理解平面的有关概念方向、模单位向量位置

第十 向量初向量垂直分点和中点．向量的概念与运算（一知识梳aAB（AB为终点a x2模：设aa x2ax1y1，bx2y2abx1x2y1a的负向量记为零向量：模为零，方向任意，记为n0an0a坐标运算：设ax1y1，bx2y2，则abx1x2y1y2bk（１）ka的积ka，记bbkk0bak0ba（k0bak00a0）ax,ykakxky（２）（３）定比分 Pxyxx1x2yy11 1典型例【1】已知A(12)，B(2,1)，C(32)，D(2ABBE＝（－2，5E的坐标a若aACBD， a（1）

10,310 （2）E(0,aa2AD【例2（1）已知在平行四边形ABCDHADF、MADAHHD，BFMC14AMAMMC

， AB，AB

aba若非零向量a、b满 ，则abaaba已知非零向量a、b满 ，则aaba(A)同 (B)反 (C)平 (D)垂（1）

3b MC1HFMC1HFa1【3（1）a12，b2,3kakb与2ab（2）已知向量a2,3

A(21ABaAB213（1）akb12k23k2ab4,112k2 1k12AB 4k29k（2）设ABka(2k,3k)， AB 4k29kOBOAAB46或(46，而所以OB2,5或OBOA坐标 ；若点M分AB的比为3:1，则M的坐标（2）PP1PPPPPP，则

1（1）7由定比分 ，得M(,4

(,312【5PABABPB(R01若OAa,OBbab表示OP试根据APB三点间的关系（1）OP1a11b 1时，P段AB上；(0,1)时，P段BA的延长线上；0时，PAB1PA重合【备用题】(1)a，b为两个不平行的非零向量，试探求常数、为何值时，能使ab0（2）利用（1）的结论，解决下列问题：设a，b为两个不平行的非零向量，且x(2aby(3a2b7ax，yx，y的值。（1）设am1,n1)，bm2n2，则由ab0得m1m20，得(m

nm)nn

1 1

n1m

n

0故0

1 1（2）(2x3y7)ax2y)b则有2x3y70x2y0x2，y巩固练AB3AB已知点A的坐标为(3,2)，点BAB3ABc0OB已知a23)，b1,1c0abc0OBOE正六边形OABCDE中，若OAOE

，试用a、b表示 OC，ODOCA(32P(24B平移后的坐标为(5,1B设a1x)，b13，且2aba2bx若A(3cos3sin)，B(2cos,2sin)，

PQ 已知OP与PQ为共线向量，OP(x,2x)，xR ，向量OP在y轴上PQ 射影为4j，则向量OQPAk,12PB45PC10kA、B、C三点共线，则实数若向量ba12)的夹角是180b35，则b已知向量OP3t)i12tj（tR

AP2AP2

Pa32B(23ABaAB213，求OA向量的概念与运算（二知识梳（１）ababcos，a、b的夹角，0，（３）abbak(ab)kabakbabc)abaaaaa（５）ab（６）a2a2．平面向量分解定理：如果e1e2意向量a，有且只有一对实数12，使a1e12e2，我们把不平行的向量e1e2叫典型例BC【例1（1）在边长为1的正三角形ABC中，设ABa ，CAcBCaabbcca已知abi5j，ab3ija与b已知a12，b2,3kakb与2aba

2，

1a，b，又OCa3b，OD2ab4yBFE如图，在平面直角坐标系中，正方形OABCyBFE OEOE解：（1）

的夹角为120，故

Aab

bcos1202 同理cabc ，所以原式 （2）a22)，b13，则cos

5，故夹角为 akb12k23k2ab4,1，由(akb2ab)0k5CDCD3a (3a4b)9a24ab22222CD CD 9a24ab 16 10432说明（2）式a2a2的应用【2】已知a与ba3b与7a5ba4b与7a2ba与ba3b与7a5b（a3b）7a5b＝0，即a4b与7a2b垂直，可得a16aba16ab15b22a30ab8b22a1两式相减得：ab b带入（1）得 aaaab2a与b的夹角为，则cos所以【3a的

b3a与bab与ab4ab与ab夹角为，则cos0且cos(ab)(ab)abaaba即(abab)a2b212)ab32113得6

85或6

85且【例4已知OA2,OB1,OC4,OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30用OAOB解：以O为原点，

所在直线为x轴建立平面直角坐标系，那么OA20)OC(23,2)，OB(1

设OCnOAmOB(232)2n1

3m)所以

2n1323

2 32

nm433OC43OA43OB 3【备用1ABCD中，∠A=,AB、AD2、1M、N3别是边BC、CD上的点，且满足|BM||CN|，则AMAN的取值范围 |BC |CD解：[2,求ABC ax1y1)，bx2y2f(ab)它与ABC

fABAC由（2）f(ab（1）AB21AC24，则cosA0A 5S25

AC2

5 （2）fABAC 110S1fAB absina 1(absina 1(ab)2 (ab)2(aba(x2y2)(x2y2(x2y2)(x2y2)(xxyy 1 1(xyxy1 2

f(a,b1 2巩固练已知向量OA12OB3m，若OAABma8ea与e的夹角为150a在e所在直线上的射影的设p(2,7)，q(x,3)，若p与q的夹角为钝角，则x的取值范围 pqxaba5b8，a与b的夹角为60ab设am13)，b1m1ababmA、B、CAB3BC4CA5ABBCBCCACAABa3b4(a2b2ab)32a与ba5b12akbakbk已知a43b1ab5，则向量ba若将2,1绕原点按逆时针方向旋转45得到向量b，则向量b的坐标a已知OOA22OB4,1xPAPBP最小，并求此时APB的大小a4，角

1，a与bx2ab，ya3bxy3已知向量OA3,1OB12，向量OCOBBCOA平面向量的综合应知识梳典型例【1】已知acossin)，bcossinkab

3akb(k用kab（2）求aba与b的夹角大小k2 （1）

（2）当k

(ab)min2a与b【2（1）MF112F21,1F302A(0,1)移动到点B(22)，求合力作的功2km/h4km/h，试问船沿什么方向前进，才能使船由FAB（1）FAB（2）由向量的加法（平行四边形法则，可知船沿南偏西30【例3x，yRi、j为直角坐标平面内x、yaxiy2j，bxiy2jab8（1）M（x，y）C（2）ablab（1）axiy2j,bxiy2j1x 1x （0，3，若直线OPOAOB0，POOAPB若直线l的斜率存在，设lykx3A(x1y1B(x2y2ykx

(43k2)x218kx21xy 18k)24(43k)(210x243kx1x2x243k因为OPOAOB,，OAPB若存在直线lOAPB是矩形．则OAOB,即OAOBOB(x2,y2),OAOBOAOB(x2,y2),OAOB即(1k2xx3k(xx9 (1k2

43k

)

)9即k2

5,得k 存在直

l:y

5x4

OAPB【4】已知OAB外一点，若OAaOBbP、QABa、b表示OPOQ如果段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论解：（1）P、QAB

OPOPOAOA1(OB则OP

2a

b，同理OQ

1a2b BQPBQP所以OPOQaa（2）层次1：设A是AB的二等点，则OAa 3abOA1OA2OA3 3abOA1OA2OA3 ,An1是AB的n等分点，则OAkOAnkOAOB等,层次3：设A,

n (ab)2 ,An1是线段AB的n(n3)等分点，先证明这样一个基本结论OAkOAnkOA(1kOAkOAnkOAOAk=OAOAnk=OBOAk=OAOAnk=OBAAkBAnk0,所以OAkOAnkOAOBOAn1OAn2 OA2记SOA1OA2OA3OAn1OAn2 OA2相加得2S(OA1OAn1)(OA2OAn2) (OAn1OA1)(n1)(OA

n1(ab)【备用题a，bcxRax2bxc0(a0ax2bxc0(a0有实数解的充要条件是b24ac0a2x22abxb20xbaa2x22abxb20 巩固练AB ，BCa，用a、c表示ABPA，PQPA设a12)，bx,1)，ua2b，v2ab，且u与vxabaa和baba

yf(12xaaa

2a与b的夹角为30，又OP

10a2b，OQ2a

P、Q两点之间的距离alog12

1),b1,2f(abf(1)的实数m的取值范围 已知抛物线y2x212x20，按向量a平移后，使顶点在直线x2上，且在x轴上截得的弦长为6，则a 已知ABOSO为坐标原点，且OAOB11S2，则OA与2OAOM已知向量OA，OBπ，|OA|4，|OB|1MOB上，则OAOM3的最小值 a2,5)，b40)，c12)，dmanb(mn0若cdmn若cdmn若cd的夹角为arctan2mnabc1，a、b、c之间的夹角均为（1）求证(abc（2）kabc1(kRkM(1cos2x,1)，N(1,3sin2xayOMON（O为坐标原点yxyf(xx

2

时，f(x)的最大值为4a值；并说明此时

f(x)的图像可由y2sin(x

6a2b已知a12)，b2a2b设a2,1)，bx,1ab与2abx已知ab10a5b4a与b若a23)，b