《数字信号处理》第三版课后习题答案2

数字信号处理课后答案

1.2教材第一章习题解答

1.用单位脉冲序列5(”)及其加权和表示题1图所示的序列。

解：

x(九)=b(〃+4)23(〃+295+1)+2演〃)+6(〃-1)+23("-2，46(〃一3)

+0.5/”-4)+25(〃—6)

2〃+5,-4<〃(一1

2.给定信号：x(n)=J6,0<71<4

0,其它

(1)画出x(〃)序列的波形，标上各序列的值；

(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(〃)序列；

(3)令王(〃)=2x(〃-2),试画出％(〃)波形；

(4)令々(")=2x(〃+2),试画出々(〃)波形;

(5)令七(〃)=2x(2-〃)，试回出七(〃)波形。

解：

(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。

(2)

x(n)=-3b(〃+4)-+3)+b(〃+2)+3b(〃+1)+6b(〃)

+6b(〃-l)+6b(〃一2463(〃-3)+65(〃-4)

(3)七(〃)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2,画出图形如

题2解图(二)所示。

(4)X2(〃)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2,画出图形如

题2解图(三)所示。

(5)画工(〃)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，七(〃)波形如

题2解图(四)所示。

3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

(1)x(n)=Acos(—,A是常数；

78

(2)x(n)=eJ(^"T，o

解：

32兀14

(1)W=一肛--=—9这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；

7w3

1

-

(2)8-这是无理数，因此是非周期序列。

5.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与)，(”)分别表示系统输入

和输出，判断系统是否是线性非时变的。

(1)y(〃)=x(〃)+2x(〃-1)+3x(〃-2;

(3))，(几)=%(〃一传)，%为整常数；

(5)y(n)=x2(n);

(7)y(n)=£x(m)o

m=0

/解ir・r•

(1)令：输入为X(〃-〃o),输出为

y(n)=x(n-n0)+2x(n-n0-l)+3x(n-nQ-2)

y(n-n0)=x(n-H0)+2x(n-n0_l)+3x(〃一〃0-2=y伽)

故该系统是时不变系统。

y(n)=T[axl(n)-^bx2(n)]

=axx(〃)+bx2(n)+2(ax1(n-l)+bx2(n-1))+3(。玉(〃-2)+bx式n-2))

T[ax,(〃)]=ax,(〃)+2ax,(〃-1)+3ax.(n-2)

T[bx2(n)]=云2(〃)+2/?/(〃一1)+3hx2(H-2

T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x](〃)]+bT[x2(n)]

故该系统是线性系统。

(3)这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证

明。

令输入为龙(〃-勺),输出为-%),因为

>'(«-»,)=x(n-n1-n0)=y(n)

故延时器是一个时不变系统。又因为

T[ax](n)+hx2(n)]=ax](H-n0)+hx2(M-n0)=aT[x](n)]+hT[x2(n)]

故延时器是线性系统。

(5)y(n)=x2(n)

令:输入为M"人)，输出为入〃)=工2(〃_/),因为

y(n-nQ)=一名)=y(ri)

故系统是时不变系统。又因为

2

T[axx(n)+bx2(n)]=(ax^n)+bx2(n))

waT[x](n)]+bT[x2(n)]

=QX：(〃)+/7%；(〃)

因此系统是非线性系统。

(7)y(〃)=Zx(m)

m=0

令：输入为x(〃-〃0),输出为y(〃)=£x(m-〃0)，因为

?n=0

〃一〃0

y(〃-%)=Zx(〃”y(")

m=0

故该系统是时变系统。又因为

T[ax1(n)+bx2(n)]=£(g(m)+bx2(m))=aT[x[(n)]+bT[x2(n)]

/M=0

故系统是线性系统。

6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并

说明理由。

1N-1

(1)》(〃)=看工》(〃一女);

N«=o

n+n()

(3)y(〃)=Zx(k)；

(5)y(n)=e«)。

解：

(1)只要NN1,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n

时刻以前的输入有关。如果似〃)归例，则因此系统是稳定

系统。

〃+"0

(3)如果|x(〃)|(M,|y(n)|<£|x(^)|<|2/?0+l|M,因此系统是稳定的。

k=n-nG

系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如

果k(〃)|«M，则=4户""4*,因此系统是稳定的。

7.设线性时不变系统的单位脉冲响应〃(〃)和输入序列x(〃)如题7图所

示，要求画出输出输出)，(〃)的波形。

解：

解法(1):采用图解法

8

y(n)=x(n)*/?(/?)=

tn=O

图解法的过程如题7解图所示。

解法(2):采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式：

工(九)=一5(〃+2)+8(n-1)4-2b(〃一3)

//(〃)=23(〃)+b(〃_l)+gb(〃_2)

因为x5)*5(〃)=x(〃)

x(n)^A3(n-k)=Ax(n-k)

y(〃)=%(〃)*—+♦(〃-1)+—[(〃-2])

所以12

=2x(〃)+x(n-1)+—x{n-2)

将x(n)的表达式代入上式，得到

y(n)=-25(〃+2)—5(〃+1)—0.55(几)+25(〃一1)+b(n-2)

+4.5b(〃-3)+25{n-4)+8{n-5)

8.设线性时不变系统的单位取样响应以〃)和输入x(〃)分别有以下三

种情况，分别求出输出y(〃)。

(1)h(n)=&(〃),%(〃)=Z?5(n);

(2)h(n)=2R4(n),x(n)=3(n)-S(n-2;

(3)h(n)=O以〃),x“=/?5(〃)。

解：

<x>

(1)y(n)=x(n)^h(n)=£R4(m)R5(n-m)

zn=—oo

先确定求和域，由凡(M和/?5(〃-⑼确定对于m的非零区间如下：

0<m<3,n-4<m<n

根据非零区间，将n分成四种情况求解：

①〃<0,y(n)=0

②0<zt<3,y(n)=Z1=几+1

m=Q

3

(§)4<zz<7,y(/i)=Z1=8-n

m=n-4

④7Vn,y(n)=O

最后结果为

0,n<0,n>7

y(n)=<〃+1,0<n<3

8—/z,4<M<7

y(n)的波形如题8解图(一)所示。

(2)

y(〃)=2&(〃)*3(〃)-2])=24(〃)-27?4(〃-2)

=2®〃)+b(〃一1)—5(”一4-4(«-5)]

y(n)的波形如题8解图(二)所示.

(3)

y(n)=x(n)*/i(n)

88

=Z(〃一加)=。-5〃Z火5(〃2)0,5一加)

/n=-oom=-oo

y(n)对于m的非零区间为0</n<4,m<no

①〃<0,y(n)=0

〃1—05一"T

②0。W4,y(〃)=0.5"E0.5-w=——Jp0.5"=-(1-0.5")0.5"=2-0.5〃

/n=01-0-5

41-05-5

③5<九45)=0.5〃^0・5一”,0.5"=31x0.5"

-1

/n=01-0.5

最后写成统一表达式:

y(〃)=(2-0.5"/5(〃)+31x0.5"-5)

11.设系统由下面差分方程描述:

y(n)=—y(n-1)+x(n)+—x{n-1);

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

解：

令：x(n)=8(rT)

h(n)=—-1)+b(〃)+』-1)

22

=0,//(0)=-/i(-1)+^(0)+-^(-1)=1

rt22

„=1,/2(1)=1/7(0)+^(1)+1^(0)=1

n=2,/i(2)=：伙1)=!

22

〃=3,力(3)=；力(2)=(；))

归纳起来，结果为

12.有一连续信号x*）=cos（2乃力+夕）,式中，f=20Hz,<p=^

（1）求出.％⑺的周期。

（2）用采样间隔T=0.02s对z⑺进行采样，试写出采样信号£“⑺的表

达式。

（3）画出对应用⑺的时域离散信号（序列）x（〃）的波形，并求出x（〃）的

周期。

--------第一章--------

教材第二章习题解答

1.设X（*）和丫（*）分别是x（〃）和y（〃）的傅里叶变换，试求下面序列的

傅里叶变换:

(1)x(n-n0)；

(2)x(-〃)；

(3)x(〃)y(〃)；

(4)X(2M)O

/trr•

00

1

(1)FT[x(n-n0)]=工xin-n^e''"

/:=-<»

令〃二〃一〃0,〃=〃+〃()，贝u

口口(〃-/)]=tM〃)产"脸=e*X(")

?!=-<»

8-JW，18

(2)FT[x(")]=£x*(〃)e=[Xx(〃)e""[*=X("，")

n=-aow=-°0

(3)FT[x(-n)]=fx(-n)e~Jwn

n=-oo

令n=-n9则

wn

00J

FT[x(-n)]=Z％=X("")

n=—co

(4)FT[x(〃)*y(〃)]=X(e"»(一")

—8

证明：x(n)*y(n)=£x(m)y(n-m)

/"=-00

0000

FT[x(n)*y(n)]=Z[Zx(机)>加)]e"〃

"=­com=-oo

令k=n-m,则

FT[x(n)*y(n)]=E^Ex(m)y(k)]e^''ke"J''"

A=-oo/n=-<o

=Sy⑹"叱£H〃，)e3

k=-oom=-<x>

=X

»fljvvl<wn

2.已知X(e*)=「।°

0,wo<|w|<71

求X(e%的傅里叶反变换x(〃)。

解：x(〃)=—f'neiw"dw=sm%〃

2乃上卬。Ten

3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)”(*)=W(e与卜创？如果单

位脉冲响应〃⑺为实序列，试证明输入x(〃)=Acos(Wo〃+e)的稳态响应

为

y(〃)=jlcostWort+^+^Wo)]。

解：

假设输入信号x(〃)="i,系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为

OO8八%〃

y(n)=h{ri)*x(n)=Zh(m)ehVQ(n~m)=ejw°n>h(m)e~jWQ,n=H(ejw°)e

〃I=­QO〃?=­OO

上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，

且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。

x(〃)=Acos(卬°”+夕)=gA[eiWaneJI,°+e~iw'>ne~1，fl]

y(n)=-A[ejv，ejw°"H(ejw°)+"/上7咿"(6一.)]

上式中是w的偶函数，相位函数是w的奇函数,

)|,。(卬)=_久—w)

jWi,

y(n)=^A\H(e/夕)+^一/。^一川七”^一/伙w'o)]

jWQ

=A|77(e)|cos(w0n+-+8(%))

[:黑」将加以4为周期进行周期延拓，形成周期序列

4.设x(〃)=«

x(n),画出x(“)和信〃)的波形，求出又〃)的离散傅里叶级数X(左)和傅

里叶变换。

解:

画出x(n)和£(〃)的波形如题4解图所示。

3.2乃/].it..,

又Ol)=OES[£(〃)]=之=之J'5"=1+J5

〃=0n=0

-j—kj—k-j—kJI-j-4k

=e4(/4+e4)=2cos(4)・e

4

元(口以4为周期，或者

,__jL欣j-7tk-j—^k..1,

sin—兀k

X^±#=三;=e的二：)=2

\7一•%.1..1,.1,

一寸一。JJ.I,

n=0i1-e2e4/4(e4-~e44\)sin-KK

4

又因以4为周期

X(ejw)=FT[x(n)]=—Y^(Ww-—k)

4七4

__oo__

=彳Z又伏矮(卬―彳口

(f711\-卓欠(71

=»/cos(一女州4d(w----k)

k=742

5.设如图所示的序列x(,)的FT用X(e%表示，不直接求出X(M),

完成下列运算:

(1)x©°)；

(2)Jx(*)dw；

-n

(5)

-n

解：

7

(1)X(/)=Zx(n)=6

n=-3

n

(2)jX(ejw)dw=x(0)•2万=4"

-n

n7

(5)J|x(e)w)『痴=2乃£|x(〃)『=28%

-n〃=-3

6.试求如下序列的傅里叶变换：

(2)元2(〃)=；3(〃+1)+3(〃)+^3(及一1);

(3)W(〃)=<a<1

/解tr・r•

(2)

811

jwjwnjwjw

X2(e)=Zx2(n)e-=-e+l+-e-

«=-<o22

1

=1+—(，"+e，")=1+cosw

0001

jwjwn

(3)x3(e)=£a"u(n)e-=工屋2一加=

n=-oo“=o]—ae

7.设：

(1)x(〃)是实偶函数，

(2)x(〃)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(〃)的傅里叶

变换性质。

/解trr.•

8

令X(")=Zx(n)eT"”

(1)x(n)是实、偶函数，X(")=fx(n)e~JW"

n=-<»

两边取共粗，得到

88

x*(e")=XX(n)ejm,=Zx(n)e-j(-wV，=

n=-oon=-<x>

因此x(")=x*c%

上式说明x(n)是实序列，x(")具有共扼对称性质。

0000

X(e'")=Zx(n)e~jwn=Zx(〃)[cosw〃+ysinwn]

”=-00rt=-co

由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

8

Zx(n)sin=0

H=-CO

8

因此X(e%=£x(〃)coswn

z?=—00

该式说明X(e%是实函数，且是W的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(*)是实、偶函

数。

(2)x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(")具有共舸对称性质，即

X(")=X*(e-%

0000

X(ejw)=£x(n)e"jwn=Zx(〃)[cosvv〃+Jsinwn]

n=-<x>n=-oo

cP

由于x(n)是奇函数，上式中x(”)cosw〃是奇函数，那么Zx(〃)coswn=0

M=—00

因此X(e%=j£x(n)sinwn

“=-00

这说明X(*)是纯虚数，且是W的奇函数。

10.若序列以〃)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:

=14-COSw

求序列〃(〃)及其傅里叶变换o

解：

118

〃R(*')=l+co鼠=1+—e加+—ef=FT也(")]=2也(〃)"加"

22n=-oo

1,

2

"(〃)=<1,〃=0

11

一,n=I

I2

0,n<0]fl,n=0

/?(〃)=〈h(\n),n-0}=<l,〃=l

2he(n\n>0\|o,其它n

H(ejw)=£h(n)e-Jwn=l+e2e->/2cos-

n=-002

12.设系统的单位取样响应//(〃)=优%(〃),0<a<1,输入序列为

x(n)=+28(n-2,完成下面各题：

(1)求出系统输出序列y(〃)；

(2)分别求出口)、力⑺和y⑺的傅里叶变换。

解：

(1)

y(n)=h(n)^x(n)=anu(h)*[8[ri)+2(5(n-2])

=〃〃〃(〃)+2an~2u(n-2)

(2)

X(ey,v)=£俗(〃)+28[n-2)]e-jw"=1+2e~i2w

n=-<x>

H(ejw)=£优“(〃)*"=£优"加"=—J

n=-<»〃=o1—ae

1+2〃T2W

y(〃w)="(/”')X(ejw)=y-——

13.已知x,,«)=ZcosQ/r"),式中/^lOOHz,以采样频率/=400”z对

乙⑺进行采样，得到采样信号京⑺和时域离散信号x(〃)，试完成下面

各题：

(1)写出“f)的傅里叶变换表示式XgQ);

(2)写出Xa⑺和X(〃)的表达式;

(3)分别求出工⑺的傅里叶变换和,双")序列的傅里叶变换。

解：

(1)

Xfl(jQ)=£4(f)e3'力=[：2cos(Qof)eTd力

=L(e'4'+e'jn°')e~jnidt

上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数b函数，它的傅

里叶变换可以

表示成：

Xa(jQ)=2乃俗(Q-Qo)+b(Q+Q0)D

0000

(2)&«)=—")=X2c。$Q°〃T2”一〃T)

“=-oon=-<x>

x(n)=2cos(Q0/ir),-oo<n<oo

=2兀九=20Q7rrad,T=—=2.5ms

(3)

幻（2）=J£x.（jQr%Q,）

[A=-O0

=—E修（Q-Q0-kQ,）+b（。+Q。-kQ,）]

'&=-oo

式中Qs=2兀于、=8004rad/s

jwjwn

X（e）=£x（n）e-=£2cos（Q0«9一"二£2cos（卬。硬—加〃

n=—<x）zf=—co"=-oo

88

=X[〃'%"+e-jw°"k一向"=2"X除（卬—%一2々万）+6（卬+%—2人万）]

n=—<x>Jt=—co

式中%=。07=D.5兀rad

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异

函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。

14.求以下序列的Z变换及收敛域:

(2)-2-nM(-n-l);

(3)2一"“(-〃);

(6)2-"[H(n)-M(n-10)]

/解ir・r•

HHnn

(2)ZT[2-"〃(〃)]=£2-M(n)Z-z-J--,|z|>|

n=-<x>n=01一乙&乙

(3)

ZT[-2-"〃(-〃-1)]=之-2-"〃(-“-氏-"=£-2-"班"=f-2"z"

〃=-<»?»=-1n=l

-2z11

—l-2z—\-2-'zi''rJ'z1I<一2

(6)

9

Z7[2-""5)—”(n-10)]=Z2-"z-"

n=0

19-IO-10

16.已知:

32

xa)=—

1_1312z

12Z一

求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。

解:

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情

况:

三种收敛域对应三种不同的原序列。

(1)当收敛域忖<0.5时,

x(〃)=击[x(Z)z"Zz

5-7乙।_5z-7J1

令歹(z)=X(z)/i

(1—0.5ZT)(1_2ZT)4-(Z-0.5)(Z-2)‘

n>0,因为c内无极点，x(n)=0；

n<-1,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留

数，圆外极点有Z1=0.5,22=2,那么

x(n)=-Re5[F(Z),0.5]-Re5[F(z),2]

=(呆;“；)(%-85)(5,；/(z-2)

(z-o.5)(z-2)(z-0.5)(z-2)

一[3(—)"+22H]W<-/J-1)

(2)当收敛域0.5<目<2时,

n>0,C内有极点0.5;

x(n)=Re5[F(z),0.5]=3

〃<0,C内有极点050,但0是一个n阶极点，改成求C外极点留

数，c外极点只有一个，即2,

x(〃)=—Res[尸(z),2]=—22Mw(-n-l)

最后得到x(〃)=3(}"〃(〃)-22"〃(-〃-1)

(3)当收敛域2<国时，

…(5z—7)z"

F(z)=------------

(z-0.5)(z-2)

n>0,C内有极点0.5,2；

x(n)=Re.v[F(z),0.5]+Re5[F(z),2]=3+22"

n<0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。

或者这样分析，C内有极点0.5,2,0,但0是一个n阶极点，改成

求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。

最后得到

X(〃)=[3(|r+2

17.已知x(”)=a"〃(九),0<a<1,分别求：

(1)x(〃)的Z变换;

(2)〃x(〃)的Z变换;

(3)的z变换。

解：

(1)X(z)=ZT[a"u(n)]=£a"u(n)z~"=—j-,|z|>a

„=-oo1-az

⑵ZT[nx(n)]=-z-^-X(<z)=,\z\>a

dz(I-az)

(3)ZT[a~nu(-n)]=V=—-—

M=0n=01一〃Z

母已知x⑶"高"'分别求:

(1)收敛域0.5<目<2对应的原序列x(〃);

(2)收敛域同〉2对应的原序列x(〃)。

解：

x(〃)

-3Z_1-3・z"

F(z)=X(z)ziz=--------------------

2—5Z"+2Z-2--------2(Z-0.5)(Z-2)

(1)当收敛域0.5<|z|<2时，〃NO,c内有极点0.5,

x(n)=Res[尸(z),0.5]=0.5"=2-n,n<0,

c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点，改求c外极点留数,c外极点只

有2,

x(n)=-Res[F(z),2]=2",

最后得到

x(n)=2~"u(n)+2"u(-n-1)=2剂

(2(当收敛域|z|>2时，

n>o,c内有极点0.5,2,

x(n)=Res[F(z),0.5]+Res[尸(z),2]

=0.5"+---------------(z-2)

2(z-0.5)(z-2)z=2

=0.5〃-2〃

n<o,c内有极点0.52,0,但极点0是一个H阶极点，改成求c外极点留

数，可是C外没有极点，因此x(〃)=0,最后得到

x(n)=(O."52")M(H)

25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(z2)=anu(n),h(n)=bnu(n),O<a<1,0</?<1,

试：

(1)用卷积法求网络输出y(n);

(2)用ZT法求网络输出y(〃)。

解：

(1)用卷积法求y(〃)

y(〃)=〃(〃)*x(〃)=b'"u(n-m),"NO,

"〃1/7M+,—hn+]

y(n)=Z=cinZ。----T]---=---------，〃<0,y(n)=0

最后得到

an+'-b',+'

y(n)=--------u(n)

a-b

(2)用ZT法求y(n)

y(z)=X⑶“⑶=7-----777-----TV

1r

y(〃)=—:fY(z)z"-'dz

(z-a)(z-b)

n>Q,C内有极点a,b

an+}bn+'a"+'-bn+'

y(n)=Res[F(z),〃]+Res[F(z),b]=----------1----------=--------------

a-bb-aa-b

因为系统是因果系统，〃<0,y(")=0,最后得到

an+1-bn+1

y(")=w(n)

a-b

28.若序列/@)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:

/汕、l-acoswI।[

T—r)=-2.-------，同(]

l+〃-2ncosvv

求序列/l(〃)及其傅里叶变换”(*)o

解:

1-acosw1—0.5""+"%

/(")

1+a2-2acoswl+a2-a(eJW+e~jH)

〃，、l-0.5a(z+z-')1-0.5a(ejw+e-jw)

n(z)=--------------丁=--------H----------------

R\+a~-a(z+z)(1-az।)(1-az)

求上式IZT,得到序列h(n)的共趣对称序列儿(〃)o

n

HR(z)z-'dz

F(Z)=%⑶尸=竺二匚Z"T

-a(z-a)(z-a)

因为力(〃)是因果序列，也⑺必定是双边序列，收敛域取：a<\z\<a

〃N1时，C内有极点a,

一、D、1—0.5欧~+Z—0.5。“_]/

h(〃)=Res[尸(z),a]=------------——z(z—a)=L“

e-a(z-a)(z-a71)rz=a2

n=0时，c内有极点a,0,

尸(z)="R(Z)Z"T=等当£[T

-a(z-aRz-a)

所以

也(〃)=Res[F(z),a]+Res[F(z),O]=1

又因为

也(〃)=4(一〃)

所以

1,/?=0

"(〃)=<0,54,〃>0

Q.5a~n,n<0

/%(〃),〃=01,〃=0

h(几)=<2fle,n>0=<an,n>0>=dlu{n}

0,〃<00,〃<0

81

H(*)=Yane-jwn=—二一

〃=o\-ae/u

3.2教材第三章习题解答

1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0v〃wN-1内，序列定义为

(2)x(〃)=b(〃)；

(4)x(〃)=Rm(n),0<m<N;

2兀

(6)x(n)=cos(——/I/?:),0<m<N;

N

(8)x{n}=sin帆)几)•RN(〃)；

(10)x(n)=nRN(H)©

解：

N-\N-\

(2)x(k)==i，k=0』,・・・,N—1

M=0M=0

./4，、

.乃sin(mk)

X(""=岸

(4)eN——N——，攵=0,L・・・,N-l

”=o1-W

Nsin(—7??)

N

1E点(吁k)〃1R-j^(m+k)n

=~yeN+—>eN

Nn=0乙n=0

j-O(nn,i-k)N-j——(m+k)N

,N

]_1-eN+三

.2/r

2、

l—eK'〃一1-eN

—,k=加且％=N-m八

N,Q<k<N-\

0,攵w小或左手N—m

(8)解法1直接计算

jw

%(〃)=sin(卬o〃)R,v(〃)="一e~0"]/?v(〃)

X8(%)=£x(〃M"=e-加。"『甲"

n=02t/〃=()

解法2由DFT的共扼对称性求解

因为

X1(n)="""%(")=|cos(w0n)+jsin(won)]RN(〃)

X8(H)=sin(Wo〃)R,v(〃)=Im[x7(n)]

所以

DFT[jx8(n)]=DFT[jIm[x7(n)]]=X70(Z:)

即

X[k)=-jXg(k)=-j^[x^k)-X；(N-%)]

1l-ejw°Nl-eJWoN11-e'N(I-©，*

2),j(w。一片*),

J

1-eNi-eNLl-eNi-eN

结果与解法1所得结果相同。此题验证了共朝对称性。

(10)解法1

N-1

X⑹=女=0,1,…,N7

〃=0

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。

因为x(")=/?%(〃)

所以x(w)-x((〃-l))N•RN(n)+NS[n)=RN(n)

等式两边进行DFT得到

X(A)—X(k)W：+N=N5(k)

故

当k=0时，可直接计算得出X(0)

泪o弋N(N—1)

X(0)=*uW/：=Z〃=o

n=0n=0乙

这样，X(k)可写成如下形式：

N(N—1)

，4=0

2

X(k)=«

-N

，攵=1,2…，N—1

解法2

攵=0时,

N-1N(N-l)

x/)=Z〃

n=O2

%0时,

X(%)=0++2Wy+3W,p+…+(N-1)叱，T*

卬卅X(k)=0+W；*+2W^k+3W。+…+(N—2)W；M*+(N-1)

N—1N-\

X(k)—W，X(k)=Z=ZW：—1N-1)=_N

n=l〃=0

所以，

-N

X(k)=-----r，%。。

1-心

即

N(N-D

,k=0

2

X(k)=<

[1-阅'=1,2…，N-1

2.已知下列X(左)，求x(〃)=/DFT[X(初;

[N〃,

—eJ,k=m

2

(1)X(k)=<Be7