分：于该电脑用户买两种材料所用总钱数不超过元以购买软件和磁盘的数量互相制约，我们可以按购买软件的个数进行分类，用分类计数原理解题．解购买单片软件、盒装磁盘各2件需260元用钱总数不超过500元所以最多还可使用元按额外购买的单片软件的数目分类：购买件，磁盘不再购买；购买件，磁盘不再购买；购买件，磁盘不再购买或买1件购买件，磁盘不再购买或买1件或买2件；不购买，磁盘不再购买或买件、3件使用分类计数原理，不同的购买结果共典例二

（种例2在电键组A与B所成并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？解为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在电键组A有个键，电键组B中3个键，应用分类计数原理，所以共有：种接电源使灯发亮的方法。典例五例5在键组AB组成的串联电路中如，要接通

电源使灯发光的方法有几种？解只要在合上A组中两个电键之后，再合上B组个键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光，根据分步计数原理共有：×中同的方法接通电源，使电灯发光。典例八例8(1)名同学报名参加三项体育比赛人限报一项有少种不同的报名结果？(2)六名同学参加三项比赛，三个目比赛冠军的不同结果有多少种？分：可把报名过程分成六步，你可以充当一个体育班委的角色，先让第个人报名，有种不同方法，再让第二个人报名，然有3种同的方法，以此类推，用分步计数原理解题．本可视为通过比赛找出三个项目的冠军，仍然可以分为三步，第一步进行第一个项目的比赛，第二步进行第二个项目的比赛„„用分步计数原理解题．解(1)把报名过程分为六步，第一人报名有三种方法，第二个人报名有3种法，以此类推，不同的报名结果共有：36729种(2)把比赛决出冠军的过程分为三，先决出第一项目的冠军，有种果，再决出第二项目冠军，有6种结果，以此类推，比赛冠军的不同结果数为：

种．说：果去(中每人限报一项的要求，有多少种不同的报名结果？我们把三个项目记为、、c，样每个就有八种不同选择，分别为选、、选

、选

、选

、选

、选

abc

以及不选．再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有

6

种不同的投报结果．典例六例6同人写1张年卡，先集中起来，然后每人从中各1张人送出的贺年卡，则贺年卡不同的分配方式有（）A6种B9种．11种D种分：题完成的具体事情是四个人每人抽取一张贺问题是按照一定要求，抽取结果有多少种不同情况．我们可以把抽卡片的过程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此类推，但存在的问题是，我们把四个人记A

、

、

、

D

，他们的卡片依次记为

a

、b

、

、

，如果第一步

抽取

b

，接着

可抽

a

、

、

，有三种方法，而

抽

或

，

仅有两种抽法，这样两步之间产生影响，这样必须就

抽的结果进行分类．解：四人A，BC，写贺年卡分别是，b，d，当A贺年卡b，则B可拿c中的任何一个即B拿拿D拿或拿c拿a拿或B拿d，Ca，拿c，所以A拿b时三种不同分配方法．同理A拿，也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有＋＋种配方式．解2：让四人A，B，C，依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先有种，此

时写被A拿的那张贺年卡的也有3种同的取法．接下，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有

种．∴应选．说）本题从不同的角度去思考，而得到不同的解答方法用分类计数原理解答的，解法是用分步计数原理解答的．在此有必要再进一步对两个原理加以理解：如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．（2分计数原理来原理是推导排列数组合数公式的理论基础也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．（3如果把四个人依次抽取的结果用一个图表体现出来，就显得更加清楚．共有种不同结果．这个图表我们称之为“树形图决此类问题往往很有效，通过它可以把各种不同结果直观地表现出来．典型例题一例11(1)有4封需要寄出，邮局内共有三个邮箱，邮箱的功能相同．问共有多少种投信方法？名学分别报名参加学校的足球队篮队乒球队每限报其中的运动队．不同报名方法的种数是还4？分：两个问题有一定代表性．以(小题为例：需要完成的事件是把4封都投出去不是把3个箱都投上信上可以把封都投在一个邮箱里完成这件事，可以认为是分步完成的：把第一封信投出去，把二封信投出去，„„封信投出去．应用分步计数原理即可得出答案．(2)题完全相同，需要完成的事件是个学都报上名．解(1)完成这件事需分步即分4次信：把第一封信投出去，有种法；把第二封信投出去，有种投法；„„．故共有

4

种不同的投法．(2)共有

4

种不同的报名方法．说：类问题还可举出很多，例如教材上的习题个班分别从5风景点中选择1处游览选的总数是5还是53？解决问题的关键是牢牢抓完的事情是什本题要完成的事情是“

个各选一个风景点”，故可认为分三步完成．答案应是

．例12已知集合

典例十,1,2,4合各取一个元素作为点的坐标在面直角坐标系内一限不同的点共有多少个？分：题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点，但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标哪集合中选出的数作为纵坐标此法可分两类从

中选出一数作为横坐标，从

中选出一数作为纵坐标(2)从

中选出一数作为横坐标，从

中选出一数作为纵坐标．而每一类选法中又分两步完成．解选法分为两类：(1)先从

中选出一个数作为横坐标，有3种法

(1,

，再从

中选出一个数作为横坐标，有种选法

4)

（因为纵坐标必须大于0共

36

种选法．(2)先从B中出一个数作为横标，有4种选法(,24)，从中出一个数作为纵坐标，有种选法

3)

，故共有

4

种选法．根据分类计数原理，所有选法总数是个．

种，也即位于第一、二象限内的点共有说：类问题还可举出多例．如，用

3,5,7

作分子，用

,4,8

作分母可构造多少个不同的分数？但有一问题需要注意有的选法可能被重复计算了次这样在合计选法总数时就应该减去即多计算的那种选法从集合

中各取一个元素作为点的坐标位第一象限的点的个数是多少？如果按照例题的解法的个数应是

实际上

被计算了两次(2,2)(23)

，(

，

(2)

，

(,3)

，

2)

，

2)

，

,2)

．因此符合条件的点的个数应是个．例14用

典例十,1,,45这6个字：(1)可以组成______________个数字不重复的三位．(2)可以组成______________个数字允许重复的三数．(3)可以组成_个大于3000小于5421数字不重复的四位数．分析：第(1)第(2)小题可以认为从上面6个数中选出三个数去填三个空：，故应分三步完成．百位数不能填0，同时应注意数字可重复与不可复的

区别．第(小题应先分类再分步．解(1)分三步：先选百位数字，由不作百位字，因此有5种选法；再选十位数字由数字不允许重复，因只能从剩下的个数字中选一个，有5种法最选位数字，由于百位数、十位数已经选去数字，故只能从剩下的4个字中选一个，因此有4种法．由分步数原理得，所求三位数共有

100

个．(2)分三步：百位数字有5种法；由于数字允许重复，故十位数字有种选法；个位数字也有种选法．因此所求三位数有

个．(3)分四类：千位数字为

4

之一时，有

2

个；千位数字为

5

，百位数字为

,12,

之一时，共48

个；千位数字是

5

百位数字是

，十位数字是

之一时共有

1

个；最后还有也足条件．所以所求四位数共有

个．说：(1)数排列的问题，可以看成从所给定的数字中选出某些数来“填空方法在很多题目都会用到．例如后面“排列”中有一问题：从甲、乙、丙三名同学中选出名同学参加某天的一项活动，其中

名同学参加上午的活动，

名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法：可以看成是从“甲、乙、丙”三个元素中选

个去填空：第一个空有

种填法，第二个空有

种填法（因为当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学就只能从余下的

人中去选(2)在“选元素填空”时，一定要虑到元素允许重复还是不允许重复．典例四例有10本同的数学书9本同的语文书8本同的英语书从中任取两本不同类的书，有多少种不同取法？分：取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本；二、取语文、英语各一本；三、取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用分类计数原理即可得解．解取出本书中，一本数学一本语文有

90

种不同取法，一本语文一本英语有

72

种不同取法，一本数学，一本英语

种不同取法．由分类计数原理知：共有

7280

种不同取法．说：例是一个综合应用分步计数原理和分类计数原理的题目，在处理这类问题时，一定要搞清哪里是分类，哪里是分步，以确定利用加法或分步计数原理．典例十例15如把两条异面直线成“一对么棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（A12B24对．对D．解把六棱锥所有棱