2016年MBA考试《数学》基础知识复习资料必备手册

第一章实数的概念性质和运算

内容要点

一、充分条件

定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。即A=B,这时我们就说A是B

的充分条件。

例如：A为x>0,B为d>0.

由x>0nx2>0A是B的充分条件.

MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：

本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必

要）

在这类题目中有五个选项，规定为

(A)条件(1)充分，但条件（2）不充分；

(B)条件(2)充分，但条件（1）不充分；

(C)条件(1)和（2）单独都不充分，但联合起来充分;

(D)条件(1)充分，条件（2）也充分；

(E)条件(1)和(2)单独都不充分，联合起来也不充分.

—、实数

1、数的概念和性质

（1）自然数N、整数Z、分数依（百分数%）

n

（2）数的整除：设Va,beZ且bWO若mpez使得a=pb成立，则称b能整除a,或

a能被b整除，记作b|a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。

定理（带余除法），设a,beZ,且b>0,则mP,rWZ使得a=bP+r,OWr<b成立,而且P、

r都是惟一的，P叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得到的余数.

（3）质数与合数

质数：如果一个大于1的整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（或

素数）.例如:2、3、5、7、、、.

合数：一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除.这样

的正整数叫做合数.例如:4、6、9、、、.

（4）有理数与无理数

有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数.

无理数；无限不循环小数叫做无理数.

（5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示.

2、实数的基本性质：

（1）实数与数轴上的点一一对应.

（2）Va,bGR,则在a<b,a=b,a>b中只有一个关系成立.

（3）Va€R,则a?2。.

3、实数的运算.

实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。

卜面讨论实数的乘方和开方运算

（1）乘方运算

考试信息交流-各种讲义资料-历年真题

当aGR,a#0时，a°=l,晨'=5,负实数的奇数次暴为负数；负数的偶次数靠为

正数。

(2)开方运算

在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，它

们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。

在运算有意义时，/=而

三、绝对值

1、定义实数a的绝对值，用Ia|表示

几何意义：数轴上表示数a的点A到原点。的距离。

2、性质

(1)|a|20

(2)|-a|=|a|

(3)-|a|WaWIa|

(4)|x\<a

\x\>ax<一。或x>a

(5)|a-b|=|a|-|b|

(6)-=1-1(aWO)

a\a\

(7)|a+b|W|a|+|b|,当且仅当a,b同号时，等式成立.

(8)|a-bIIa|-Ib|,当且仅当a,b同号时，等式成立.

(9)@曰时・，|a|2=a2

四、平均值

1、算术平均值：n个数内,超,％的算术平均值为元=*+/+-“+八=’之苦

nn,=i

2、几何平均值：n个正数而，龙2……x"，的几何平均值为

G=n/xi-x2-x3-...-xn=

五、比和比例

考试信息交流-各种讲义资料-历年真题

、1、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比记做a:匕、即a-.b=-

h

a叫做比的前项，b叫做比的后项，若q的商为k则称k为的值。

b

2、比的性质

(1)a:b=k=a=kb

(2)a:b=ma:mb(mWO)

3、百分比

把比值表示成分母为100的分数，这个数就称为百分比或百分率，如1:2=50%

a.,力二r球表述为a是。的r%,即a=b-r%.

4、比例的定义

如果两个比a:b和c:d的比值相等，就称a、b、c>d成比例，记作

ac

a:6=c;d或一二一。和d叫做比例的外项，。和c叫做比例的内项。

bd

当a.力=84时，称6为a和，的比例中项即lf=ad

(甲)典型例题

一、充分条件判断，举例

1、方程x-5x+6=0

(1)产2(2)x=l

解:将⑴x=2代入方程,2?-5x2+6=0满足方程.

条件(D充分.

将⑵产1代入方程12-5x1+6=200条件⑵不充分.答案应选A

注：若比题题干不变

所给出的条件有如下变化时：X2-5X+6=0.

()(1)产1,(2)户3答案应选B

(-)(1)A=2(2)尸3答案应选D

(三)(1)产0(2)户1答案应选E

2、等式xw成立(x,y实数)

(l)x^/⑵X和了同号

解：山X?守二产/或条件⑴不充分.x和y同号时,可能x。-y,条件⑵不充分.

但条件(1)与(2)联合起来，xLy2且x与y同号=>*=丫故答案选C

3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高

(1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成；

(2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成；

解:设甲单独录入需x小时录完,乙单独录入y小时录完.

由条件⑴丙每小时录入量为』-L再由条件⑵得工+d-』)=■=>'=_L+方=>

3xy3x4xy

考试信息交流-各种讲义资料-历年真题

即：甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量.

即：甲的效率比乙高，此题应选C

二、实数

5、从1到105的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（）

（A）58个（B）57个（C）56个（D）49个（E）47个

解：能被3整除的数可表示为3k,k=l,2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整

除的数可表示为5k,k=l,2.....21是1到105能被整除的数.

3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一•定是15的倍数，可表示为

15k,k=l,2....7是从1至IJ105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的个数

为35+21—7=49个答案是D

5、（充分性判断）（2009年10月考题）

m是一个整数。

（1）若m=K,其中p与q为非零整数，且而是一个整数。

q

（2）若m="，其中p与q为非零整数，且四主±是一个整数。

q3

解：由条件（1）,若m=£,知m是有理数，又痛是一个整数，即有理数的

q

平方是整数，则该有理数m必是一个整数，条件（1）充分

由条件（2）,若m=nt,知m是有理数，又9丝>77工-4-42=z是一个整数，即2m+4=3z

q3

O01=工3z-^4故m不一定是一个整数，条件（2）不充分，故选A.

3

6、（2008年10月考试）

一个大于1的自然数的算术平方根为a,则与这个自然数左右相邻的两个自然数的

算术平方根分别为（）

（A）Ja-1,4a+1（B）a-\,a+1（C）Ja-1,Ja+1,（D）y/a2-1,

1a~+1（E）

解：设n是大于1的自然数，4n=a^\n=a1九一1,〃+1分别为/一1,力+1,

从而〃—1,〃+1的算术平方根分别为,7a2+1故选D

7、把无理数JR记作。，它的小数部分记作6则a等于()

b

(A)-1(B)1(C)-2(D)2(E)-3

解：因为9<13<16所以3<A/13<4，故旧的整数部分是3，即b=a-3.所以

44a?一3a-4_13-3屈-49-3屈

a——=a--3,答案选E

bci—3a-3-V13-3-V13-3

三、绝对值

8、已知Ix-y-6I+(x-4y)2=0,则log，产

解：由|x-y_6|20,(x_4y)220

x-y-6=0x=8

=>log8=3答案：3

x-4y=02

9、求适合下列条件的所有x的值

(1)Ix-6\=10

(2)|x-6|<9

(3)|x-6|>l

解：⑴x—6=±10得x=16或x=-4

(2)-9<%-6<9=>-3<x<15

(3)x-6<--6>1=>x<>7

10、已知|2二1|=匕2,求x的取值范围.

22

解：已知等式可能简化表示为IaI=-a,应有a<0

3x-l/1

由4-----<0=>Ax<-

23

所以x取值范围是xe(—8,；］

11、(2001年考题)

已知

Ia|=5,|b|=7,ab<0

则|a-b|=()

(A)2(B)-2(C)12(D)-12(E)6

解：由ab<0则可知。<0,6>0或。>0,6<0

当a<0时人〉0时由Ia|=5Ib|=7得a=-5b=7

从而Ia-bI=|-5-7|=12

当a>0,b<0时得a=5,b=-7

从而Ia-b|=|5-(-7)|=12所以答案选C

12、(充分性判断)

方程f(x)=2有且只有一个实根

(1)/(x)=Ix-3|+2

⑵/(x)=|x-3|

解：由(1)得

卜―3|+2=2得卜一3|=0,x=3,条件⑴充分

由(2)|x-3|=2,

此方程有两个实根：%,=1X2=5所以条件(2)不充分，此题应选A

13、(充分性判断)(2003年考题)

不等式Ix-2|+|4-x|<s无解

(1)s<2(2)s>2

解：Ix-2|+I4-x|>|x—2+4—x|=2

B|J|x-2\+I4-N的最小值为2,显然当sW2,不等式无解，即条件(1)充分

当s>2时;不等式有解，即条件(2)不充分，所以选A

三平均值

14、将一长为a的线段截成为x和a-x,使x恰是a与a-x的几何平均值，我们称对

任意一个量a的这种分割为黄金分割，试求x

解：由已知，得彳=Ja(a-x)

两边平方整理得

X~+CLX—〃~=0

-1±V5

x=------a

2

舍去负值，即犬=—1+-^-a«0.618tz

2

15、（问题求解）

车间共有40人,某次技术操作考核的平均值成绩为80分,某中男工平均成绩为83分，

女工平均成绩为78分，该车间有女工（）

（A）16人（B）18人（C）20人（D）22人（E）24人

解：设该车间有女工*人，则有男工（40-x）人

由已知女工的平均成绩为78分，女工所得总分为

80x40-83（40-x）=83x-120

83x-120,

IL~lOo

故X

x=24

故此题应选E

16、（2006年考题）

如果西,马,工3三个数的算术平均值为5,则玉+2,/-3,%3+6与8的算术平均值为

（）

（A）3-（B）6-（C）7（D）7-（E）9-

4225

解：由己知"々+工=5

3

即王+々+》3=15

因U匕（X]+2）+（工2-3）+区+6）+8_X|+々+£+13_28_7

4―4一了一

所以选C

17、（充分性判断）

a与b的算术平均值为8

（1）a,b为不等的自然数，且，的算术平均值为,

ah6

（2）a,b为自然数，且,，工的算术平均值为L

ab6

解：由条件（1）知！（'+'）=,=〃。=3（〃+。）

2ab6

又因a,8是自然数，故a,b中至少有一个是3的倍数

不妨设a为3的倍数，即衣3衣（衣为自然数）

则=

k-1

由于女与互质，所以斤1必为3的约数.

又因a>3所以股1>0因此上1=1或kT=3

即h2或A=4

当心2时宏6,"6,此时a,6的算术平均值为6不是8

当斤4时年12,左4

此时aWb故土也=8

2

所以条件（1）充分，条件（2）不充分，故选A

18、试判断x与|x|与J-x|N三个数的算术平均值与x的大小关系

解：因为x|有意义,所以xWO|x|=-x

于是算术平均值a=X+-+E=X…J（T）（-X）二

333

7H>0X<0

所以mNx（当且仅当x=0时等号成立）

四比和比例

19、设一：!」=3:4:5,求使工+丁+2=141成立的z值

尤yz

解：由已知条件，设L=3f,'=4r,」=5f

xyz

所以x=',y=-5-,z='•代入x+y+z=141得

3r4r5t

111,“，

—+—+—=141

3fAt5t

1

=>t---

180

1180»

所以rz=—=---=36

5t5

20、一公司向银行借款31万元，欲按的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间

235

进行技术改造，求甲车间应得的款数.

解：设甲、乙、丙三个车间应得的款数依次为1万元，L万元，L万元，于是有人+人

23523

+—=31

5

f=30

故甲车间应得—=15（万元）

2

21、（问题求解）（2009年考题）

某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为19:12,由于先增加若干女运动员，于是

男女运动员比例变为20:13,后又增加了若干男运动员，于是男女运动员的比例最终变为

30:19,如果后增加的男运动员比先增加的女运动员才多3人，则最后运动员的总人数为（）

（A）686（B）637（C）700（D）661（E）600

解：设原男女运动人数分别a与6,后增加女运动员x人，增加男运动员为y人

a19

~b~l2

a_20

则有，=Ti解得x=7,y=10,a=380/=240

a+y30

b+x19

y=x+3

从而最后运动员总人数为380+240+7+10=637（人）

所以选B

22、（问题求解）（2005年考题）

甲，乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10:7,要使这两个仓库的库存煤量相等，甲仓

库需向仓库搬入的煤矿量占甲仓库库存煤量的（）

（A）10%（B）15%（C）20%（D）25%（E）30%

7

解：设甲仓库存煤矿量为a吨，则乙仓库存煤量为一。吨，现从甲仓库运走x吨，依

10

题意

7c3

Q—X=—。+X2x=—d

1010

x15

所以-=—=15%故选B

a100

23、（充分性判断）（2003年考题）

某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲、乙、丙三个

工厂按比例分别得到36万元，24万元和8万元

（1）甲、乙、丙三个工厂按工：工工的比例分配贷款.

239

（2）甲、乙、丙三个工厂按9:6:2的比例分配贷款.

解：设甲、乙、丙三个工厂分别得到贷款为x、y、z（万元）

由条件（1）知xy='f,z=」-

2-39t

111/C”

+•-z=68=>/=72

239

于是x='f=36,y=2f=24,z=8（万兀）条件（1）充分

239

由条件（2）设一份贷款为a（万元），

则x-9a,y=6a,z-2a

9a+6。+2。=68na=4

于是x=9x4=36,y=6x4=24,z=2x4=8（万71S）条件（2）也充分，所以选D

24、（充分性判断）

一轮船沿河航行于相距48公里的两码头间，则往返-共需10小时（不计到达码头后停

船的时间）

（1）轮船在静水中的速度是每小时10公里

（2）水流的速成度是每小时2公里

解：条件（1）和条件（2）单独都不充分

48

联合条件（1）和条件（2）,则轮船顺水流行驶需-----=4（小时），而往返共需4+6=10

10+2

（小时），所以选C

25（问题求解）（2007年考题）

完成某项任务，甲单独做需要4天，乙单独做需要6天，丙单独做需要8天，现甲、

乙、丙三人依次一日一轮地工作，则完成该项任务共需的天数为（）

212

（A）6-（B）5-（C）6（D）4-（E）4

333

解：甲、乙、丙三人的工作效率分别为

468

即—故甲做2天，乙做2天，丙做1天，还剩—,剩下的由丙完成，

24242424

需要［-+■=！，一共2+2+1+1=5，所以选B

248333

练习1

一、问题求解

1、已知Ix-l|+（y-2）2=0,那么!-4的值是（）

厂厂

31(E)

(A)4(B)3(C)-(D)-4

44

2、使得——)的值不存在的x是()

Ix-3|-3

(A)0或1(B)6或1(C)6或0

(D)1(E)2

3、若|x—4|+|3-M=1,则x的取值范围是()

(A)x<3(B)x<4(C)3<x<4D)3<x<4(E)x>4

4、已知a,b,c是三个正数，且a〉〃〉c若a,b,c的算求平均值为一，几何平均值4

3

且瓦c之积恰为。则a,b,c的值依次为()

(A)6,5,3(B)12,6,2(04,2,8

(D)8,2,4(E)8,4,2

5、某商品单价上调15%后，再降为原价，则降价率为()

(A)15%(B)14%(C)13%(D)12%(E)11%

6、今年王先生的年龄是他父亲年龄的一半，他父亲的年龄又是王先生儿子的15倍，两

年后他们三人的年龄之和恰好是100岁，那么王先生今年的岁数()

(A)45(B)40(C)38(D)32(E)30

7、原价a元可购5件衬衫，现价a元可购8件衬衫，则该衬衫降价的百分比是()

(A)25%(B)30%(C)37.5%(D)38.5%(E)40%

8、公司有职工50人，法律知识考试平均成绩为81分，按成绩将公职工分为优秀与非

优秀两类，优秀职工的平均成绩为90分，非优秀职工的平均成绩是75分，则优秀职工的人

数为()

(A)30(B)25(C)22(D)20(E)18

9、若|x-5|=5-x,贝I」x的取值范围是()

(A)x>0(B)x=5(C)x<5(D)x<5(E)x<Q

10、不等式|2x-5|43的解集是()

(A)2<x<5(B)3<x<4(C)0<x<2(D)l<x<4(E)-l<x<2

11、若Ia|」IbI=1,则Ia+b|等于()

2

11133

(A)0或一(B)0或1(C)一或1(D)-或一(E)1或一

22222

12、甲与乙的比是3:2,丙与乙的比是2:3,则甲与丙的比是()

(A)1:1(B)2:3(C)3:2(D)9:4(E)8:5

13、车间共有60人，某次技术考核的平均成绩为80分，其中男工平均成绩为82分，

女工平均成绩为77分，该车间有女工人数为()

(A)36(B)34(C)30(D)24(E)22

14、某校今年的毕业生中，本科生和硕士生人数之比为5:2据5月份统计，本科生有

70%,硕士生有90%已经落实了工作单位，此时，尚未落实工作单位的本科生和硕士生人数

比是()

(A)35:18(B)15:2(C)10:3(D)8:3(E)7:4

15、一个分数的分子减少25%,而分母增加25%,则新分数比原来分数减少的百分率是

()

(A)40%(B)45%(C)50%(D)55%(E)60%

16、已知A股票上涨的0.16元相当于该股票原价的16%,B股票上涨的1.68元也相当

于其原价的16%,则这两种股原价相差()

(A)8元(B)9元(C)9.5元(D)10元(E)10.5元

17、一商店把某商品按标价的9折出售，仍可获利20%,该商品进价为每件21元，则

该商品的每件的标价的16%,则这两种股票原价相差()

(A)24元(B)26元(C)28元(D)30元(E)32元

18、某工厂生产某种定型产品，•月份每件产品销售的利润是出厂价的25%(假设利润

等于出厂价减去成本)，若二月份每件产品的出厂价降低10%,成本不变，销售件数比一月

份增加80%,那么，二月份的销售总利润比一月份销售总利润增()

(A)6%(B)8%(C)15.5%(D)21.5(E)25.5

19、已知巨13=2,则土等于()

(A)-(B)2(C)』或3(D),或1(E)3或工

23232

20、某商品在第一次降价1(»的基础上，第二次又降价5%,若第二次降价后恢复到原来

的价格，则价格上涨的百分率为()

(A)13%(B)14%(C)15%(D)16%(E)17%

21、n为任意正整数，则/-〃必有约数(因数)()

(A)4(B)5(C)6(D)7(E)8

22、每一个合数都可以写成k个质数的乘积，在小于130的合数中,k的最大值为()

(A)4(B)5(C)6(D)7(E)8

23、(2008年10月考题)

以下命题中正确的一个是()

(A)两个数的和为正数，则这两个数都是正数。

(B)两个数的差为负数，则这两个数都是负数。

(C)两个数中较大的一个其绝对值也较大

(D)加上一个负数，等于减去这个数的绝对值。

(E)一个数的2倍大于这个数本身

24、已知3个质数的倒数和为15止91.，则这三个质数的和为()

3783

(A)112(B)113(C)114(D)115(E)116

25、有一个正的既约分数，如果其分子加上24,分母加上54后，其分数值不变，那么

此既约分数的分子与分母的乘积等于()

(A)24(B)30(C)32(D)36(E)38

26、(2005年考题)

•支部队排成长度为800米的队列行军，速度为80米/分钟，在队首的通讯员以3倍于

行军的速度跑步到队尾，花1分钟传达首长命令后，立即从同样的速度跑回队首，在这往返

过程中通讯员所花费的时间为()

(A)6.5分钟(8)7.5分钟(C)8分钟(D)8.5分钟(E)10分钟

27、(2006年考题)

•辆大巴车从甲城以匀速U行驶，可按预定时间到达乙城，但距乙城还有150公里处,

因故停留了半小时，因此需要平均每小时增加10公里才能按预定时间到达乙城，则大巴车

原来的速成度为()

(A)45(B)50(C)55(D)60(E)65

28、(2008年考题)

王女士以一笔资金分别投入股市和基金，但因故需抽回一部分资金，若从股市中抽回

10%,从股市各基金的投资额中各抽回15%各10%,则其中总投资额减少130万元，其总投资

额为()

(A)1000万元B)1500万元(C)2000万元

(D)2500万元(E)3000万元

29(2008年考题)

将价值200元的甲原料与价值480元的乙原料配成一种新原料,若新原料每千克的售价

分别比甲，乙原料每千克的售价少3元和多1元，则新原料的售价是()

(A)15元(B)16元(C)17元(D)18元(E)19元

30、(2009年考题)

家商店为回收资金，把甲，乙两件商品均以480元一件卖出，已知甲商品赚了20幅

乙商品亏了20%,则商店盈亏结果为()

(A)不亏不赚(B)亏了50元(C)赚了50元

(D)赚了40元(E)亏了40元

二.条件充分性判断

31、(2007年考题)

x>y

(1)若X和y都是正整数，且f<y;

(2)若x和y都是正整数，且4<y；

32、(2007年考题)

(Da为实数，。+1<()；

(2)a为实数，|a|<1

33、使⑷-也L—2成立

ab

(1)a<0(2)b>0

34使JJ<i成立

Ia|+|b|

(1)ab>0(2)ab<0

35、(2008年考题)

ab2<cb2

(1)实数a,b,c满足a+b+c=0

(2)实数a,b,c满足a<b<c

36、(2008年10月考题)

।1

-1<x<—

3

12x—112x—1

(1)(2)'―I=-

JT+11+X

37、(2008年10月考题)

△n是一个整数

14

(1)n是一个整数，且33〃也是一个整数

14

(2)n是一个整数，且‘n也是一个整数

7

38计算某商销售额增加的百分比

(1)某商品销售量增加了500件

(2)某商品打八折，使销售量增加60%

39、确定x和y的值

(1)J(x-3)~+1y-2|=4；

⑵7u-3)2-Iy-2\-o

40、某班男生人数比女生人数少

(1)男生中共青团员的人数是全班人数的20%

(2)女生中共青团员的人数是全班人数的52%

41、商品换季大甩卖，某种上衣价格下降60%

(1)原来买2件的钱，现在可以买5件；

(2)原来的价格是现在价格的2.5倍；

42、两个正数x与y的算术平均值等于几何平均值。

(1)x=5,y=5

(2)x=3,y=3

43、质检员在A,B两种相同数量的产品中进行抽样检查后，可以计算出A产品的合格

率比B产品的合格率高出5%,则抽样的产品数可求出

(1)抽出的样品中，A产品中合格品有48个：

(2)抽出的样品中，B产品中合格品有45个；

第二章整式和分式

(甲)内容要点；

一、代数式有关概念及其分类

1、代数式：由运算符号(加，减，乘除，乘方，开方)，把数或表示数的字母连结而成

的式子，叫代数式，单独的一个数或者一个字母也是代数式。

2、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值。

3、代数式系统表

'单项式

整式

有理数多项式

代数式

分式

无理数

一、整式及其运算

1、整式：整式包括单项式和多项式；由数和字母相乘形成的代数式叫做单项式；几个

单项式的和叫做多项式。

2、整式的运算；整式能进行加，减，乘的运算，整式加，减，乘的结果仍是整式，整

式可以进行带余除法的运算，整式的运算符合交换律，结合律，分配律。

(1)加减法：就是合并同类项。

(2)乘法：暴的运算性质是乘法，除法的基础，

累的运算法则

a"'-a"^am+n；优"+优=优…侬W0)；

(叫"=屋"；(ab)"=a"廿；

乘法公式

(a士b)2=a2+2ab+b2

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+lac+2bc

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2±i>3

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a±b)(a2ab+b2)=a3+b3

(3)除法：

多项式F(x)除以多项式/■⑨商式为g(x),余式为r(x)

则有F(x)=/(x)g(x)+r(x),当r(x)=OH'J-F(x)=/(x)g(x)成立

此时则称整式F(x)能被整式/(x)整除。

整式F⑸除以x-a的余式为r(x),则F(x)=(x-a)-g(x)+r(x)

故r(a)=F(a')成立

三、多项式的因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，常用的方法有

1、提取公因式法，例如：ax+ay=a(x+y)^

2、公式法，(乘法公式从右到左，即为因式分解公式)。

例如:9x2-6x+l=(3x-l)2,4a2—25/=(4a+56)(4"5b)等

3、求根法

若方程a()x"+4x"T=0有n个根X],X2，....,x“

x

则多项式a()x"+a[x"~+...+an=a0(x-X])(x-x2)...(x-xn)

4、二次三项式的十字相乘法，例如X2—3X+2=(X-1)(X-2)

5、分组分解法

例如：

ax-3by-3ay+bx

-(ax+bx)—(3ay+3by)....分两组

=x(a+b)-3y(a+b)......提公因式

=(a+b)(x-3y)..........提公因式

6、待定系数法

例如：将2--5盯一12y2+1Ox+37y-28因式分解

分析：这个多项式的二次2/-5町12V可分解为

2x2一5孙-12y2=(2x+3y)(x-4y)

所以可设原式=(28+3)，+机)5-4)，+“)其中叫11为待定常数，然后利用恒等式的

性质，解方程可求出m=-4,n=7所以原式=(2x+3y-4)(x-4y+7)

四分式及其运算

A

1、分式：形如4的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，B的值不能

x+2

为零，例如是分式。

2x—3

2、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简化分式

3、分式的基本性质:

AAxM

三='二二(M为不等于零整式)

~B-BxMBB+M

4、分式的运算

(1)加减法，同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减，注意最后结果要约

分化为最简分式，不同分母的的分式相加减，先通分化为同分母后，再进行加减运算。

人…acacacadad

(2)乘除法----=—一十——=—x——=——

bdbdbdbcbe

分式的加法与乘法运算满足交换律,结合律和分配律。

(乙)典型例题

一、整式及其运算

1、求b(x)=d+2x2_3x—5,除以g(x)=Y一x-2的商式和余式

解：用竖式做除法

.1+3________

/-可/3+2%-3<-5

x3-x2-2x

3x2-x-5

3-3x—6

2x+l

得商式g(x)=x+3,余式r(x)=2x+1

2、如果x+1整除/+加2,+3加x+3,贝ij田二()

(A)-1或-2(B)-1或2(C)1或-2

(D)1或2(E)-2或2

解,由己知x3+m2x2+3mx+3=g(x)(x+l)

方程两边取尸-1,则m2-3m+2=0解得〃2=1或机=2答案选D

3、若X?+2%+。被x+3除，余式为-5,贝ija=()

(A)-9(B)-8(C)7(D)8(E)9

解;由已知A：?+2/+。=g(x)(x+3)+(—5)

令x=-3,则得9-6+CF-5得a=-8答案选B

4、多项式3/+/一9/+3戈+2,的因式分解为(3x+l)gQ),则g(x)等于()

(A)(x+2)(x—I)2(B)(x—2)(x+l)~(C)(2x+l)(x~—2)

(D)(2X+1)2(X-2)(E)(2X-1)2(X+2)

解：/(X)=3X4+X*3-49X2+3X+2,用竖式除法计算

3x+l

可得g(x)=/一3%+2,当％=2时g(2)=8-6+2H0即8和。均不等于g(x),

当x=-2时g(-2)=(-2)3-3(-2)+2=0即x+2/g(x)

从而可得g(x)=(x+2)(x2-2x+1)=(x+2)(x-I)2故答案选A

5、在实数范围内将下列多项式分解因式

(1)12x2y+36Ay2+27/

(2)6x~—x—15

(3)16ax2+16bx2-9a-9b

(4)x3—x~~5x—3

解(1)原式=3y(4x2+12xy+9y2)=3y(2x+3y>

(2)十字相乘法

2+3f2x3=6

3-513x(-5)

9-10

3x3+2x(-5)=-l

所以6X2-X-15=(2X+3)(3X-5)

(3)1Gax2+16bx2-9a-9b

=16x2(a+^)-9(a+£»)

=(a+8)(16x?-9)=(a+£»)(4x+3)(4%-3)

(4)%3—x~-5x-3

=(x3-3x2)+(2x2-6x)+x-3=x2(x-3)+2x(x-3)+(x-3)

=(x-3)(x2+2x+1)=(x-3)(x+1)2

6、无论%y取何值，£+)，2-4》一6^+15的值都是()

（A）正数（B）负数（C）零（D）非负数（E）非正数

解；原式=炉—4x+4+y2—6y+9+2=（x-2>+（y—3>+2

从而无论”,y取何值，都有(x—2)2(y—3)2+2〉0,答案是A

7、(充分性判断)

2x2+5砂+2y2—3x—2=(2x+y+m^x+2y+n)

(1)m--\,n-2(2)m-\,n=-2

解：由条件(1)加=—1,〃=2代入题干右端

(2x+y-l)(x+2y+2)=2x2+5xy+2y2+3x-2条件(1)不充分

由条件(2)加=1,n=-2代入题干右端

(2尤+y+l)(x+2y-2)=2x?+5砂+2)，—3%一2条件(2)充分

所以答案选B

8、(充分性判断)犷3是多项式

/(x)=Xs-x1-ax+b的因式