高中数学知识要点重温(12)不等式的解法及其综合应用

12仅供个人参考12高中数学知识要点重（）不等式的解法及综合应用．分式不等式不能轻意去分母，通常采用：移项（化一边为零→通分→转化为式不等式等式两边同除，若它的符号不能确定即需要讨论序轴标根（注意比较个根的大小能比较时即需要讨论[别关注

[举例1]于的不等式ax-b的集是1,+于x的等式

axx

0

的解集）A．∞,-1)∪,+∞)B．(-1,2)CD．(-∞,1)(2,+解析：不等式ax-b>0的集是(1,+∞)

且，则不等式

axx

0

等价于：xx

或选A。[举例2]解于x的等式：

ax

解析：

a(a0[(axx以下不等式两边同除以，需讨论其正负若，等价于：

(

aa

0aa此时需知不等式相应的方程的两根x与的小，比差：aaa可见a>1时<,∴不等式的解为(-，∪（2，∞)a

，②若a<1，不等式等于：

(x

aa

0

）

xx

不式的解为：a（a<0，x不等式的解为,2ⅲ)若a=0,不式等价于：a(x2)

，不等式的解为综上所述：时等式的解(-，

aa

)∪（∞)；a当0<a<1时不等式的解为a=0时不等式的解为aa（a

；当时等式的解为：[巩固1]不等式

x

2

1a)的解为ax，则a的值范围是a[巩固2]关于的不等式：

xx

[迁移已

an

1011

)

n

（

*

数列

{}

最大项为第项不得用于商业用途

仅供个人参考．绝对值不等式的关键值”，通常有①利用绝对值不式的性质：若M>0|f(x)|>Mf(x)>M或；②平（不等式两边同正讨论（绝对值内的式子为0[举例设p：x

－x：

1x

<0,pq)（A充分不必要条件（B）必要不充分条件（）充要条件（）既不充分也不必要条件解析：p：∞∪，；以下对命题中不等式去绝对值）x≥0时原不等式等价于：

2x

<0

(x2)(x0-1<

<1或

>2注意到

≥0，∴x<1或）<0时原不等式等价于：

<0

(xx0-1<

<1或

；注意到

∴

<0或

；∴q:(-，-2)∪(-1，∪(2，∞)可见：pq,选A[巩固不等式

xx|

的解集是

[迁移已知函数

fx)

在

(

上是增函数A-2),B(4,2)是图象上的两个点，那么不等式f(2

的解集是．分段函数形成的不等式一般分段解，再取并集；对较为复杂的分段函数问题可以助于图象解决。[举例1]函数

(x0)f(x)x(

，若

f)

则x取范围是（）0A

，）∪（，

）

B

，）∪（0，

）C，0∪（，）

D-1）（0，解析：若<0，则f(x)=lg|x|>0|xx<-1；若x≥0，f(x)=000

x0故选[举例2]知：函数

f(x)

,,x

()（a不等式：．不得用于商业用途

22仅供个人参考22解析）时，即解

a

ax2x

，此时不等式恒成立，即；（ⅱ）当x时即解

x

xax

0

，∵∴

0x2或xa

．综上：不等式的解为：

([巩固1]函数

f()xx

，则使

f()

。则x的值范围（）0A（

][0B（

][0,1]

C（

D[-20][1[巩固2]知

f(x)

1,0,

则不等式

xx2)(

≤5解集是．抽象函数的不等式离不开函数的单调性。抽象函数的不等式反映出的函数值的小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小别意定义域抽象函数的概图是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。[举例1]知奇函数在。

(

为减函数，则等(的集为：y解析：作函数f(x)的“念图如右：先求不等式的：当x>0时（y轴右侧），f(x)<0(x轴下方，

-2

x∴x>2当时y轴侧），f(x)>0(x轴方)，∴；可见不等式xf(x)<0解为：或x>2（也可以根据满足不等式xf(x)<0的数图象上的点横、纵坐标异号，看图象在第二、四象限的部分得出）。再将x换得：或x-1>2即或x>3。[举例2]知函数fx）对任意实数、y均f（x＋y）＋＝f（x）＋f（y），且当，f(x)>2，＝5求不等式fa

－2a－）<3的解析：正比例函数满足：f（＋y＝f（x）＋fy，本题中函数可为次函数。解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；用定义：任取<x，-x>0,则f(x-x)>21121

f(xf(x；f(x+y)+2＝f(x)+f(y)取得f(0)=2,再取y=-x221得即f(-x)=4-f(x),∴有f(x)>42

f(x)>f(x)2

f(x)在R递增又f(3)=f(2)+f(1)-2=f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4=5；于是：不等式f(a-2a-2)<3不得用于商业用途

22仅供个人参考22等价于f(a-2a-2)<f(1)2。注：（ⅰ）已知抽象函数的运算性质，常“赋值法。（ⅱ）有具体函数背景的抽象函数问题，如果是客观题，可以用具体函数求解。如本题：可设kx+b,据条件求出k、，解不等式。[巩固1]已知yfx)是偶函数yg()

是奇函数，它们的定义域均为

[

，且它们在

x[0,

]

上的图象如图所示，则不等式

fx)gx)

解集是[巩固2]知定义在正实数集上的函数

f(x

满足①若

>1,

f(x

<0；②

1f()2

；③对定义域内的任意实数，y，有：

f(xy(x)f()

，则不等式

f(x)f)的解集为。．决含参变量的无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指（对数）不等式问题时常用数形结合。[举例1]等式

1

在[-1，上成立，则的值范围是解析：分别作函数1

和

yx

的图象如右，前者是以原点为圆心的单位圆的上半部分，后者是斜率2x的解即半圆在直线为直线。不等式

-

O

1的下方的点的横坐标；不等式恒成立即半圆都在直线的下方，由图可见，只需直线在与圆相切的位置的上方，即

a

2

。[举例2]若等式

x

3

的解集[，，则实数的取值集合是

P解析：分别作函数

和yax

的图象如右，12前者是双曲线x=1的x轴方的部分，后者是过原点的直线。不等式

3ax

的解即双曲线在直线下方的点的横坐标；如图所示，不等式的解集[，2]即两图象交点的坐标为2，分别代入不得用于商业用途

2xaB22仅供2xaB22两函数表达式，得：

23a，

12

[巩固1]等式x(0)

的解集是（）A

C

xx或x

D

[巩固2]于的不等式

x

2

log(a

在（0）上恒成立，则的取值范围是。遇含参不等式恒成立求参变量的范围问题，通常采用分离参数法，化为求某函数的最大值（或最小值体：g(a)>f(x)在∈A上成立，g(a)<f(x)在x∈上恒成立

(x∈A)。当变量难以分离时可以用f(a,x)>0在x∈上成立minf(a,x)(x∈A)及在∈A恒成立(x∈来化；还可以借助minmax于函数图象解决问题。特别关注不式f(a,x)≥0对有xM恒成与不等式f(a,x)≥0对所有∈M恒立是两个不同的问题，前者是关于x的不等式，而后者则应视为是关于a的不等式。特别提醒判式只用于二函数对一切实数恒成的题，其它场合，概不适用。[举例1]定义在R上函数为奇函数，且在[0，

)

为增函数，对任意

∈，等式f(cos2-3)+f(2m-sin)>0恒立，则实数m的值范围是解析：∵函数f(x)为奇函数且在[0+)增函数，易见：函数为在（0]上增，∴函数f(x)在

，

)

上递增；不等式

成立

不等式f(cos2-3)>f(-2m+sin恒成立不式cos2成恒立记g(+2=2(sin

115),=g(1)=54∴

52

[举例2]奇函数

f(x)

在[-1，1]是增函数，且

f(

，若函数

f)

2

对所有的

x[

及所有的

都成立，则

t

的取值范围是；解析：先视x为主元，关于x的不等式

f)

2

对所有的

x[

横成立

(x)

max

at

，又

f)

在[-1上递增，∴

f()

max

(1)

，即：t

2

≥1，在视a为主元，关于a的等式

t

2

at

≥0对有的

都成立，记-2ta+t，此时分离参数（t或求函数g(a)最小值均需讨论，但如果注意到函数g(a)是一次函数，其图象是一条直线，则1)≥0且g(1)≥0得或≤-2或。[巩固是偶函数，且f(x)[+

)

上是增函数，如果≤f(x-2)[

12

1]上成立，不得用于商业用途

仅供个人参考则实数a的值范围是。[巩2]]对足

P

的实数做

x

4P

恒成立的x的值范围是：

[

C.

((3,

([迁移已知函数

f()

1x33

，直线

l

：

x0

，若当

x[2,2]

时，函数

yx)

的图象恒在直线

l

的下方，则

的取值范围是、[巩固（

简，）∪（0，1巩2]当时等式的解为{x|x<1}；当不等式的解为{x|

aa

a；时等的解为{x|x<1或x>}[移]。a、[巩固]

{|xx

，[迁移]（，、[巩固1]C，[固2]（

，

32

]、[巩固1]

(

(3

[巩固2]

∈

[4,5)

；5[巩固1]A，[巩固2]{1，

]．[巩固1][-2，0][固2]C,[移]（-6）不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zuk