学习概率论与数理统计

P(B|A)P(P(一般地，P(B|A A的发生 问：在任何情形下，式子P(B|AP(B) P(BA) 3P(

设A,B是 P(AB)P(A)P( A,B相互独立,简称A,B独立它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小. A的发生对 PA0P(BA) P(AB)P(

注 若P(A)0,P(BA)P(B)P(AB)P(A 2º独立与互斥的关系

PA1P(B)

相互独立P(AB)P(A)P( AB

则P(AB) P(A)P(B)1

PA1P(B)1

PAB)PA)P A1

PABP

5

6A与B证若A与B独立PABPA)PP(A)0,P(B) P(AB)P(A)P(B)故AB

BABAP(AB)A不发生),即BA发生的概率为零.

证∵A=A,∴P(A)=P(A)=1•P(A)=P()

①A②A③A

注称此为二 即与A独立∵A=,∴P(A)=P()=0=P()即与A独立

AAΩA(BBAB P(A)P(AB)P(P(AB)P(A)P( 又∵A与B相互独立 P(AB)P(A)P(P(A)P(A)P(P(A)[1P(P(A)P(③ABA P(AB)P(A1P(A

1P(A1[P(A)P(B)P(P(A)P( 例1甲,乙两人同时向敌人击,已知甲敌机的概率为0.6,乙敌机的概率为0.5,被的概率.解A={甲},B={乙 则C由于甲，乙同时射击，甲 因而A与B

P(C)P(AB)P(A)P(B)0.40.5

(2) (1) 定义设A,B,C是三 P(AB)P(P(BC)P(B)P(C

设A,B,C是三 P(AB)P(P(BC)P(B)P(CP(AC)P(A)P(C A,B,C两两相互独立

(3)n 定义 P(AiAj)P(Ai)P(Aj

例2一个均匀的正四面体,其第一面染成红色,时染上红、白、黑三种颜色.现以A,B,C分别记投一次四面体出现红,白,黑颜色朝下的

1<

2<

问ABC是否相互独立 有PAAAPA)P

因此PAP(B)P(C1

PABP(BC2PAC14P(AB)P(A)P(B)1

1. A1,A2,,An(n2)相互独立, P(BC)P(B)P(C)4

其中任意k(2kn) P(AC)P(A)P(C)

2.若n A,A,,A(n2)相互独立 A,B,C两两独立 P(ABC)11P(A)P(B)P(C 因此A、B、C不相互独立

则将A1,A2,,An中任意多个 ,所得的n个 仍相互独立.(独立性关于共共C2C3C n(11)nC0 2n1n个式子 n个独 P(A1A2An)1P(A1A2…1P(A1A2… P(AP(A2) P(AA,A,…,

例3若每个人 i1, 即n

则PAiBA1∪A2∪∪A100 P(B)P(A1A21P(A1A21P(A1A2

1P(

)P(

2

)P(

1[1P(1(10.004)1001(0.996)100

① … …

② …

而系统Ⅰ

B1CDA1A2AnAn1An2i1,2,,设B1系统Ⅰ正常工作

① … …

② P(C)P(A1A2AnP(A1)P(A2)P(An)rnP(D)P(An1An2A2nP(An1)P(An2)P(A2n)rn∴P(B1)P(C∪P(C)P(D)

(A1∪An1)(A2∪An2)(An∪A2nP(Ai∪Ani)P(Ai)P(Ani)P(AiAniP(Ai)P(Ani)P(Ai)P(AnirrrP(C)P(D)P(C)P(rnrnrnrn(2rn

1

r(22…

(i1,2,,nP(B2)P(A1An1)P(A2An2)P(An[r(2r)]nrn(2r)n令f(x) (n2)，

定义(独立试验序列为i,设 ,Akk,若Ak 0r

f(x)n(n1)xn2 (x

(2r)n2rn故曲线yfx)f(2r)f(r)f((2r)r)f(1)2(2r)nrn1亦即(22(2r)nrn1亦即(2r)n222

例5从1,2,10 m P(Am)10 显然，AmAm1BmAmAm1，则PBm)PAmPAm1)

n 或PA)pPA)1 m

m110

实例1抛一枚硬币观察得到正面或 .若将硬币抛n次,就是n重 实例2抛一

解易知，PA)1PA)11 : n P(B)Cm[P(A)]m[P(AnCm(1)m(11)nm (Cmpm(1p)nmCmpmqnm

若X表示n

A发生的次数定理如果在 概率为p(0<p<1),则在n次试验中，A恰好发生k次的概率为：P(k)Ckpk(1p)nkCkpkqnk

Xk(0kn时

AAAAAA(k0,1,2,,n;q1n

k

nk Pn(k)k

AA nk1 nn

Ck种

，试问能碰对m(m01234)道题的概率Ckpk(1 q1

Ck

解

14)

3

(m0,1,2,3,4 .记为X~B(n,4

P(B)

01

3 C4(4)(4 同理PB10.422PB20.04P(B4 若X表 A首次发生的次数当Xk,

例7一个人开门，他共有n把，其中仅有一把能打开这个门，他随机地选取一把开门，解Bk表示第k次打开门

BkA1A2Ak1Ak

1 ,以Ai(i1,2,,k)

P(B)(1

k1, P(B)P(A)P( )P(A)(1p)k1 k

A,B 独立P(AB)P(A)P(A,B,C三 P(AB)P(

3. A1,A2,,An相互独立,P(A1A2An)1P(A1A2…1P(A1)P(A2)…P(P(BC)P(B)P(CP(AC)P(A)P(CP(ABC)P(A)P(B)P(C2.AB相互独立A与B,AB,A与B相互独立

Ckn(1p)k1n 例1‐1设A,B相互独立，且两个 P(AB)P(A)P(B)1/P(AB)P(B)P(A)1/P(A)P(A)P(B)P(A)P(P(B)P(B)P(A)P(B)P(P(A)P(B),由PA)PAPB)PA)PA))21P(A)P(B)1/

假设P(A)0.4,P(AB)0.7,在以下情况下求P(B):P(B)P(AB)P(A)0.70.4P(B)P(AB)P(A)P(A)P(0.70.40.4P 得PB)P(B)P(AB)

证

P(A1)21P(A2)P(

P(AA)1P(A)P(A

1

P(A1A3)1P(A)P(A i=1,2,

P(AA)1P(A)P(A2 (1)A1A2A3两两相互独立

(2)P(AAA)00P(A)P(A)P(A)1

染红色，123,5面染白色，16,7,8面染上黑色,以A，B，C表示投掷一次正八面体出现红,白,黑色的，则P(A)P(B)P(C)41

P(ABC) P(A)P(B)P(C8但P(AB)31P(A)P(

解 Ai为"第i名射手击落飞机B为“击落飞机”,iBA1A2 P(B)P(A1A2A10

1P(

A10

1P(A1)P(A2)P(A101(0.8)10

P(A1A21P(A1)P(A2)P(An1(1ε)n (n 0.4,0.5,0.7,而被击落的概率为0.2,被两人而被击落的概0.6若三人都飞机必定被击落,求飞机解设Ai表示有i个 P(A0.4,P(B0.5,P(C由于A1ABCABC

0.40.50.30.60.50.30.60.5因为A2ABCABC得PA2PABCABCABC A3ABC

得PA3PABCP(A)P(B)P(C0.40.50.7

例3‐4要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:自 P0.20.360.60.411

解Hi(i0,1,2,3)表示事件3,其中恰有i件音色不纯", HH,H,HS的一个划分

而P(H0)3 以A表

P(H)4

2 3

P(H)4

P(H)

P(AH)(0.99)3 P(AH1)(0.99)2

3

1 3

30P(AH2)0.99(0.05)2

P(AH3)(0.05)3

故PAPHi)PAHii0.85740.005500 例4‐1设电路由ABC三个元件组成，若元件AB,解设 A,B,C分别表示元件A,B,C发生故障.

P(ABC)1P(A)P(B)P(C10.70.80.8P(ABC)P(A)P(B)P(C0.30.20.2P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C0.30.20.20.30.20.2 11

解将系统分为子系统，子系统又分为并联与串 1(1p)(1p2)pp2p34

4 6 5

Pp(pp2p3)p2p3p4 [1(1p)(1p)]pp2(2,P1[1p2(2p)](1p)(1p2

解因为是放回抽样，可以认为各次抽取相互独立， 则PAi)1MNP1P(A1A2An)P(A1)P(A2)P((1MN)nPP(AAA)1P(A)P(A)P(Ap3p24p3p43p5p6

1(MN)n 解令An{第n次试验中A发生},n123P(A)P2PA1A2A3A41P(A)P(A)P(A)P(A

例6‐1(问题若一年中某类者里面每个人的概率在未来一年中在这些者里面：有40个人 ,

P(A)C (0.005)40(0.995)99601(1p)4

P(A)

P(B)Ck k

(0.005)k(0.995)10000k 件次品的概率,(2)至多有3件次品的概率.

例6‐3甲、乙两人