20182019学年高中数学443第1课时直线的参数方程的应用学案苏教版选修44

第1课时直线的参数方程的应用1．写出直线的参数方程．2．经过直线的参数方程的应用，感觉参数的意义及其作用．[基础·初探]直线的参数方程直线参数方程的常有形式：过定点0(0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为Pxx＝x0＋lcosα，(l为参数)．其中参数l的几何意义是有向线段0的数量，|l|表示y＝y0＋lsinαP0P的长度．[思虑·研究]1．怎样理解参数l的几何意义？【提示】参数l的几何意义是P0到直线上任意一点P(x，y)的有向线段P0P的数量．当点P在点P0的上方或右方时，l取正当，反之，l取负值；当点P与P0重合时，l＝0.2．怎样由直线的参数方程求直线的倾斜角？x＝x＋tcosθ，0(t为参数)的形式，由方程直【提示】若是直线的参数方程是y＝y0＋tsinθx＝1＋tcos15°，接可得出倾斜角，即方程中的角θ，比方，直线的参数方程为则直y＝1＋tsin15°，线的倾斜角为15°.x＝1＋tsin15°，若是不是上述形式，比方直线(t为参数)的倾斜角就不能够直接y＝1＋tcos15°x－1＝tsin15°，判断了．第一种方法：把参数方程改写为消去t，y－1＝tcos15°，1有y－1＝tan15°(x－1)，即y－1＝tan75°(x－1)，故倾斜角为75°.第二种方法：x＝1＋tcos75°，把原方程化为参数方程和标准形式，即能够看出直线的倾斜角为y＝1＋tsin75°，75°.[思疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”商议交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________求直线的参数方程已知直线l过(3,4)，且它的倾斜角θ＝120°.写出直线l的参数方程；求直线l与直线x－y＋1＝0的交点．【自主解答】(1)直线l的参数方程为x＝3＋tcos120°，(t为参数)，y＝4＋tsin120°1x＝3－2t，即(t为参数)．3y＝4＋2t1x＝3－2t，(2)把代入x－y＋1＝0，3y＝4＋2t13得3－2t－4－2t＋1＝0，得t＝0.1把t＝0代入x＝3－2t，得两直线的交点为(3,4)．3y＝4＋2t[再练一题]1．已知两点A(1,3)，B(3,1)和直线l：y＝x，求过点A、B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点M分AB的比．【导学号：98990032】AP【解】设直线AB上动点P(x，y)，采用参数λ＝PB，1＋3λx＝1＋λ，则直线AB的参数方程为(λ为参数，λ≠－1)．①3＋λy＝1＋λ1＋3λ3＋λ，得λ＝1，因此M分AB的比：AM把①代入y＝x，得＝＝1.1＋λ1＋λMB直线参数方程的应用求直线x＝2＋t，(t为参数)被双曲线x2－y2＝1截得的弦长．y＝3t【思路研究】先求出直线和双曲线的交点坐标，再用两点间的距离公式，也许用直线参数方程中参数的几何意义求弦长．【自主解答】令t＝1t′，即t′＝2t，则直线的参数方程为12＋32x＝2＋t′cosθ，31y＝t′sinθ(其中sinθ＝2，cosθ＝2)，x＝2＋t′cosθ，将代入双曲线方程，得y＝t′sinθ′2－4t′－6＝0，因此弦长＝|t′－t′|＝t′＋t22＋4×6＝210.212112x＝x0＋at，方程

中t

的几何意义为定点

P0(x0，y0)到动点

P(x，y)的有向线段的数y＝y0＋bt量，有两个原则：其一为

a2＋b2＝1，其二为

b≥0.这是因为

α为直线的倾斜角时，必有

sin

2αcos2α＝1及sinα≥0.不满足上述原则时，则必定经过换元的方法进行转变后，才能利用直线参数方程的几何意义解决问题．[再练一题]x＝2s＋1，2．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直y＝sx＝at，线l2：

(t

为参数)平行，则常数

a的值为________．y＝2t－1x＝2s＋1，【解析】

由

消去参数

s，得

x＝2y＋1.y＝sx＝at，由消去参数t，得2x＝ay＋a.y＝2t－11l1∥l2，∴a＝2，∴a＝4.【答案】4[真题链接赏析](教材第57页习题4.4第6题)运用小节中例3的结论：π(1)求经过点P(1，－5)，倾斜角是3的直线的参数方程；(2)求(1)中的直线与直线x－y－23＝0的交点到点P的距离．(江苏高考)在平面直角坐标系x＝t＋1，xOy中，直线l的参数方程为(ty＝2tx＝2tan2θ，(θ为参数)．试求直线l和曲线C的一般为参数)，曲线C的参数方程为θy＝2tan方程，并求出它们的公共点的坐标．【命题妄图】本题观察参数方程与一般方程的互化以及直线与抛物线的地址关系等基础知识，观察转变、解析问题的能力和运算能力．因为直线l的参数方程为x＝t＋1，【解】y＝2t(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2，获取直线l的一般方程为2－－2＝0.txy同理获取曲线C的一般方程为y2＝2x.联立方程组y＝x－，解得公共点的坐标为(2,2)，12，－1.y＝2，2xx＝－2＋tcos50°，1．直线(t为参数)的倾斜角α＝________.y＝3－tsin40°sin40°【解析】依照tanα＝cos50°＝－1，因此倾斜角为135°.【答案】135°2．曲线x＝－2＋5t，(t为参数)与坐标轴的交点是________．y＝1－2t【导学号：98990033】21【解析】当x＝－2＋5t＝0时，解得t＝5，可得y＝1－2t＝5，当y＝1－2t＝0时，1解得t＝，1可得x＝－2＋5t＝2，11∴曲线与坐标轴的交点坐标为(0，)，(，0)．5211【答案】(0，5)，(2，0)x＝2t，3．点(－3,0)到直线2(t为参数)的距离为________．y＝2tx＝2t，【解析】直线2化为一般方程为x－22y＝0.y＝t2|－3－0|∴点(－3,0)到直线的距离为＝1.1＋－222【答案】11x＝2－2t，4．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________．1y＝－1＋2t【答案】14我还有这些不足：(1)_____________________________________________________(2)_______________________