《常微分方程》(第三版)课后答案

常微分方程

2.1

1.更=2盯，并求满足初始条件：x=O,y=l的特解.

dx

解：对原式进行变量分离得

—dy=2xdx,两边同时积分得：In+c,即y=c夕"把x=0,y=1代入得

c=1,故它的特解为y=ex°

2

2.ydx+(x+V)dy=0,并求满足初始条件：x=0,y=l的特解.

解：对原式进行变量分离得：

...-dx--^dy,当yH0时，两边同时积分得;ln|x+［=,+c,即y=----------；

x+1yc+1川x+1|

当y=0时显然也是原方程的解。当了=0,〉=1时，代入式子得。=1,故特解是

1

-1+ln|l+x|

2

3dy1+y

dx孙+xy

解：原式可化为：

22

生=上二・一^显然上上*0,故分离变量得」^力，=—^dx

dxyx+xyi+yx+x

I2Io2,5o

两边积分得］lnl+y=ln|x|--lnl+工-+1州(，。0),即(1+了)(1+］一)=，1一

故原方程的解为(1+y2\\+x)^cx

4：(1+x)ydx4-(1-y)xdy=0

解：由y=0或x=0是方程的解，当孙工0时，变量分离上些dx=^~-dy=0

%y

两边积分1中|+x+1中|一y=c,即In同+x-y=c,

故原方程的解为山|孙|二尤一y=c;y=0;x=0.

5:(y+x)dy+(y-x)dx=0

dyy-x.ydydu

解：上——,^—=u,y=ux,—=u+x—

dxy+xxdxdx

EIduu+1*=八*zFtu+\.1.

则”+x—=------，变量分离，得:-------du-—dx

dxu+\〃+1x

两边积分得：arctgu+；ln(l+^2)=-ln|x|4-c。

6：/=y+j£_y2

dx

解：令工=",〉=3虫="+'也,则原方程化为：

xdxdx

@£=J*(1一"L分离变量得：—=“"=sgnx・，dx

dx*JZ]x

两边积分得:arcsin”=sgnx•ln|x|+c

代回原来变量,得arcsin—=sgnx•ln|x|+c

另外,>2=/也是方程的解。

7：tgydx-ctgxdy=0

解：变量分离，得：ctgydy=tgxdx

两边积分得：l"siny|=-ln|cosM+c.

y~+3x

y

解：变量分离，得上dy=-：e久+c

y3

e

9:x(lnx-lny)dy-ydx=0

解：方程可变为:-ln)・dy-上dx=O

xx

令〃=),贝II有:工dx=见^—dInn

xx14-lnw

代回原变量得：cy=l+ln)。

x

10：虫=冷

dx匕

解：变量分离£dy=/dx

两边积分/=/+c

解：变量分离,e'dy=e'dx

两边积分得：/=/+，

lL‘=(x+y)2

解：令x+y=r,WO—=—+1

dxdx

原方程可变为:包=二+1

dxt

变量分离得:f—dt=dx,两边积分arcfgf=x+c

t+\

代回变量得：arctg{x+y)=x+c

12.包=—二

dx(x+y)~

解

令x+y=r,则包=包-1,原方程可变为包=4+1

dxdxdx产

2

变量分离，——dt=dx,两边积分£=x+c,代回变量

r+1

x+y-arctg(x^-y)=x+c

dy_2x-y-l

13.-=--------

dxx-2y+l

解：方程组2x-y-1=0,x-2y+1=0;的解为了=一：，,=g

11"

Xy+H仃2X-Y,

y=H一

及

-3-3-,wJ一

X-2Y

2

令工=U,则方程可化为：X—_2-2U+2。-

XdX1-2(7

变量分离

dy_x-y+5

dxx—y—2

解:令x-y=5=f，则”)=1-4，

dxdx

原方程化为：1一'，=’，变量分离(f-7)力-7dx

dxt-1

两边积分1f-7t--7x+c

12

代回变量2(X—>+5)~-7(x-y+5)=-Ix+c.

15.9=(x+l)2+(4)，+l)2+8孙+1

解：方程化为包=/+2%+1+16/+8)，+1+8孙+l=(x+4y+l)2+2

dx

令l+x+4y=〃，贝IJ关于x求导得1+4立=包，所以工业=/+2,

dxdx4dx4

分离变量一d〃=dx,两边积分得arcfg(2+2x+§y)=6x+c,是

4H2+9333-

原方程的解。

16.由,二叫

dx2xy+xy

解：条里工dy33[(>-3)2-2X2]

=，令y3=〃，则原方程化为

dxy2(2xy3+x2dx2xy3+x2

3a2/

J

duM2-6x2

3这是齐次方程，令

dx2xu+x2

2-+1

X

u|dudzr-rri3z2-6dzdzz2—z—6

一=z,hl则l一=z+x—，所以------=z+x—，x一=-----.-.-...(1)

xdxdx2z+1dxdx2z+1

当乃-z-6=0,得z=3或z=-2是⑴方程的解。即V=3x或V=—2x是方程的解。

当z2-z-6w0时，变量分离jz+l_=—dx,两边积分的(z-3)z(z+2)3-x5c,

z'-z-dx

即。3_3X)7(J?+2X)3=》5c,又因为y3=3x或y3=__2x包含在通解中当c=o时。故原方程

的解为(/-3x)7(6+2%)3=”,

*dy_2x3+3xy+x

dx3x2y+2y3-y

dy2_2x2+3y2+1

解：原方程化为先韶号

Id?-3x2+2y2-1

=贝1」半=2v+3u+1

令y2=M,；；；；；X2(1)

av3v+2〃-1

2v+3w+1=0,,/T7uz、.

的解为(i,-D；令2=丫一1,，y=〃+i,

方程组3v+2〃­1=0

2+3,

则有产+3）'=°,,,,从而方程⑴化为电=——

3z+2y=0dz3+2，

、z

令

t=,则有包=.+z也，，所以f+z包,z包=上尤,.....⑵

zdzdzdz3+2，dz3+2f

当

2-2/=0时，，即/=±1,是方程（2）的解。得V=x2-2或V=—是原方程的解

当

2-2,2Ho时，，分离变量得等小=；dz两边积分的＞2+/=（＞2一/+2）5。

另外

丁=/_2,或V=—》2,包含在其通解中，故原方程的解为V+x2=（y2_x2+2）5c

18.证明方程*=dy=/(盯)经变换xy=“可化为变量分离方程，并由此求解下列方程

yax

(l).y(l+x2y2)dx=xdy

xdy=2+x2y2

ydxZ-x2y2

du

证明：因为xy=u,关于x求导导得y+x'=",所以x__y

dxdxdxdx

ZH1du1./、duu.I/。/、\

何：,-l=f(u),、=(f(u)+l)=(uf(u)+u)

ydxdx=y(r(u)+1)xx

故此方程为此方程为变程。

解⑴:当x=0或y=0是原方程的解，当xyHOs时，方程化为xdy=l+2y2

ydxxJ

令xy=u，则方程化为「=l(2u+u1,变量分离得：dU3Jdx

dxx2u+ux

2

两边同时积分得：y=cx4,即=cx;y=o也包含在此通解中。

u+2x2y+2

故原方程的解为原丫？=Cx2,x=0.

X2y+2

解⑵令xy=u,则原方程化为du=l(“2+〃：+“)=I4”，

dxx2-〃~x2-ir

分离变量得2-1力/=1公，两边积分得ln>=//+如这也就是方程的解。

4Mxx4

X

19.已知f(x)=l,xH0,试求函数/1(x)的一般表达式.

0

,__±，

解：设f(x)=y,则原方程化为"。)力=，两边求导得好一手,

oy

-V*;;；；；；；；；"=一十；；；；；；；；；；；；两边积分得…=/；；；；；所以产士总

1x1

把)；=±-/^^代入\f(x)dt=-

J2x+cXy

1

土dt=±j2x+c;;;;;;;;;;±“2x+c-=)=±+c得c=0,所以y=±

y/2x

20.求具有性质x(t+s)=X')+Xs).的函数x(t),已知x，(0)存在。

1-x(f)x(s)

解：令t=s=0x(0)=x⑼+♦.=2x(。)若x(0)/0得x2=-l矛盾。

1-x(0)1-x(0)尤(0)

所以x(0)=0.xYgin/"+AKWAWO))=必0)(1+/⑺)

ArAr[l-x(r)x(AO

虫q=x，(0)(l+x2(f))”=。(0)力两边积分得arctg

dtl+/(f)'

x(t)=x,(O)t+c所以x(t)=tg[x'(O)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以

x(t)=tg[x,(O)tJ

习题22

求下列方程的解

,dy.

1.=y+sinx

dx

解：y=e|sinxedx+c)

=宜dGXginx+cosx)+d

2

=c6V,(inx+cosx混原方程的解。

2

2虫+3环/

dt

✓7v-

解：原方程可化为：肝y

dt

所以：x=J-"',金卜"'出+(?)

=»”|才+0

=ce〃+1台是原方程的解。

ds।1.c

3o.—=FOS£+—sin2t

dt2

解：s=sin2t力+c)

=es,n/fsinfcos超而/力+c)

=esin/4。//皿一«疝/+0)

=ce5「+sin―1是原方程的解。

4半-与=-x",n为常数.

dxn

解：原方程可化为：立=2y+/x"

dxn

『以-4公

y=eJa(\rexxne)xdx+c)

=x"("+c)是原方程的解.

5.=0

dxx

解：原方程可化为：孚=上冬y+1

dxx~

怨办［号今

y=e」厂&JXdx+c)

(,1Inx2~+1-)、广-linx~2——।

=e2(IeXdx+c)

£

=/(1+~；)是原方程的解.

/dyx4+x3

G—=------------9—

dxxy

令

±-W则dydu

%y=ux——=iH-x——

加dxdx

此

因

:〃+X%

向

区

u2du=dx

13

—u=x+c

3

w3-3x=x4-c(刃

将上=“带入(刃中得：y3-3/=cx3是原方程的解.

X

7&一0L=(x+1)3

dxx+1

解:虫=立+0+1)3

dxx+1

p(x)=二7,Q(X)=(X+1)3

x+1

eJ"'=eJ-=(x+l)2

方程的通解为：

y=eJe*”“Q(x)ax+c)

23

=(x+l)([——-_7*(x+l)dx+c)

J(x+1)2

=(x+l)2(j(x+l)dx+c)

=(x+l)2(^l+c)

2

即：2y=c(x+iy+(x+l)4为方程的通解。

3

673dxx+y12

解:——=----=—x+y

dyyy

则P(y)」,Q(y)=y2

y

[p(y)dy

J

e=e丫—y

方程的通解为：

x=e^(y>d'(『J"""Q(y)dy+c)

3

即^是方程的通解'且y=°也是方程的解。

9外="+%+1,

，。为常数

dxxx

x+l

解：P(x)=",Q(x))=

XX

Jp(x)dx

方程的通解为：y=(e^P{x)lxQ(x)dx+c)

当4=0时，方程的通解为

y=x+ln/x/+c

当。=1时，方程的通解为

y=cx+xln/x/-l

当〃。0,1时，方程的通解为

.x1

y=cxa+---

l-aa

10.x—+y=x3

dx

)W：—=--y+x3

dxx

P(x)=--,Q(x)=xi

X

[p(x)dx-f-dxJ

eJ=ex=—

x

方程的通解为：

[Pkx}dxr7P(x)dx

y=e3(Je」Q(x)dx+c)

=—(fx*x3rfx+c)

xJ

x3c

=一十一

4x

X3C

方程的通解为：y=一十一

4x

两边除以y'

dy_2,3

y3dx

日=-2(-xy-2+x3)

ax

令厂2=Z

=-2(-xz+x3)

dx

P(x)-2x,Q(x)=-2x3

JP(X)4f2xdxx2

eJax=eJ=e

方程的通解为：

z=")d双卜J""dxQ(x)dx+c)

=e"(J""(-2/)dx+c)

=x2+cex2+1

故方程的通解为：y2(x2+ce/+1)=1,且y=0也是方程的解。

c1nx1

12.(yInx-2)ydx=xdy—x2+-——4--

24

解且=—2上

dxxx

两边除以/

dy_Inx2/

y2dxxx

11

dy-，=-In--x--2--y--

dxxx

令=z

dz2Inx

—=—z-------

dxxx

P(x)=2,Q(X)=-W-

XX

方程的通解为：

z=e+c)

=/汽"加(一立必+

Zc)=/(+

JX

c2Inx1

=—+---+—

424

方程的通解为：)，(*./+吟+；)=1,且y=0也是解。

13

Ixydy=(2y2-x)dx

dy_2y2-x_y1

dx2xyx2y

这是Z时的伯努利方程。

两边同除以L,

y

dy_y21

X2

dz0dy

令）/二z2y—

dxdx

22z

dxxx

人2人

P0=Q0=T

X

由一阶线性方程的求解公式

\-dx

z=eJxdx+c)

=x+x2c

y~2=x+.x2c

dy_ey+3x

14

dxx2

dy_(e，)2+3xev

两边同乘以ey

dxx2

立=e,,农

令二z

dxdx

dzz2+3xz3zz2

这是户时的伯努利方程。

=一+-,2T2

dxx2XX

1dz31

两边同除以z2-------=-----1-—令LT

z2dxxzx2z

空___L必

dxz2dxdx

P（力=-Q0=4

由一阶线性方程的求解公式

dx+c)

X1

=婷(—gx?+c)

1T-3

-~-X+ex

2

z(——x-'+ex-3)=1

2

e'(——x-1+cx-3)=1

2

-—x2ey+cey=x3

2

—x2+x3e~y=c

dy]

15

dxxy+x3>,3

dx

yx+y3x3

dy

这是户3时的伯努利方程。

两边同除以/二半=g+y3

xdyx

令x-2=z也=—2x-3立

dydy

勺=_»_2)*=2yz-2/P0=<yQ0=2/

dyx

由一阶线性方程的求解公式

z=J""'(J-2y"卜""dy+0)

=e~y(—^2y?'eydy+c)

+l+ce

x2(-y2+l+c"')=1

X2e

2+22\2

-XXy7=

6rz

+lv^

办

X+

一=ey

公

力

不

P0=1Q0j'由一阶线性方程的求解公式

1公/「V-(,</aJX

y=e}(IeeJdx+c)

je"e7dx+c)

=e"(x+c)

ex(x+c)=ex+je\x+c)dx

G=1

y=ex(x+c)

17设函数。好-8<K+8上连续，cp。存在且满足关系式9什$曰?Q(p0

试求此函数。

令ns=o得夕叶。弓9o(po即90=^(0)2故8(0)=。或夕(0)=1

(1)当8(0)=0时(p(t)=(p(t+0)=(p(t)(p(0)即°。)=0

V/G(-ooJ4-oo)

0当夕(0)=1时诵)=lim*+"一削

A/-»0△/△1

*）（。（4）-1）夕(4+0)—»(0)

=lim=lim9(。

△70Ar

=^(0)^(/)

于是半=9(0)夕⑺变量分离得也=9(0)力积分

dt(p

由于夕(0)=1,即H0时0=1l=ce°nc=l

故*)=*°"

20试证：

(D一阶非齐线性方程(2.28的任两解之差必为相应的齐线性方程(23

之解；

(2若y=y(x)是(23的非零解，而y=y(x)是(22®的解，则方程(228

的通解可表为)，=c)，(x)+y(x),其中c为任意常数.

(3方程(23任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(23的

解.

证明：?=P(x)y+0(x)(228

ax

^~=PWy(23

ax

(D设力，%是(228的任意两个解

则学=尸(口必+03(1)

ax

华=尸(幻%+。。)(2)

ax

(D-(2得

纪/J=P(x)(M一%)

ax

即丁=%一%是满足方程(23

所以，命题成立。

(2)由题意得:

竽=P(x)y

(3

ax

虫坐=P(x)y(x)+0(x)

(4)

D先证y=cy+y是（228的一个解。

于是ex⑶+（4）得

学+孚=cp（x）y+尸（x）），+Q（X）

axax

"（C：+y）=p（x）（cy+y）+Q（x）

ax

故＞=。+＞是（228的一个解。

2现证方程（④的任一解都可写成cy+y的形式

设必是Q28的一个解

则半=/幻口+。*）（4）

ax

于是（4）一（④得

或）;＞）=P（x）（y_y）

ax

ii-T-[P（x）dx

}

从而y}-y=ce=cy

即=y+cy

所以，命题成立。

（3设为，%是（23的任意两个解

则半=如）为（5

ax

华=尸。）%（。

ax

于是（？XC得半=cP（x）%

ax

即华J=p（x）（佻）其中C为任意常数

ax

也就是y=c%满足方程(23

(5±(6得

半土牛=P(x)%±P(x)”

axax

日d(K±%)m、(,、

即一3~—=PM(y±yJ

ax3

也就是y=为±%满足方程(2.3

所以命题成立。

21•试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

(3曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

(6曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;

解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过。点曲线的切线方程为

Y-y=y\X-x)

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x-a,0),(0,y-xy)

即横截距为x-三，

y

纵截距为y-xy'o

由题意得：

(3y-xy'=x2

方程变形为

dy2

x——二y-x

dx

dy1

—=-y-x

dxx

f-dx-pf(--)t/x

于是y=e]x(J(-x)e」*dx+c)

=*"(j(-x)e-ln^Jx+c)

=IM(J(f)kl%+c)

=x(J(T—)dx4-c)

=x(-x+c)

=-x2+ex

所以，方程的通解为y=4+cx。

方程变形为

X女=2」

=x^(j(--x，)dx+c)

=x2(-x2+c)

=-x+cx2

所以，方程的通解为y=T+c/。

22求解下列方程。

(1)(x2-i)y'-xy+=0

解：户

y=eJL""(J-*e%》+c)

=/x2-1/^([---------------------dx+c]

JX1——1-

//—1/2

/x2-l/2

=cV/l-x2/+x

(2)ysinxcosx-y-sin3x=0

dy_y+sin2x

dxsinxcosxcosx

P0=-----------Q9=s，n'

sinxcosxcosx

由一阶线性方程的求解公式

f------dxi*sin2x-(------dx

y=Jsinxcos.t(I________Jsinxcosx+(?)

Jcosx

sinx(jsinxdx+c)

cosx

sinx

(-cosx+c)

cosx

=tgxc-sinx

习题2.3

1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1.(x2+y)dx+(x-2y)dy=0

解：孚=1，孚=1・

oyox

则迦=/

dydx

所以此方程是恰当方程。

凑微分，x2dx-2ydy+(ydx+xdy)=0

得:—x3xy-y2=C

3

2.(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0

伟力a例i6N

M牛：~v=l，丁=1•

dyox

则迦=也,

dydx

所以此方程为恰当方程。

；奏微分，ydx+xdy-^x2dx-4ydy=0

得x3-xy+2y2=C

3.[厂2--}dx+[-—_^^]dy=0

(x-xy(x-y)2

融dM_2y(x-y)2-2y2(x-y)(-l)_2xy

用牛•-T—4—T

加(x-y)(x-y)

dN_2x(x—y)2—2x2(x—y)_2xy

派(x-y)4(x-y)3

贝|J迦用.

dxdy

因此此方程是恰当方程。

du_y21

会(x-y)2x

du1x2

—=------------

加y(x-y)2

对(1)做x的积分，则〃=J(，)2dx-[Lx+/(y)

=--------]nx+o(y)(3)

x-y

对(3)做丫的积分，则==_一(一1犷+*「)必'+肛

oy(x-y)dy

_-2xy+y2d(p(y)

-------------------Z-----1--------------

(x-y)一dy

_1x2

y(x-y)?

则d叭y)=j__x?__2xy=j__x?_2xy+)/=J__】

'dyy(x-y)2(x-y)2yU-y)2y

8(y)=j(y_l)dy=Iny-y

2o

yyy+盯一厂iV

u=--------Inx+Iny-y=In----=In----孙-

x-yxx-yxx—y

故此方程的通解为ln2+」匕=C

1x-y

4、2(3町'+2x3)dx+3(2/y+y2)dy=0

解：义幺二12肛，孚=12孙,

dyox

ZM_GN

dydx

则此方程为恰当方程。

凑微分，6xy2dx+4x3dx+6x2ydy+3y2dy=0

3d(/嫡+八出+或马二。

得：x4+3x2y2+y3=C

yX

工+COSJ-sin-+^-)dy=0

5.(—sin-cosl)dx+(-2

yyxxx%yyy

1yx.x,1

角星：M=—sin----cos—+1NKT=-cos---sin—+—

yyxxx%yyy

=--1s.in-x---x--cosx-----1cosy—y-siny-

ayyryyyxrxxx

dN_=J_・xxx1y,y.y

sin------cos------cos—4-^T-sin—

Hxy2yyyxxxx

所以，孚=孚，故原方程为恰当方程

dyox

^—sin—dx-cos—dx+dx+-cos—dy--^-sin土dy+4dy=0

yyxxxxyyy

d(-cos—)+d(sin上)+dx+d(--)=0

yxy

所以，d(sin--cos—+x--)=0

xyy

故所求的解为sin--cos-+x--=C

xyy

求下列方程的解：

6.2x(ye-1)dx+eAdy=0

解：—=2xe，,—=2xex2

dydx

所以，%=半，故原方程为恰当方程

dyox

又2xyex'dx-2xdx+e'dy=0

所以，d(ye'-x2)=0

故所求的解为ye*-x2=C

7.(e*+3y2)dx+2xydy=0

解：edx+3y2dx+2xydy=0

e*x2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0

所以，deA(x2-2x+2)+d(x3y2)=0

即d[e'(x2-2x+2)+x3y2]=0

故方程的解为e'(x2-2x+2)+x3y2=C

8.2xydx+(x2+l)dy=0

解：2xydx+x2dy+dy=0

d(x2y)+dy=0

即d(x2y+y)=0

故方程的解为x2y+y=C

9、ydx—xdy=(x2+y2)dx

解：两边同除以x2+y2得哗哗=dx

x+y

即，darctg—1=dx

Iy)

故方程的通解为argfg±)=x+c

10>ydx-(x+y3=0

解：方程可化为：必衿=)心

故方程的通解为：—=+c即：2x-y(y2+c)

同时，y=0也是方程的解。

11>(y-1-xy)dx+xdy=0

角翠：方程可化为：ydx+xdy=(1+xy)dx

d(xy)=(1+xy)dx即:=dx

故方程的通解为：ln|l+xy|=x+c

12、(y—x2)dx-xdy=0

解：方程可化为：ydX-Xdy^dx

X

故方程的通解为:-=c-x即：y=x(c-x)

13^(x+2y)dx+xdy=0

dMdN

解：这里历=x+2y,N=x9——H——

dydx

H仞GN

旦一=-方程有积分因子〃=e=x

Nx

两边乘以〃得：方程x(x+2y)dx+尤沁=0是恰当方程

故方程的通解为：j(x2+2xy)dx+jx2-y-J(x2+2xy)dxdy=

X33

---\-xy=c

3

即:X3+3x2y=c

14>[xcos(x+y)+sin(x++xcos(x+y)dy=0

解：这里M=xcos(x+y)+sin(x+y),N=xcos(%+y)

因为=盟=cos(x+y)-xsin(x+y)

oyox

故方程的通解为：

a

j[xcos(x+y)+sin(x+y^flx+|xcos(x+旷)一鼠J[xcos(x+y)+sin(x+y)]dxdy=

艮[]：xsin(x+y)=c

15、(ycosx+xsinx)dx+(ysinx+xcosx)dy=o

、士田A”.>.dMZN

解:记至例=ycosx-xsinx,Nr=ysinx+xcosx——W--

oyox

dM4N

由二巫=1方程有积分因子：〃=eW=e，两边乘以〃得:

-M

方程ey(ycosx-xsinx)dx+ev(ysinx+xcos=0为恰当方程

故通解为:pv(),cosx-xsinx)Jx+J?/--pv(ycosx-xsinx)</xdy-c

I力J

即：eysinx(y-1)+eycosx=c

16>x(4ydx+2xdy)+y3[iydx+5xdy)=0

解：两边同乘以一)，得：

(4/y2dx+2x4ydy)+(3x2y5Jx+5x3ydy)=0

3(/>2)+4位力=0

故方程的通解为：x4y2+x3>,?=c

17、试导出方程M(X,Y)dx+N(X,Y)dy=0具有形为ju(xy)和〃(x+>-)的

积分因子的充要条件。

解：若方程具有〃(x+y)为积分因子，

鹫"2=鹫竺(4(x+y)是连续可导)

aydx

..37/dM__3//6N

加豆+"可=N^+"菽

..3/7du.6MdN.

ME-NF=〃(---+—)

办dx3y3x

(1)令z=x+y

-dj-U=-d-p---3-z=-d-R-,-m--=-d-/-J

dxdzdzSydz

RN加、

M久_N也

dzdz

...z'd/j.dNdM.

(例—N)r=〃a———)，

azoxoy

GN_6M

d/l_Gxdy

dz=(p(x+y)dz

~/H~M-N

GN》M

方程有积分因子mx+y)的充要条件是：次.是x+y的函数,

M-N

此时,积分因子为〃(x+y)=eW".

(2)令z=x-y

_d--fl-dz_,dp-3//,_-d-/J-d-z-_•--d-fl----

dxdz--dx'dz----Hydzdydz

、*djil»dudNdM

Mx--Ny—=u(7------------)x

dz'dz3xdy

...KT、如，3M.

(Mx-7Vy)—=//(6-N----)

dzoxdy

dNdM

dp,_dxdy

4Mx-Ny

HNHM

fdx3y

此时的积分因子为〃(盯)