2022年人教版中考数学考点跟踪突破19：特殊三角形

考点跟踪突破19特殊三角形一、选择题1．(2022·烟台)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为(D)A．48°B．40°C．30°D．24°,第1题图),第2题图)2．(2022·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(A．0.7米B．1.5米C．2.2米3．(2022·河池)已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当点G与D重合时，AD的长是(C)A．3B．4C．84．(2022·天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是(B)A．BCB．CEC．ADD．AC,第4题图),第5题图)5．(导学号：65244127)(2022·淄博)如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为(B)\f(8\r(3),5)B．2eq\r(2)\f(14,5)D．10－5eq\r(2)点拨：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD＝10，,AG＝CH＝8，,BG＝DH＝6，))∴△ABG≌△CDH(SSS)，AG2＋BG2＝AB2，∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠5＋∠6＝90°，又∵∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠3，,AB＝BC，,∠2＝∠4，))∴△ABG≌△BCE(ASA)，∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE－BG＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝eq\r(GE2＋HE2)＝2eq\r(2)，故选：B二、填空题6．(2022·青岛)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__32__度．,第6题图),第7题图)7．(2022·乐山)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是__eq\f(3\r(5),5)__．8．(2022·长春)如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为__10__．9．(2022·扬州)如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP＝4cm，则EC＝__(2＋2eq\r(3))__cm.10．(2022·绥化)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝eq\f(1,2)BC，则△ABC的顶角的度数为__30°或150°或90°__．三、解答题11．(2022·连云港)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD，理由：在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A，,AE＝AD，))∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE＝∠ACD(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC12．(2022·荆门)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．解：(1)∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.∵AB∥CF，∴∠BAF＝∠AFC.在△ADE与△FCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠CFE，,∠AED＝∠FEC，,DE＝CE，))∴△ADE≌△FCE(AAS)(2)由(1)得CD＝2DE＝4.∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝8，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB.∵AB∥CF，∴∠BDC＝180°－∠DCF＝180°－120°＝60°，∴∠DAC＝∠ACD＝eq\f(1,2)∠BDC＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝413．(2022·宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)（m2－n2），,b＝mn，,c＝\f(1,2)（m2＋n2）.))其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．解：当n＝1时，a＝eq\f(1,2)(m2－1)①，b＝m②，c＝eq\f(1,2)(m2＋1)③，∵直角三角形有一边长为5，∴(Ⅰ)当a＝5时，eq\f(1,2)(m2－1)＝5，解得：m＝±eq\r(11)(舍去)，(Ⅱ)当b＝5时，即m＝5，代入①③得，a＝12，c＝13，(Ⅲ)当c＝5时，eq\f(1,2)(m2＋1)＝5，解得：m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，代入①②得，a＝4，b＝3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，414．(导学号：65244128)(2022·宁夏)在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥AC，M，N分别为垂足．(1)求证：不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；(2)当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．解：(1)连接AP，过点C作CD⊥AB于点D，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，∴eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AB·PM＋eq\f(1,2)AC·PN，∴PM＋PN＝CD，即不论点P在BC边的何处时都有PM＋PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高(2)设BP＝x，则CP＝2－x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴BM＝eq\f(1,2)x，PM＝eq\f(\r(3),2)x，CN＝eq\f(1,2)(2－x)，PN＝eq\f(\r(3),2)(2－x)，∴S四边形AMPN＝S△AMP＋S△ANP＝eq\f(1,2)×(2－eq\f(1,2)x)×eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)×[