《概率论与数理统计》强化训练题一解答

《概率论与数理统计》增强训练题一解答一、是非题1.错;2.错;3.对;4.对;5.对二、填空题1;n4n;1;6.7.5;5n8.9.2266n6π三、单项选择题10.C;11.A;12.C;13.D;14.B四、计算题设对某种疾病作诊断时,患有该种疾病而能诊断出患该疾病的概率为0.95,而不患该疾病却被误诊为患该疾病的概率为0.05.这类疾病在整个地区的发生概率为0.005.计算(1)随机检查一个该地区的人被诊断为患有该疾病的概率;(2)被诊断为患有该疾病而确实是患病的概率.解:以A记事件“一个人被诊断为患有该疾病”;以B记事件“一个人患有该疾病”.那么已知条件为:P(A|B)0.95;P(A|B)0.05;P(B)0.005.(1)P(A)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)0.0545;(2)P(A|B)P(B)P(B|A)0.0872.P(A)设随机变量X的密度函数为确定参数A的值;写出X的分布函数;计算概率P(X1).解:(1)11,则A3.A(x1)2dx180,x10,x1(2)F(x)3x21x1131x1(t1)dt,(x1),8181,x11,x1(3)P(X1)1P(X1)1F(1)0.17.设简单样本(X1,L,Xn)来自母体X遵从正态分布N(,1),其中为未知参数.为获取的一个置信度为0.99而长度不高出0.2的置信区间,则样本容量最少要为多大?(附注:u0.012.33,u0.0052.58)解:10.99,因此0.01.置信区间为1u/2,X1Xu/2nn2因此2u0.0050.2,或n2u0.005n0.2

,.两名枪手轮流射击一目标,射中目标则停止射击.设第一位枪手的命中率为p1,而第二位的命中率为p2.停止射击时所进行的射击总次数记为Z,此时第一位和第二位枪手的射击次数分别记为X和Y次.试以所定义的随机变量表示事件:“第一位枪手击中目标”;“第二位枪手击中目标”;求Z,X,Y各自的分布律;(3)要使目标是由第二位枪手射中的概率较大,则命中率p1和p2应该满足什么条件?(4)计算射击停止时第一位枪手的射击次数X的数学希望EX.解:(1)事件“第一位枪手击中目标”U{Z2k1};k1事件“第二位枪手击中目标”U{Z2k}.k1(2)说明:对k1,2L,Z2k1:第一位枪手在第2k1次射中目标,前2k2射击中均未射中;Z2k:第二位枪手在第2k次射中目标,前2k1两位枪手未射中目标.Z的分布律:P(Z2k1)(1p1)k1(1p2)k1p1;P(Z2k)(1p1)k(1p2)k1p2.X的分布律:对k1,P(Xk)P(Xk,Z2k1)P(Xk,Z2k)Y的分布律:对k1,P(Yk)P(Yk,Z2k1)P(Yk,Z2k)而P(Y0)p1.(3)(1p1)k1(1p2)k1p1(1p1)k(1p2)k1p2,k1k1即p2p1,p11.1p12(4)EXk[(1p1)(1p2)]k1(p1p2p1p2)1.k1p1p2p1p2五、证明题19.设随机变量X和Y独立,且遵从[0,1]区间上的均匀分布.证明ZXY的密度函数为证:fZ(z)fX(x)fY(z1fX(x)fY(zx)dxx)dx,0当z0或z2时,fY(zx)0,0x1,故fZ(z)0;当0z1时,fZ(z)zfX(x)fY(zx)dxzz;0dx0当1z2时,11fZ(z)zfX(x)fY(zx)dxdx2z.1z1设母体X遵从参数为(N,p)的二项分布,其中N,p均是未知参数.若是X1,L,Xn为来自母体的简单随机样本,证明N,p的矩估计分别为?X2B2,这里pXXB2B21nXk2X2是二阶样本中心矩.nk1证:E