2020年高考数学（文）重难点专练05概率与统计（解析版）

2020年高考数学（文）

重难点05概率与统计

【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般

以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典

概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三

题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅

读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传

统内容的有机结合.为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习

中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,

多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表

的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，

一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并

提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.

【热点预测以及解题技巧】

热点一：“统计”背景下的“概率”问题

这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有

时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据

得出的数据求概率.

热点二：样本分析并通过样本分析作决策

进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、

样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.

热点三：线性回归分析

根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程.由于计算量很

大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意,

找出适用的参考数据加以计算.

热点四：独立性检验

寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.

热点五：与函数相结合的概率统计题

这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.

【限时检测】（建议用时：35分钟）

一、单选题

1.（2019・四川高考模拟（文））空气质量指数AQ/是一种反映和评价空气质量的方法，AQI

指数与空气质量对应如下表所示：

0-5051-100101—150151〜200201〜300300以上

AQI

空气质

优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

量

如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图.

根据统计图判断，下列结论正确的是（）

A.整体上看，这个月的空气质量越来越差

B.整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量

C.从AQ/数据看，前半月的方差大于后半月的方差

D.从AQ/数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值

【答案】C

【分析】

根据题意可得，AQ1指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判

断，即可得出结果.

【详解】

从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A,B不正确：

从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半

个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；

从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月

平均值，故D不正确.

故选C.

【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.

2.（202。陕西高三月考（理））如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们

进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下

结论错误的是（）

什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类

①公益广告

②学校要求

③学校团委会宣传

545.33%

④垃圾分类运输环节得到改善

⑤设置分类明确的垃圾桶

A.回答该问卷的总人数不可能是100个

B.回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶''的人数最多

C.回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传''的人数最少

D.回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求''的少8个

【答案】D

【分析】

先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解.

【详解】对于选项A,若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数

不为整数，故4正确，

对于选项8,由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故8正确，

对于选项C,由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，

对于选项。，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求''的少8%,故。

错误，故选D

【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题.

3.（2018.湖南高考模拟（文））已知变量X、＞之间的线性回归方程为y=-0.7X+10.3,

且变量％、y之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法塔族的是（）

X681012

y6m32

A.可以预测，当x=20时，y=-3.7B.m-4

C.变量X、y之间呈负相关关系D.该回归直线必过点（9,4）

【答案】B

【分析】

将》=20的值代入回归直线方程可判断出A选项的正误；将z的坐标代入回归直线

方程可计算出实数机的值，可判断出B选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可

判断出C选项的正误；根据回归直线过点（反G）可判断出D选项的正误.

【详解】

对于A选项，当x=20时，y=-0.7x20+10.3=-3.7,A选项正确；

对于B选项，x------------=9,y=------------=―--，将点的坐标代

/ZZ+11

入1回归直线方程得--=-0.7x9+10.3=4,程得/77=5.B选项错误；

4

对于c选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x、y之间呈负相关关系，c选项

正确；对于D选项，由8选项可知，回归有线丁=-0.7%+10.3必过点（9,4）,D选项正

确.故选：B.

【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，

考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

4.（2019•莒县第二中学高考模拟（文））我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对

称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何

图形，正方形ABCD所围成的区域记为I,在圆内且在正方形A8C。外的部分记为0,

在圆外且在大正方形内的部分记为in.在整个图形中随机取一点，此点取自I,II,in的

概率分别记为6,鸟,A,则（）

O

A.[=鸟+A

B.4＞鸟＞8

C.6＞鸟=鸟

D.Pt=P2＞P3

【答案】A

【分析】

首先要将小正方形旋转45度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积

比，从而可确定概率间的关系.

【详解】

将小正方形旋转45度，图像转化为：

由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以耳=£+6.

则选A.

【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直

观想象的考查.

5.（2019・湖北高考模拟（理））七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是

由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、

一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形

中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是

H

33

A.B.

168

j_]_

C.D.

48

【答案】A

【解析】

设AB=2，则BC=CD=O£=£F=1.

=2x=

SABCI=[XqX《=；，S平行四边形EFGH=2s岫aT^

乙乙乙，TN

1J_

，所求的概率为3

"2x2-16

故选A.

二、解答题

6.（2019.陕西高考模拟（文））某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销

售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失,

但可以确定横轴是从0开始计数的.

。）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；

（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组

的区间中点值代表该组的取值）；

（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表:

广告投入X（单位：万元）12345

销售收益y(单位：百万元)2327

表中的数据显示，X与y之间存在线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并计算y

关于4的回归方程.

__

工七力一〃xy

附公式：6=e.......-,否=7一标

X%,2-nx

i=l

【答案】(1)2；(2)5;(3)y=1.2x+0.2.

【分析】

(I)根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可计算图中各小

长方形的宽度；

(II)以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；

(III)求出回归系数，即可得出结论.

【详解】

(I)设各小长方形的宽度为心，由频率分布宜方图各小长方形面积总和为1,可知

(0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02)-tn—0.5tn—1,故〃？=2:

(II)由(I)知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12],

其中点分别为L3,5,7,9,l1,对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04,

故可估计平均值为1x0.16+3x0.2+5x0.28+7x0.24+9x0.08+11x0.04=5；

(III)由(]1)知空白栏中填5.

1+2+3+4+52+3+2+5+7

由题意可知，元==3,歹=3.8,

55

5

=1x24-2x3+3x2+4x5+5x7=69,

(=1

5

2222

=12+2+3+4+5=55,

/=1

69-5x3x3.8

根据公式,可求得分=—=1.22=3.8—12x3=0.2,

55-5x3210

即回归直线的方程为》=L2x+0.2.

【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中

档题.

7.（2019•宁夏高考模拟（文））2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.

据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小

区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：

经济损失4000元以经济损失4000元以

合计

下上

捐款超过500

30

元

捐款低于500

6

元

合计

（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上

表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于

或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两

人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上

在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率.

附：临界值表

k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

P(K>k0)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

n(ad-bc)1

参考公式：K2,n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)有把握；(2)y.

【分析】

⑴由自:万图得到2x2%联衣.利H］公式求得犬的价，与临界值比技即可作出判定，得

到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为乂了，得到试验的全部结果所构成的区

域及事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，根据几何概型，利用面积比可求

7

-

8-则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期

望公式可得结果.

【详解】

(1)如下表：

经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计

捐款超过500元30939

捐款低于500元5611

合计351550

50x(30x6-9x5)2

K2*4.046>3.841

39x11x35x15

所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000

元有关.

⑵

设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x，y,则（X,y）可以看成平面中的点.试验的全部

结果所构成的区域为Q={（x,y）|7WxW8,7.5WxW8.5},则5。=1,事件A表示“李师

傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为4={&,y）|y4，7<r<8,7.5<j<8.5},

即图中的阴影部分面积为S.=l—Lx,xL=Z,所以尸（A）

2228“8，

721

李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布4~,£^=3x-=—.

88

【点睛】

本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题,以及二项分布的数学

期望公式的应用，属于中档试题.“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义

求期望.对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二

项分布X〜,则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式

（E（X）=叩）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

8.（2019•江西高二月考（文））通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同

桌，得到如下2x2列联表:

男生女生合计

挑同桌304070

不挑同桌201030

总计5050100

（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现

从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；

（2）根据以上2x2列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑

同桌”有关？

下面的临界值表供参考：

0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.82W

k。

（参考公式：K2=-----八/----------------T-----,其中〃=。+>+c+"）

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

7

【答案】（I）?=历（II）见解析

试题分析：（I）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列

举法求出基本事件数，计算对应的概率值：（II）根据2x2列联表计算观测值，对照临

界值表得出结论.

解析：

（I）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A、B、C,

不挑同桌有2人，记为&e；

从这5人中随机选取3人，基本事件为

ABC,ABd,ABe,ACd,ACe,Ade,BCd,BCe,Bde,Cde共10种；

这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为

ABC,ABd,ABe,ACd,ACe,BCd,BCe•共7种；

7

故所求的概率为尸=r；

（【I）根据以上2x2列联表，计算观测值

100x(30xl0-20x40)2

K2«4.7619>3.841,

70x30x50x50

对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关.

9.（2019•四川棠湖中学高三（文））省环保厅对A、B、C三个城市同时进行了多天的

空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量

为优或良的数据个数如下表所示：

A城3城C城

优（个）28Xy

良（个）3230Z

已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录3城市空气质量为优的数据的概率

为02

（I）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在C城

中应抽取的数据的个数；

（II）已知yN23,zN24,求在。城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数

的概率.

3

【答案】（1）9：（2）

8

X

【试题分析】⑴由元;=0.2计算出x,再由总数计算出y+z,按比例计算得应抽人数.⑵

180

由（I）知y+z=54,且yN23,z224,利用列举法和古典概型计算公式计

算得相应的概率.

【试题解析】

Y

（1）由题意得——=0.2,即x=36.

180

y+z=180-28-32-36-30=54,

30

在C城中应抽取的数据个数为—x54=9.

180

⑵由⑴知y+z=54,y,zeNjlyN23,z>24.

.♦.满足条件的数对（y,z）可能的结果有（23,31）,（24,30）,（25,29）,（26,28）,

（27,27）,（28,26）,（29,25）,（30,24）共8种.

其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有（28,26）,（29,25）,

（30,24）共3种.

...在C城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为弓3.

8

10.（2019•江西高考模拟（文））某书店为了了解销售单价（单位：元）在［8,20］］内的图

书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据

按照［8/0）,［10,12）,［12,14）,［14,16）,［16,18）,［18,20］分成6组，制成如图所示的

频率分布直方图，已知样本中销售单价在［14,16）内的图书数是销售单价在［18,20］内的图

书数的2倍.

（1）求出x与丁，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组

中的数据用该组区间的中点值作代表）：

（2）用分层抽样的方法从销售单价在［8,20］内的图书中共抽取40本，求单价在6组样

本数据中的图书销售的数量；

（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的

概率.

2

【答案】（1）见解析；（2）6本；（3）y

【解析】

（1）先求出X与y,再根据直方图求出平均值；

（2）根据分层抽样是按比例抽样可得结果；

（3）用列举法和古典概型概率公式求出结果

【详解】

(1)样本中图书的销售单价在［14,16)内的图书数是x2x100=200%,

样本中图书的销售单价在［18,20)内的图书数是y2x100=200y,

依据题意，有200x=2x200y,即x=2y,①

根据频率分布直方图可知(0.1x2+Q025+x+0.05+y)x2=l,②

由①②得x=0.15,y=0.075.

根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为

8+10emuc10+12…c12+14八，〜14+1616+18、18+20,、，、”

-------x0.025x2+---------x0.05x2+---------x0.1x2+---------x0.115Cx2n+---------x0.1x2+---------x0.075x2

222222

=0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85=14.9（元）

(2)因为销售单价在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]的图书的分层抽样

比为1：2：4：6：4：3,故在抽取的40本图书中，销售单价在

[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]内的图书分别为

124643

40x——=2,40x——=4,40x——=8,40x——=12,40x—=8,40x——=6(本)

202020202020

(3)这40本书中价格低于12元的共有6本,其中价格低于10元的2本，记这2本为A”4,

另外4本记为旦，鸟,名,B4,从中抽取2本的基本事件有：

AiA2,AlB^AiB2,AiBi,AlB4,A2Bi,A2B2,A2Bi,A2B4,BlB2,BiB3,B,B4,B2B3,B-,B4,B3B4

共15个，其中价格不低于10元的有6个，所以：

这2本书价格都不低于10元的概率P=2=|.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图、分层抽样及概率问题，较为简单

H.(2019•四川高考模拟(文))目前有声书正受着越来越多人的喜爱.某有声书公司为

了解用户使用情况，随机选取了10()名用户，统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整

数)情况如下图.

年龄分布条形图

有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的用户定

义为“年轻用户已知抽取的样本中有：的“年轻用户'’是“爱付费用户

(1)完成下面的2*2列联表，并据此资料，能否有95%的把握认为用户“爱付费''与其

为“年轻用户”有