(人教版)直线与方程预习提纲-人教版高中数学必修2教案全部

直线与方程教案

例1：已知直线/］的倾斜角5=30°,直线-Li，求小%的斜率。

例2：一条直线经过点P(—2,3),倾斜角a=45°,求这条直线方程，并画出图形.

例3：三角形的顶点是4—5,0)、B(3,一3)、C(0,2),求这个三角形三边所在直线的方

4

例4：已知直线m的倾斜角。的余弦值等于§,在y轴上的截距为-2,求直线方程。

例5：求过点P(-5,-4),且与y轴夹角为y的直线方程。

例6：一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形面积为1,求这直线的方

程。

例7：求通过点P(2,3),并在两坐标轴上截距相等的直线方程。

例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。

例9：已知直线/在x轴上的截距比y轴上的截距大6,且过点(4,4),求其直线方程。

4

例10：已知直线经过点4(6,4),斜率为一力，求直线的点斜式和•般式方程.

例11：把直线I的方程x—2y+6=0化成斜截式，求出直线/的斜率和它在x轴与y轴上的截

距，并画图.

例12：直线/过P(3,2)且与/'：x+3y-9=0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形,

求直线/的方程。

例13：已知点P(6,4)和直线*y=4x,求过P点的直线/,使它与直线人以及x轴在第

一象限内围成的三角形的面积最小。

例14：若一直线/被直线/|：4x+y+6=0和/?：3x—5y—"6=0截得的线段的中点恰好在坐

标原点，求这条直线方程。

例15：已知直线方程/|：入一4)，+7=0,/2：x-2y+5=0,证明/|〃6

例16：求过点4(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线的方程.

例17：求与直线人Ax+By+C=0平行的直线方程。

例18：求和直线2x+6y—11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。

例19：AABC中，A(l,1),B(3,5),C(5,一1),直线？〃AC,且1平分^ABC的面积,求I的

方程。

例20：求过点A(2,1),且与直线2x+y—10=0垂直的直线/的方程.

例21：已知三角形两顶点是A(—10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),求第三个顶点C的坐标。

例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:

/1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0

例23：已知两条直线Z：x+my+6=0,72：(m—2)x+3y+2m=0,当m为何值时，/与4(1)

相交(2)平行(3)重合

例24：已知两条直线Z：x+m7+6=0,乙：(m—2)x+3my+2m=0,问当m为何值时,

1、与12(1)平行(2)重合(3)相交

例25：求点R(-1,2)到下列直线的距离:

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.

例26：求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.

例27：已知Z：Ax+By+G=O,h：Ax+By+C2=O,求人与4间的距离。

例28：求与直线3x-7y+5=0的距离为2的直线方程。

例29：求两直线K：x+y—2=0,6：7x—y+4=0所成角的平分线方程。

例30：求过点P(1,2)且与两点A(2,3),B(4,-5)距离相等的直线/的方程。

例31：求过点P(1,1)且被两平行直线3x—4y-13=0与3x-4y+7=0截得线段的长为

4-72的直线方程。

例32：求经过两已知直线Ax+3y+5=0和6：x—2y+7=0的交点及点A(2,1)的直线

/的方程。

例33：设直线方程为(2m+1)x+(3m—2)y—18m+5=0,求证：不论m为何值时，所

给的直线经过一定点。

4

例4：已知直线m的倾斜角。的余弦值等于弓，在y轴上的截距为一

2,求直线方程。

,4

解：•「cos。=5,0W9<Ji

33

k=tane=a，得'=Wx-2

JI

例5：求过点P(-5,-4),且与y轴夹角为y的直线方程。

x—小丫+5—4小=0或x+小y+5+4小=0

例6：一条直线经过点A(—2,2),并且与两坐标轴围成的三角形面

积为1,求这直线的方程。

解法一：设直线方程为；=1，则有:

2Iab|=1

解得a=—1,b=—2或a=2,b=1

•••直线方程为七+七=1或5+申=1

解法二：令y—2=k(x+2)

2

从y=0得X=一小—2

从x=0得y=2k+2

二•JI(r+2)(2k+2)I=1

，K

得k=-；或k=—2

例7：求通过点P(2,3),并在两坐标轴上截距相等的直线方程。

解：设直线方程为：=1，则有:

23

T+-=1得a=5

dd

.,•直线方程为1+^=1

又：直线过原点k=|y=|x

例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。

解：设直线方程为y=kx+b,则有:

km

y=kx+

^/1+k2

例9：已知直线/在x轴上的截距比y轴上的截距大6,且过点(4,4),

求其直线方程。

解：设直线方程为y—4=k(x—4),则:

4

(4—工K，0),(0,4-4k)

41

.*.4—r=4—4k+6得卜=2或卜=—5

即y-4=2(x—4)或y—4=—；(x—4)

4

例10：已知直线经过点4(6,-4),斜率为一可，求直线的点斜式和一般式

方程

4

解：经过点A(6,—4)并且斜率等于一方的直线方程的点斜式是：

4

y+4=—§(x—6)化成一般式，得4x+3y—12=0.

例11：把直线/的方程x—2)，+6=0化成斜截式，/

求出直线I的斜率和它在光轴与y轴上的截

^＜一一

距，并画图.

解：将原方程移项，得2y=x+6

两边除以2,得斜截式y=；x+3

因此，直线/的斜率左=；,它在y轴上的截距是3,

在上面的方程中令y=0,可得尤=—6,即直线/在x轴上的截距是

-6.

由上述内容可得直线/与x轴、y轴的交点为A(-6,0)、B(0,

3),过点4、8作直线，就得直线/.(如右图).

例12：直线/过P(3,2)且与/'：x+3y—9=0及x轴围成底边在

x轴上的等腰三角形，求直线/的方程。

解法一：求k

解法二：求/与x轴的交点坐标

例13：已知点P(6,4)和直线。：y=4x,求过P点的直线/,使它

与直线/,以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。

解：设/与。的交点为Q(X],4xi)(xj>l),则直线/的方程为y—4

4x]—4

(x-6)

X|-6

/与X轴的交点为R(—7,0)

xi—1

a_Wxii

X|-l

10x/—Sx】+S=0

由△》(),得：S240

当S=40时，Xi=2,此时:

x+y-10=0

例14：若一直线/被直线/i：4x+y+6=0和，2：3x—5y—6=0截得

的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。

解：设/：y=kx

,fy=kx/口6

山14x+y+6=0倚

,fy=kx6

由f3x-5y-6=0得*=3—5k

•—工+3-0k——‘

,,4+k十3—5k—u6

得/：x+6y=0

例15：已知直线方程/i：2x-4y+7=0,/2：%—2》+5=0,证明(〃为

1715

证明：把"、。的方程写成斜截式6：y=］工+1，%：y=2x+2

vk}=k2,bxb2,Zj〃l2

例16：求过点/(I,-4)且与直线2x+3)，+5=0平行的直线的方程.

2

解：已知直线的斜率是一9,因为所求直线与已知直线平行，因此它的

斜率也是一：2.

根据点斜式,得到所求直线的方程是：y+4=-|(x-l)

即2x+3y+10=0.

例17：求与直线/：Ax+By+C=0平行的直线方程。

A

解：V所求直线1的斜率k=-p

JD

•••所求直线方程为：y=—1Ax+b

即：Ax+By—Bb=0

也就是Ax+By+b'=0

例18：求和直线2x+6y—11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积

为6的直线方程。

解：设所求直线方程为2x+6y+b=0

则有：(0,—1),(―1,0)

.1b2

S=212=6

b2=144b=±12

即：2x+6y+12=0或2x+6y—12=0

例19：4ABC中，A(l,1),B(3,5),C(5,—1),直线/〃AC,且/平分

△ABC的面积，求1的方程。

-1-11

解：••k=

设/：y=—；x+b且交AB于D

•••/平分4ABC的面积

.BD_1BD1

=m+1

,,BA=V2DA=^2-1

4-I-、/26——2

..•D点坐标：x,y-2+也

则:工|=-

2十

得心”也

A7：x+2y—13+5也=0

例20：求过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线/的方程.

解：直线2x+y-10=0的斜率是-2,因为直线/与已知直线垂直，所以它

的斜率为:』gg

根据点斜式，得至IJ/的方程：y—l=gx—2),即x—2y=0.

解法二：设所求直线方程为X-2y+b=0

则：2-2Xl+b=0得b=0

:•1:X—2y=0

例21：已知三角形两顶点是A(—10,2),B(6,4),垂心是H(5,2),求

第三个顶点C的坐标。

=

解：*.*1<BH2•**RAC二一2

_

7AC：y2=—；(x+10)

又8(；〃丫轴AC(6,-6)

解法二：•.•kw=1kcll=-8又H(5,2)

o

7CH：y—2=—8(x—5)

又区〃丫轴AC(6,-6)

例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：

/1\x—2y+2=0,:2x—y—2=0

解:解方程组［iy+2=。得f=2

2x-y-2=0Iy=2

所以，，与心的交点是(2,2).

设经过原点的直线方程为>=丘，把点(2,2)的坐标代入以上方程,

得k=l,所以所求直线方程为y=工

例23：已知两条直线7i：x+my+6=0,72：(m—2)x+3y+2m=0,当

m为何值时，，与12(1)相交(2)平行(3)重合

解：当亲=段时，=y,解得m=—1或m=3

当》="时，—\=袅，解得m=3

A2C2m—22m

(1)当mW—1且m#3时、Z与Z；相交

(2)当m=-1时，1J/k

(3)当m=3时，Z与乙重合。

2

例24：已知两条直线7i：x+my+6=0,72：(m—2)x+3my+2m=0,

问当m为何值时，

，与h(1)平行(2)重合(3)相交

解：当m=0时，71：x+6=0,72：x=0,此时1\//12

当mWO时,\2=瞿得m=3或m=—1

吟记得m=3

二.(1)当m=0或m=-1时、1J/h

(2)当m=3时，4与乙重合

(3)当mWO,mr—lJlmW3时，力与相交。

例25：求点R(-1,2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.

解：⑴根据点到直线的距离公式得d」2x(「)+2T01=半=2后

V5

(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=g—(—1)=；.

例26：求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.

解:在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取户⑶0),则点尸(3,0)到直线

2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此：

1_|2x3-7xO+8|__M__14屈

’一汇+(—7＞一万—53•

例27：已知li：Ax+By+G=0,J2：Ax+By+C2=0,求Z与乙间

的距离。

略解：(0,—)ez

D

「____________

2222

d=|A•0+BX)+C2|/A/A+B=IC2—C"/^/A+B

例28：求与直线3x-7y+5=0的距离为2的直线方程。

解：设P(x,y)是所求直线上一点，则：

I3x-7y+5I_2

A/9+49--

I3x-7y+5I=2^58

3x-7y+5±2•=0

例29：求两直线。：x+y—2=0,/2：7x—y+4=0所成角的平分线方

程。

解一：设P(x,y)是角平分线上任意一点，贝小

Ix+y-2II7x-y+4I

.=5也何§(fx+y-2)-±(7x-y

+4)

即：x~3y+7=0(舍)或6x+2y—3=0

解二:'；*-1,k2=7

攵+17—k1

•*.■；7=1/得k=c(舍)